线性系统理论(Chapter6)

第6章线性反响系统的时间域综合研究分析：对于一个具体的控制系统和的外部输入，如何从理论上对它的运动行为如状态运动规律、稳定性等，结构特性如结构特征、能控性、能观测性等进行确定。综合：给定系统方程，根据对系统性能的要求，如何确定系统的外部输入即控制作用，使系统的性能能全面满足技术要求。通常控制作用取为反响形式。无论是抑制外部扰动的影响还是减少内部参数变动的影响，反响控制都要远优越于非反响控制。本章以状态空间方法为根底，针对常用典型形式性能指标，讨论线性时不变系统的反响控制综合问题。6．1引言综合问题的提法系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反响形式的控制u(t)，使所导出闭环系统的运动行为到达或优于指定的期望性能指标。对象目标手段状态反响输入：u(t)=－Kx(t)+(t)输出反响输入：u(t)=－Fy(t)+(t)系统综合

系统设计理论“设计〞－确定u(t)的形式和构成工程设计－考虑各种实际问题性能指标的类型性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为上的一种规定。非优化型性能指标

(不等式型)优化性型能指标(极值型)〔1〕镇定问题〔2〕极点配置〔3〕解耦控制〔4〕跟踪问题研究综合问题的思路建立可综合条件控制规律的“算法〞工程实现中的一些理论问题〔1〕状态反响物理构成问题〔2〕系统模型不准确性和参数摄动问题〔3〕对外部扰动影响的抑制问题控制规律的“算法〞－综合问题的计算方法和步骤，适于编程，数值稳定性。6．2状态反响和输出反响状态反响设连续时间线性时不变系统B∫CAuK状态反响下受控系统的输入为：u=－Kx+υ，K∈Rp×n状态反响系统∑xf的状态空间描述为：特征值改变GK(s)=C(sI-A+BK)-1B结论1：对连续时间线性时不变系统，状态反响保持能控性，不保持能观测性。维数没有增加输出反响设连续时间线性时不变系统B∫CAuF输出反响下受控系统的输入为：u=－Fy+υ，F∈Rp×q输出反响系统∑yf的状态空间描述为：维数没有增加GF(s)=C(sI-A+BFC)-1B结论2：对连续时间线性时不变系统，输出反响保持能控性和能观测性。GF(s)=G0(s)[I+FG0(s)]-1特征值改变状态反响和输出反响的比较反响属性：状态反响为系统结构信息的完全反响，输出反响那么是系统结构信息的不完全反响。反响功能：状态反响在功能上远优于输出反响。改善输出反响的途径：扩展输出反响〔动态输出反响〕B∫CAu并联补偿器串联补偿器反响实现上，输出反响要优越于状态反响。解决状态反响物理实现的途径：引入状态观测器B∫CAu状态观测器K扩展状态反响和扩展输出反响的等价性。6．3状态反响极点配置：单输入情形极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。问题的提法给定连续线性时不变单输入受控系统

控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望闭环极点组。极点配置问题，就是通过选择线性反响增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。任意指定期望闭环极点组：

1*,2*,···,n*在状态反响下，控制输入为：u=－Kx+υ，K∈Rp×n闭环系统为：其特征值满足：

i(A-BK)=

i*,i=1,2,···,n

期望闭环极点组(1)期望闭环极点组的性能指标属性二重性理论计算：期望闭环极点组控制工程：直观性能指标(2)控制工程中根本类型的性能指标时间域：

，ts，tr，td，tp频率域：Mr,

r,

cc可以相互转化(3)根本类型性能指标和期望闭环极点组的主导极点对的关系(4)期望闭环极点组确实定工程型的性能指标n-2个期望闭环极点Re(si)=(46)Re(s1)

