山西省晋中市介休市多校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

2023-2024学年度第一学期学业水平考试试题（卷）（四）九年级·数学（北师大版）（考查范围：上册完）（满分：120分答题时间：120分钟）第Ⅰ卷选择题（共30分）一、单项选择题（每小题3分，共30分）1.已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用待定系数法求出的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于的值的就在反比例函数图象上，反之则不在．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，A、，故此点不在此函数图象上；B、，故此点在此函数图象上；C、，故此点不在此函数图象上；D、，故此点不在此函数图象上．故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．2.如图，是叶脉的黄金分割点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）求解即可．【详解】根据黄金分割数的性质可知．故选：A．【点睛】本题主要考查黄金分割数，牢记黄金分割数的性质（如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数）是解题的关键．3.一元二次方程的根情况是（）A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根【答案】C【解析】【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．计算出即可得到答案．【详解】解：，，，，故有两个不相等的实数根，故选C．4.如图，的对角线和相交于点O，下列说法正确的是（）A.若，则是菱形 B.若，则是矩形C.若，则是菱形 D.若，则是矩形【答案】B【解析】【分析】根据菱形和矩形的判定方法逐项判断即得答案.【详解】解：A、若，不能判定是菱形，故本选项说法错误；B、若，则是矩形，故本选项说法正确；C、若，由于，则，所以是矩形，故本选项说法错误；D、若，则是菱形，故本选项说法错误；故选：B【点睛】本题考查了矩形和菱形的判定，熟知矩形和菱形常见的判定方法是解题的关键.5.在“双减政策”的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长年上学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设根据题意得：．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.若点，，是反比例函数图像上的三个点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，结合反比例函数的增减性，进而判断在同一象限内的点和点的纵坐标的大小即可．【详解】解：反比例函数的系数为，图像的两个分支在二、四象限，该函数随的增大而增大，第四象限的点纵坐标总小于第二象限的纵坐标，点在第二象限，，在第四象限，最大，该函数随的增大而增大，，，，故选：．【点睛】考查反比例函数图像的性质，反比例函数图像上的点的特征，用到的知识点为，反比例函数的比例系数小于，图像的个分支在二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，随的增大而增大．7.在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．【详解】解：卯的俯视图是，故选：C．【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．8.如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺一边长为，则投影三角形的对应边长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设边长为的投影三角形的对应边长为，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质求出即可．【详解】解：设边长为的投影三角形的对应边长为，根据题意得，解得．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．9.小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有数字、、、、、的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于，则小晶赢；若点数之和等于，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么（）A.小晶赢的机会大 B.小红赢的机会大C.小晶、小红赢的机会一样大 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】先通过列表得到共有36种等可能的结果，其中点数之和等于6的占5种，点数之和等于7的占6种，再根据概率的定义得到P（小晶赢）=；P（小红赢）==，即可得到答案．【详解】列表如下：共有36种等可能的结果，其中点数之和等于6的占5种，点数之和等于7的占6种，∴P（小晶赢）=；P（小红赢）==，即P（小晶赢）＜P（小红赢），所以小红赢的机会大．故选B．【点睛】本题考查了游戏公平性问题：先利用列表或树状图法展示所有等可能的结果数，然后找出两个事件所发生的结果数，根据概率的定义计算出它们的概率，然后通过概率的大小判断游戏是否公平．10.如图1，已知A，B是反比例函数（，）图像上的两点，轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作轴，垂足为M．设三角形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致如图2，则k的值为（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】当点P在上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P从点A到点B的过程中，三角形的面积S是定值，再根据此时的面积为4，列式计算，即可求解．【详解】解：由图1可知，点P从点A到点B过程中，三角形的面积S是定值，由图2可知：点P从点A到点B的过程中，，，解得：，，，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义及反比例函数的性质，动点问题的函数图象，解题的关键是从函数图象获取相关信息．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.已知是方程的一个根，则的值是________．【答案】【解析】【分析】把代入方程即可求解．【详解】解：∵是方程的一个根，∴把代入方程得，，解得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查根据方程的根求参数，掌握一元二次方程的计算方法是解题的关键．12.如图，点O是的中点，将周长为的菱形沿对角线方向平移长度得到菱形，则四边形的周长是_____．【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质和平移的性质，通过继而可得，继而证明四边形为菱形，即可求解．【详解】将菱形沿对角线方向平移长度得到菱形，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴∵点O是的中点，∴，∴，同理可得，，∴，∴四边形为菱形，∵菱形的周长为，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定及平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为______．【答案】2【解析】【分析】首先由三视图可知此几何体为三棱柱，进而得出底面三角形的底和高及棱柱的高，再根据三棱柱的体积公式计算，即可求得．【详解】解：根据三视图可知该几何体是三棱柱，底面为底边长为2，高为1的三角形，棱柱的高为2，故底面正三角形的面积为：，故该三棱柱的体积为：故答案为：2．【点睛】本题考查了由三视图确定几何体及求三棱柱的体积，由该三视图中的数据确定三棱柱的底面面积和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想．14.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围．【详解】由图像知，当或时，一次函数在反比例函数上方，即，故答案为：或【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象问题，解题的关键是不要被题目中的无关字母干扰．15.如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是______．【答案】##【解析】【分析】延长，相交于点M，通过证明得出，根据角平分线的定义和平行线的性质得出，进而得出，最后证明，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．【详解】解：延长、，相交于点M，∵四边形为菱形，，∴，∴，∵E是的中点，∴，在和中，，∴，∴，则，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是根据题意呼出辅助线，构造相似三角形求解．三、解答题（共75分）16.（1）（2）小明与小亮两位同学解方程的过程如下框：小明：两边同除以，得，则．小亮：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．任务一：你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小明（），小亮（）任务二：写出你的解答过程．【答案】（1），；（2）任务一：×，×；任务二：，【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）根据公式法解一元二次方程即可；（2）任务一：观察解法，发现小明忽视的情况，小亮提公因式时没有添加括号而出错；任务二：按照正确思路解题即可．【详解】（1）解：由题意得，，，，则，，即，；（2）解：任务一：×，×；任务二：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．17.人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．A．决策类人工智能B．人工智能机器人C．语音类人工智能D．视觉类人工智能（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；（2）从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．【答案】（1）（2）抽取到的两张卡片内容一致的概率为．【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：∵共有4张卡片，∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；故答案为：；【小问2详解】解：根据题意画图如下：

