巧用三角函数极值解决物理问题(待发)

巧用三角函数求解物理量极值问题摘要：通过一些关于极值问题的典型例题，如求匀变速运动中时间的最大值问题，与速度相关联的洛仑兹力最大值问题，在电场中，哪一点的电场强度最大等问题的讨论，说明三角函数方法在处理物理量极值问题上的优越性。关键词：极值问题三角函数根本不等式三角函数求物理量的极值，往往是求出与被求物理量相关的三角函数表达式，经过三角函数的相关知识化简，再利用三角函数的有界性或不等式等知识进行处理得出结论。下面我们就来看几例利用三角函数求解物理极值的问题,以求在教学中能对培养学生的这方面能力有所帮助。1.利用两角和〔差〕公式及三角函数有界性求解。三角函数里有很多关系式，如：、、,等.有时，处理物理极值问题时，这一类关系式是很需要的。图1PCAB图1PCAB斜面的〔垂直〕距离为h,过P点可作假设干光滑轨道，使质点从P点由静止沿轨道下滑到斜面，试证明当轨道与竖直线的夹角时，质点下滑时间最短，并求最短时间。解析：根据质点受力情况和牛顿第二定律，可知质点在光滑斜轨道上的加速度： 在中，由几何知识有：那么质点沿PA做的匀加速直线运动的时间为令，那么由“积化和差〞公式：得当时，y有极大值此时时间的最小值此题不用“积化和差〞公式而用其他方法也可求极值，但比拟麻烦。另外此题结论可用“等时圆〞加以验证。2．利用“化一〞法求三角函数极值。对于较为复杂的三角函数，例如，要求极值时,先需要把不同名的三角函数和，变成同名的三角函数，这个工作叫做“化一〞。故y的极大值为。例二、如图2所示，在竖直放置的光滑绝缘圆环上，有一带负电可以滑动的小球m套在环的顶端，整个装置在图示的正交的匀强磁场中，磁场与圆环的圆面垂直，假设小球所受的电场力和重力大小相等，那么当小球沿着环相对圆心滑过的角度多大时，它所受的洛仑兹力最大？F电FF电F洛BmE图2力表达式为:f=Bqv只要速度达最大,洛仑兹力即最大那么由动能定理知当合外力做功最大时满足条件,设小球从图示位置转过角,那么 ②②由上式知当时合外力做功最大。即物体获得速度最大，满足条件。3．利用根本不等式与三角函数结合来处理。如果a，b，c为正数，那么有，当且仅当a=b=c时，上式取“=〞号。推论：①三个正数的积一定时，三数相等时，其和最小。图3②三个正数的和一定时，三数相等时，其积最大图3例3、如图3所示的带等量同种电荷的两个点电荷A、B所带电量均为Q，相距2a，那么在它们连线的中垂线上，哪一点的电场强度最大？最大值为多少？解析：设在点电荷A、B的连线的中垂线上有一点P，且AP与中垂线夹角为θ，那么①又有②由①②可得③将③式左右都平方，并整理成由于〔定值〕那么存在极大值。即

所以当，即时取等号。就是说，当〔差不多是55º〕时，P点的电场强度最大：当然处理这类问题的数学方法还很多，比方上文中涉及的根本不等式法，除此之外还有二次函数配方法，一元二次方程判别式法，导数法等，这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备较好的运用数学解决问题的能力。参考