,i=3,4,···,n

极点配置定理对单输入n维连续时间线性时不变受控系统：系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为〔A，b〕完全能控。极点配置算法思路：在受控系统能控条件下，将状态空间描述化为能控标准型，由于注：当系统不完全能控时，假设不能控局部特征值属于期望闭环特征值，仍然能够配置系统的全部闭环极点极点配置算法Step1:判别〔A，b〕能控性Step2:计算矩阵A特征多项式det(sI-A)=(s)=sn+n-1sn-1+···+1s+0Step3:计算由期望闭环特征值决定的期望特征多项式Step4:计算Step5：计算能控标准性变换矩阵Step6：计算Q=P-1Step7：计算Step8：停止计算注释:对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位置〔这决定了响应速度与阻尼〕，这一点很重要。注意，所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰以及测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度，那么干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。如果系统是2阶的，那么系统的动态特性〔响应特性〕正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，所期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性〔响应特性〕联系起来。因此，在决定给定系统的状态反响增益矩阵K时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵〔基于几种不同的所期望的特征方程〕下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。例1连续时间线性时不变状态方程为期望闭环极点为计算状态反响阵K解：容易判断系统能控计算由期望闭环极点组决定的特征多项式

0=0，

1=72，

2=18

0*=4，

1*=6，

2*=4计算如果是低阶系统〔n≤3〕，那么将线性反响增益矩阵K直接代入期望的特征多项式，可能更为简便。由期望闭环极点组决定的特征多项式

i(A-BK)=

i*,i=1,2,···,n

例:系统的传递函数为试求状态反响阵K,使闭环系统的极点配置在-2和-1±j上。解:(1)要实现极点任意配置,那么系统实现需状态完全能控。因此,可选择能控标准型建立被控系统的状态空间模型。(2).

系统的开环特征多项式和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式分别为那么相应的反响矩阵K为:期望极点：-2和-1±jK=[a0-a0

*

a1-a1*

a2-a2*]=[-4-4-1]那么相应的反响矩阵K为:K=[-4-3-1]6．4状态反响极点配置：多输入情形多输入情形的极点配置在研究思路和计算方法都要复杂一些。系统的循环性定义：循环矩阵和循环系统当系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式(s)之间只存在常数类型的的公因子k，即有(s)=k(s)，那么A为循环矩阵，系统为循环系统。(1)循环系统的约当标准型当且仅当系统矩阵A的约当标准型中相应于每个不同特征值仅有一个约当块。(2)循环系统的特征值属性假设系统矩阵A的特征值为两两互异，那么系统为循环。(3)循环系统的能控属性对多输入n维连续时间线性时不变循环系统，至少存在一个n为列向量b，使向量组｛b，Ab，···，An-1b｝张满整个n维空间，即｛A，b｝为完全能控。结论：(4)循环系统的能控属性对多输入n维连续时间线性时不变循环系统，｛A，B｝为完全能控，那么对几乎所有的p×1实向量，使单输入矩阵对｛A，B｝为完全能控。(5)非循环系统的循环化对多输入n维连续时间线性时不变非循环系统，｛A，B｝为完全能控，那么对几乎所有的p×n实常阵K，可使｛A－BK｝为循环。极点配置定理：对多输入n维连续时间线性时不变系统系统可通过状态反响任意配置全部n个极点的充分必要条件为{A,B}完全能控。极点配置算法：对于多输入n维连续时间线性时不变受控系统，可以采用多种算法确定极点配置状态反响矩阵K。假定受控系统为完全能控。控制工程中几乎所有受控系统都为能控！极点配置算法1：〔化多输入系统为单输入系统极点配置〕给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统{A,B}和一组任意期望闭环特征值要求确定一个p×n状态反响矩阵K，使step1.判断A的循环性，假设非循环，选取一个p×n实常阵K1，使为循环；假设循环，表step2:选取一个p×1实常向量

，表b=B

，使

为完全能控step3.对等价单输入系统，利用单输入情形极点配置算法，计算状态反响向量k。step4.对A为循环，K＝

k；对A为非循环，K＝

k＋K1

注：由于K1和的不惟一性，状态反响矩阵K不惟一和秩1性，通常希望K1和的选取使K的各个元尽可能小。step5.停止计算例1连续时间线性时不变状态方程为期望闭环极点为，计算状态反响阵K解：容易判断系统能控(1)判断A的循环性

(s)k

(s)A不是循环矩阵任意选取一个p×n实常阵K1A是循环矩阵(2)选取一个p×1实常向量

，表b=B

，使为完全能控当

1=1，

2=0时，为完全能控(3)对等价单输入系统，利用单输入情形极点配置算法，计算出状态反响向量k=[51]。(4)A为非循环，K＝

k＋K1

(5)校核由于K1，

的不惟一性，使K非唯一。例如：k=[-25]