共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．【点睛】此题考查是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.如图，在中，已知，，与交于点，且．（1）试判断四边形的形状，并说明理由．（2）若，且，，求的长．【答案】（1）菱形，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）四边形是菱形，由，，，得出，加上，得出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形；（2）由四边形是菱形，得出，，利用勾股定理得出，由得出，加上得出平行四边形，即可求出．【小问1详解】解：四边形是菱形；，，，，，，，四边形是平行四边形，，是菱形；【小问2详解】解：菱形，，，，，，四边形是平行四边形，，菱形，，，，，．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质与判定，菱形的判定和性质是解题关键．19.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求线段AB和双曲线CD的函数关系式；（2）求恒温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【答案】（1），（2）20°C（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求一次函数和反比例函数解析式即可；（2）将代入线段AB解析式，即可求恒温系统设定恒温；（3）将y=10代入（1）中相应的函数解析式，然后即可得到这天内恒温系统最多可以关闭多长时间，才能避免蔬菜受到伤害．【小问1详解】解：设线段AB解析式为∵线段AB过点，代入得解得∴AB解析式为：设双曲线CD解析式为：∵∴∴双曲线CD解析式为：【小问2详解】解：∵B在线段AB上当时，∴恒温系统设定恒温为20°C【小问3详解】解：把代入中，解得：∴答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．20.临潼石榴是一种历史悠久的石榴品种，因其籽肥汁多、口感香甜、色泽鲜艳、清香宜人，深受大家的喜爱．一水果商以每斤2元的价格购进了一批临潼石榴，然后以每斤6元的价格进行销售，平均每天可以销售150斤．经调查发现，如果石榴每斤的售价每降价0.5元，那么平均每天的销售量会增加50斤．为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若将石榴每斤降低x元，则每天的销售量是斤；（用含x的代数式表示）（2）如果该水果商销售的石榴要每天保证盈利750元，每斤石榴应降至多少元？【答案】（1）（2）元【解析】【分析】（1）根据降价后，每天的销售量=降价前销售量+降价增加的销售量，列式即可；（2）根据利润=(降价后的售价-进价)×数量，列方程求解即可．【小问1详解】解：若将石榴每斤降低x元，则每天的销售量是斤，故答案为：；【小问2详解】解：根据题意，得：，整理，得：，解得，，∵要尽快减少库存，∴，∴，答：每斤石榴应降至元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，根据利润=(降价后的售价-进价)×数量，列出方程是解题的关键．21.学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，BD=23米，FB=2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD．【答案】大楼的高度CD为14米．【解析】【分析】过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．∴EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米，∵AB=2.5米．∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1（米），∵AJ∥CH，∴△EAJ∽△ECH，∴，∴，∴CH=12.5（米），∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14（米）．答：大楼的高度CD为14米．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．22.综合与实践问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点与点重合，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与．观察发现：（1）如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是________；位置关系是________．探索猜想：（2）如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长．【答案】（1）；垂直（2）仍然成立，理由见详解（3）或【解析】【分析】（1）延长，交于点I，根据题意，证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答．（2）设与的交点为I，与的交点为M,根据（1）中的思路，同理证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答．（3）考虑两种情况，即：点F在的延长线上或点F在线段的延长线上，作对应的辅助线，通过相似三角形的性质，即可解答．【小问1详解】解：如图，延长，交于点I，

四边形是矩形，，根据图1中，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点，，，,，，即，，,，，即．故答案为：，【小问2详解】解：如图，设与的交点为I,与的交点为M,

四边形和四边形是矩形，,,即，根据图1中，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点，，，,，，即，，，,，．【小问3详解】解：①当点F在的延长线上时，如图所示，作交的延长线于点K，求得，，，三点共线，，,，，，，，，，，，；①当点F在线段上时，如图所示，过点H作的垂线，交于点N，，，，，，，，，，，，综上所述，当，，三点共线时，线段的长为或．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键．23.如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，且顶点B的坐标为，．（1）求反比例函数的表达式及E点坐标；（2