K的这种非唯一性是多输入系统与单输入系统极点配置问题主要区别之一。如何充分利用K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反响设计的一个活泼的研究领域。状态反响对系统传递函数矩阵零点的影响结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反响任意配置传递函数全部n个极点的同时，一般不影响其零点。注：实际上，通过状态反响有可能将g(s)的局部极点配置为与g(s)的零点相重，构成零极点对消从而对零点产生影响。这也是对状态反响不能保证能观测性的一个直观解释。单输入单输出情形结论：对完全能控n维多输入多输出连续时间线性时不变系统，状态反响在配置传递函数矩阵全部n个极点同时，一般不影响其零点。定义：设完全能控多输入多输出连续时间线性时不变系统其传递函数矩阵G(s)=C(SI-A)-1B,G(s)的极点为其特征方程式的根。零点定义:使得的所有s值多输入多输出情形注：实际上，G(s)的每个元传递函数的零点有可能改变。推论1：对相同极点配置的不同K1和K2，其对应的闭环传递函数矩阵C(SI-A+BK1)-1B和C(SI-A+BK2)-1B一般不同，从而系统的状态响应和输出响应也不同。推论2：在极点配置综合问题中，一个状态反响矩阵被称为是较好的，如果其元反响系数总体较小和闭环系统的响应较好。6.5输出反响极点配置结论：对完全能控连续时间线性时不变受控系统采用输出反响，一般不能任意配置系统全部极点。结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统采用输出反响，只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外位置上。通过合理选取补偿器结构和特性，可对带补偿器输出反响系统的全部极点进行任意配置。B∫CAu并联补偿器串联补偿器6.6状态反响镇定所谓状态镇定问题就是：对给定时间线性时不变受控系统，找到一个状态反响型控制律使所导出的状态反响型闭环系统为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。结论：连续时间线性时不变系统可由状态反响镇定，当且仅当系统不能控局部为为渐近稳定。结论：连续时间线性时不变系统可由状态反响镇定的一个充分条件是系统完全能控。定理:假设系统0(A,B,C)采用状态反响使系统镇定的充要条件是其不能控子系统是渐近稳定的,即系统0(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控局部。证明:(1)假设系统0(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其按能控性分解为:其中,为完全能控子系统;为完全不能控子系统。6.6状态反响镇定(3)由于原系统0(A,B,C)与结构分解后的系统

在稳定性和能控性上等价,对引入状态反响阵,可得闭环系统的系统矩阵为(2)

由于线性变换不改变系统的特征值,故有:6.6状态反响镇定因此,比较开环系统与闭环系统特征值方程,有:引入状态反响阵后,只能通过选择来使得 的特征值具有负实部,从而使能控子系统渐近稳定。但的选择并不能影响不能控子系统的特征值分布。因此,当且仅当渐近稳定时(的特征值均具有负实部),整个系统是状态反响能镇定的。从而定理得证。闭环系统特征多项式为:

6.6状态反响镇定6.6状态反响镇定状态反响镇定算法：Step1判断(A.B)能控性，假设完全能控，去Step4。Step2对(A.B)按能控性分解Step3对能控局部进行极点配置Step4计算镇定状态反响矩阵Step5计算停止。从极点配置角度确定镇定状态反响矩阵例给定线性定常系统试设计状态反响矩阵K,使系统镇定,且期望的闭环极点为-3和-26.6状态反响镇定解:

1)

对系统进行能控性分解。系统不完全能控.取能控性分解变换矩阵Pc为:于是可得原系统的能控性分解为由于系统的不能控局部只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。2)对能控局部进行极点配置由上可知,系统的能控局部为设A*为具有期望特征值的闭环系统矩阵且:。因此有:当反响阵为此时,闭环系统矩阵A*为3)求取原系统的状态反响镇定矩阵经检验,经状态反响后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。6.7状态反响动态解耦问题的提法：设多输入多输出连续时间线性时不变系统采用包含输入变换的状态反响uB∫CAKL

解耦控制是在系统控制理论中得到广泛研究的重要问题。现代化的工业生产装置，往往被控制的参数较多，这就要求要设置多个控制回路去控制这些参数。然而，这些回路常常会发生相互耦合、相互影响，使系统的性能变差、难于控制，甚至系统无法正常工作。u三点基本假设那么系统状态空间描述为：所谓动态解耦控制，就是寻找输入变换和状态反响矩阵使得所导出的闭环传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵

动态解耦的实质是把一个p维输入p维输出的耦合系统，通过引入适当的{L,K}，化为p个独立的单输入单输出系统；动态解耦综合的两个根本问题：可解耦条件和可解耦算法；解耦控制对于过程控制有着重要意义和广泛应用。系统的结构特征量

输出矩阵传递函数矩阵设方多输入多输出连续时间线性时不变系统结构特性指数定义为：0≤di≤n-1,i=1,2,···,p两种定义等价解:求d1例：对连续时间线性时不变受控系统，结构特性向量定义为：Ei为1×p行向量，且两种定义等价。包含输入变换状态反响闭环系统的状态空间描述为：其结构特征量为开环和闭环结构特征量相等可解耦条件积分型解耦系统设方多输入多输出连续时间线性时不变系统基于结构特征向量组成的p×p矩阵基于结构特性指数组成的p×n矩阵那么可导出包含输入变换状态反响系统称为积分型解耦系统。无实际应用价值理论分析应用可解耦条件设方多输入多输出连续时间线性时不变系统结论：对方连续时间线性时不变受控系统，使包含输入变换状态反响系统可实现动态解耦的充分必要条件是：基于结构特征向量组成的p×p矩阵E非奇异。基于结构特征向量组成的p×p矩阵注：1.系统能控；2.E有两种方法构成〔传递函数矩阵、状态空间描述〕；3.强解耦、弱解耦－块解耦4.“摩根问题〞解耦控制综合算法

给定n维方连续时间线性时不变受控系统要求综合一个输入变换和状态反响矩阵对{L,K},使系统实现动态解耦，并使解耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置。Step1：计算受控系统(A,B,C)的结构特征量Step2：基于结构特征向量组成并判断矩阵E的非奇异性假设E为非奇异，即能解耦，假设E为奇异，那么不能解耦。Step3：Step4：导出积分型解耦系统Step5：判断的能观测性，假设不完全能观测，计算Step6：引入线性非奇异变换化积分型解耦系统为解耦标准型。对完全能观测，解耦标准型具有形式：能观性分解di+1di+1mi-(di+1)mi-(di+1)←di+1Step7求Step8：对解耦标准型选取状态反响矩阵的结构对完全能观测对不完全能观测Step9：对解耦后各单输入单输出系统指定期望极点组：按单输入情形极点配置法，定出状态反响矩阵Step10：最后得Step11：停止计算。状态反响矩阵的这种选择必可使实现动态解耦：解耦极点配置6.8状态反响静态解耦问题的提法：

设多输入多输出连续时间线性时不变受控系统所谓静态解耦，就是综合一个输入变换和状态反响矩阵对使导出的包含输入变换状态反响系统及其传递函数矩阵

动态解耦严重依赖系统模型，工程上静态解耦已可以满足实际需要，且其对模型误差和参数摄动的敏感性小得多。满足：i〕闭环控制系统渐近稳定，即ii〕闭环传递函数矩阵当S=0时为非奇异对角常阵，即有静态解耦特点：1.当S

0时，闭环传递函数矩阵为非对角矩阵；2.只适合于p维参考输入

各分量为阶跃信号情况。可解耦条件

存在输入变换和状态反响矩阵对｛L,K｝,其中可使方n维连续时间线性时不变受控系统实现静态解耦，当且仅当1.受控系统可由状态反响镇定；2.受控系统系数矩阵满足静态解耦控制综合算法

Step1：判断受控系统｛A,B｝的能镇定性，假设为能镇定，进入下一步，否那么转入Step7。Step3：综合p×n镇定状态反响阵K，按多输入情形极点配置算法计算K。Step2：判断受控系统，若满足，进入下一步，否则转入Step7。Step5：计算，计算的逆。Step7：停止计算。Step4：按系统期望要求指定稳态增益即，组成。Step6：计算。且｛L,K｝为综合导出的输入变换和状态反馈阵，并有。6.9跟踪控制和扰动抑制跟踪控制和扰动抑制是广泛存在于工程实际中的一类根本控制问题。典型例子：雷达天线、导弹鱼雷跟踪问题——抑制外部扰动对系统性能影响和使系统输出无静差地跟踪外部参考输入。一、问题的提法考察同时作用控制输入和外部扰动的连续线性时不变受控系统：q维确定性扰动假定系统能控能观，令系统输出y(t)跟踪外部参考输入y0(t)，跟踪误差：e(t)＝y0(t)－y(t)

CABwBDDwuwy0ye跟踪问题三种提法：渐近跟踪：y0(t)0，w(t)＝0扰动抑制：w(t)0，y0(t)＝0无静差跟踪：y0(t)0，w(t)

0二、参考输入和扰动的信号模型使线性时不变受控系统的输出实现渐近跟踪和扰动抑制，是以控制器中“植入〞参考输入和扰动信号的模型为机理的。信号的特性和模型给定信号的特性：结构特性＋非结构特性时域中，频域中，非结构特性结构特性非结构特性结构特性由给定信号频域结构特性d(s)导出一个线性时不变自治系统：其中：dimx＝d(s)阶次＝ny

A0的最小多项式＝d(s)

C0=1×ny向量

x(0)＝x0为未知向量参考输入的结构特性模型由dr(s)导出参考输入y0(t)的结构特性模型：其中：Ar是满足“最小多项式＝dr(s)〞的任一nr×nr阵，C阵是满足输出为y0(t)的任一q×nr阵。再表dr(s)={dr1(s),···,drq(s)}最小公倍式，nr＝多项式dr(s)的次数正弦信号频域结构特性扰动信号的结构特性模型由dw(s)导出扰动信号w(t)的结构特性模型：其中：Aw是满足“最小多项式＝dw(s)〞的任一nw×nw阵，C阵是满足输出为w(t)的任一q×nw阵。再表dw(s)={dw1(s),···,dwq(s)}最小公倍式，nw＝多项式dw(s)的次数参考输入和扰动信号的共同不稳定模型

渐近跟踪和扰动抑制只需关注系统输出y(t)在t

的行为，建模时只需考虑信号y0(t)和

w(t)的渐近影响。其中，

r(t)＝0，

w(t)＝0的根为不稳定。由此组成参考输入和扰动信号的共同不稳定模型的系数矩阵为令

(t)

＝

r(t)和

w(t)的最小公倍式，

(t)包含了Ar和Aw的所有不稳定特征根。并令跟踪误差e(t)为模型输入，yc(t)为模型输出，那么参考输入和扰动信号的共同不稳定模型为：令

-1(s)Iq内模q为输入维数无静差跟踪控制系统伺服补偿器镇定补偿器uu2u1受控系统exy0y线性时不变系统机理保证静态状态反响渐近稳定将伺服补偿器取为“参考输入和扰动信号的共同不稳定模型〞和比例性控制率Kc的串联，将镇定补偿器取为受控系统的状态反响。Ky伺服补偿器镇定补偿器-u1＋w-y0u2u无静差跟踪控制系统的状态空间描述：“断开〞

0与串联c串联系统

T的能控性串联系统

T为能控的一个充分条件：

(1)din(u)ֿ

dim(y)(2)对

(s)=0的每一个根

i，成立无静差跟踪条件存在状态反响，使可实现无静差跟踪的一个充分条件为：(1)din(u)ֿ

dim(y)(2)对

(s)=0的每一个根

i，成立无静差跟踪的综合算法Step1：判断是否din(u)ֿdim(y)，假设是，进入下一步；假设否，转去step11。Step2：判断(A.B)能控性，假设完全能控，进入下一步；假设否，转去step11。Step3；定出(t)＝r(t)和w(t)的最小公倍式。Step4：计算(t)＝0的根i，判断假设成立，进入下一步；假设否，转去step11。Step5：定出分块矩阵定出参考输入和扰动信号的共同不稳定模型的系数矩阵为Step6：组成(n+ql)维串联系统

T的状态方程Step7：对串联系统

T按期望动态性能指标指定(n+ql)个期望闭环极点｛

1*

，

2*，···，

ql*

｝，基于u=KTxT，xT=[xT,xcT]T，采用极点配置算法定出p×(n+ql)维KT。Step8：对KT分块:Step9：定出镇定补偿器：Step10：定出伺服补偿器：Step11：停止计算。在回路中“植入〞参考信号和扰动信号的共同不稳定模型，称这个置于系统内部的外部信号模型为“内模〞。Ky伺服补偿器镇定补偿器-u1＋w-y0u2u内模内模原理internalmodelprinciple

把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度反响控制系统的一种设计原理。这个原理指出，任何一个能良好地抵消外部扰动或跟踪参考输入信号的反响控制系统，其反响回路必须包含一个与外部输入信号相同的动力学模型。这个内部模型称为内模。早在1958年D.J.M.史密斯在研究非线性预测控制器的设计中就提到了内模的概念。此后C.R.凯莱和J.von诺伊曼都曾论及这个概念，诺伊曼还把它与可靠性理论中的备份思想联系起来。70年代中期W.M.旺纳姆对线性定常系统给出了内模原理的严谨的数学描述，从而建立了内模原理。随后它被推广到非线性系统，又取得了一些进展。内模原理的建立，为完全消除外部扰动对控制系统运动的影响，并使系统实现对任意形式参考输入信号的无稳态误差的跟踪，提供了理论依据。从而，在高精度的反响控制系统的设计中澄清了某些模糊观念。内模原理已在线性定常系统和随动系统〔见伺服系统〕的综合设计中得到有效的应用。

P314例6.5基于内模原理的无静差跟踪控制系统方案的重要优点：对除内模以外的受控系统和补偿器的参数变动具有很强的不敏感性。

——鲁棒性很强，广泛应用于过程控制中。内模控制〔InternalModelControl，简称IMC〕是一种基于过程数学模型进行设计控制器设计的新型控制策略。它的优点在于设计简单，控制性能好和在系统分析方面的优越性。内模控制是一种实用的先进控制算法，在研究预测控制等基于模型的控制策略的重要理论根底，可以提高常规控制系统设计水平的有力工具。6.10线性二次型最优控制：有限时间情形

线性二次型最优控制属于线性系统综合理论中最具重要性和最具典型性的一类优化型综合问题。LQ问题给定线性连续时变受控系统：相对于状态和控制的二次型性能指标为：LQ最优控制问题是，寻找一个允许控制u*(t)，使系统的状态轨线x*(t)，从初态x(t0)出发到达x(tf)，且沿此轨线，性能指标最小，即说明：(1)性能指标属性：J(u(·))实质只由u(t)控制，能量类型性能指标；,(2)加权矩阵的选取：S,R,Q根据经验选取；(3)容许控制的特点：u

p(4)最优控制和最优轨线：u*(t)，x*(t)，J*＝J(u*(·))(5)极值化的类型：极大值、极小值(6)最优控制问题的数学实质：性能指标泛函的有约束极值问题，变分法；(7)最优控制问题按末时刻的分类：有限时间LQ问题、无限时间LQ问题；(8)调解问题和跟踪问题：工程角度，最优调解问题x(t0)

xe=0,最优跟踪问题y(t)

y0(t)有限时间LQ问题的最优解(1)给出系统的状态方程(2)给出控制量u的限制条件(3)明确始端条件:

给定[t0，x(t0)],固定始端的控制问题；

t0固定，x(t0)任意,自由始端的控制问题。(4)明确终端条件：类似于始端条件(5)给出性能指标

任务：寻求一个最优控制u*(t)，使系统的状态轨线x*(t)，从初态x(t0)出发到达x(tf)，且沿此轨线，性能指标最小，即有限时间LQ问题的最优解调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡状态。有限时间：tf为有限值LQ问题：二次型性能指标考虑线性连续时变系统：寻求最优控制u*(t)

，使性能指标取极值定理：系统使性能指标为最小的控制输入，可由下面的状态反响解给出

其中P(t)为满足终端条件P(tf)=S的以下矩阵Riccati微分方程的正半定对称解阵最优性能值J*为：最优轨线x*(·)为满足下述状态方程的解：末时间tf固定充分必要条件证明：必要性涉及变分，在此只证充分性。，欲证u*(·)为最优根本属性：(1)最优控制的唯一性：(2)最优控制的状态反响属性：(3)最优调节系统的状态空间描述A(t)B(t)ux-定理：系统使性能指标为最小的控制输入，可由下面的状态反响解给出

其中P(t)为满足终端条件P(tf)=S的以下矩阵Riccati微分方程的正半定对称解阵最优性能值J*为：最优轨线x*(·)为满足下述状态方程的解：末时间tf固定充分必要条件综上，有限调节时间LQ问题的综合步骤是：(1)由A，B，P(tf)=S，Q，R代入Riccati非线性矩阵微分方程，解出增益矩阵P(t)；(2)构造状态反响

系统的状态空间描述注意：有限时间LQ调节问题的最优调节系统是状态反响系统，反响矩阵是唯一的。对象系统虽然是定常的，但闭环系统却是时变的。Riccati矩阵微分方程是非线性微分方程，难求解析解，可离散计算。

问题提法：线性系统性能指标6.11线性二次型最优控制：无限时间情形无限时间LQ问题是指末时刻tf

的一类LQ问题。

过渡过程中的最优运行，趋于平衡状态时的渐近行为。无限时间LQ调节问题的最优解无限时间调节问题与有限时间调节问题提法上的区别：(1)此处对象为线性定常系统；(2)不考虑终端指标；(3){A，B}可控,。加权矩阵R=RT>0，Q=QT>0或Q=QT≥0且｛A,Q½｝完全能观测，其中Q½＝GΛ½

GT，Λ为Q的特征值对角阵，G-1=GT

无限调节时间调节器可以看作是终端指标为０，终端时间趋于无穷，受控系统是定常可控的有限调节时间调节器问题。

Kalman指出，此时矩阵微分方程的解P(t)，当tf

时，P(t)的极限存在且唯一，即常阵P即为无限调节时间调节器的增益矩阵。定理：系统使性能指标为最小的控制输入，可由下面的状态反响解给出

其中P为以下矩阵Riccati代数方程的正定对称解阵最优性能值J*为：最优轨线x*(·)为满足下述状态方程的解：充分必要条件求解Ｐ的问题变为求解Riccati代数矩阵方程的正定解。P正定〔比较有限调节时间时P(t)半正定〕一旦求得P,即可得到闭环系统为仍保持为定常系统。对P的要求：最优系统必须是稳定的，即的所有特征值均具负实部。可以证明：以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐近稳定的。证明：选取Lyapunov函数如果Q正定放宽为Q半正定，那么，只要{A,H}能观，那么仍能保证闭环系统渐近稳定。例：系统的状态方程，求最优控制u*(·)，使取极值。解：n=1，S=R=1>0，A=B=1，系统能控6.8状态重构问题和状态观测器一.状态重构问题

系统的实际状态不可得。重构状态：构造一系统，利用原系统可直接量测的变量u和y作输入，产生输出,使

该人为构造的系统称为观测器。状态观测器：全维，降维函数观测器：重构状态的函数，如

二.全维状态观测器观测器的维数和受控系统的维数相同。对象：

方法I：〔本科已学过〕要求{A，C}能观测。构造和原系统相同的系统，在初值时，通过之差调整，使方法II：受控系统能控，能观全维状态观测器可取为在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统的观测器。结论1：任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测器的充要条件是：

证明：充分性：满足(1)(2)(3),那么z(t)是Tx的估计，必要性：见课本的说明。

实际设计中，F，G可选，由(1)求出T要非奇异。H可由(2)算出。关键是要能从TA-FT=GC求出非奇异的T。结论2：设A和F无公共特征值那么条件(1)TA-FT=GC存在非奇异解T的充分必要条件是{A,C}能观，{F,G}可控。〔SISO时也是充分条件〕证明略。算法：三.降维状态观测器线性定常系统y中已包含x的信息，y可量测出，故可构造维数低于状态维数的观测器，即降维观测器。最小维数为(n-q).方法I：思路：利用相似变换，先从y和u中提取出x的信息，再对剩下的状态变量构造全维状态观测器。条件：{A,B,C},rankC=q,{A,C}能观step1:构造

step2:作线性非奇异变换，那么上式写成Step3:Step4:对以上系统构造全维状态观测器〔第一种全维观测器的构造方法〕Step5:结构图见书P204页。方法II：对方法I中的Z来讲构造全维状态观测器〔方法II结论1方法〕条件相同，取也可以用方法II结论2的方法估计Z。5.9引入观测器的状态反响控制系统的特性闭环系统的维数提高了别离原理：观测器和反响控制器可分别设计，互不影响系统的传递函数不变：观测器不影响闭环系统的传递函数系统鲁棒性变差等价于包含补偿器的输出反响系统作业：5.16,5