四川省专升本(高等数学)-试卷8

四川省专升本（高等数学）-试卷8(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.当x→0时，x2是x－ln(1+x)的()

（分数：2.00）

A.较高阶的无穷小量

B.等价无穷小量

C.同阶但不等价无穷小量

√

D.较低阶的无穷小量解析：解析：本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．由于可知当x→0时，x2与x一1n(1+x)为同阶但不等价无穷小量，故应选C．3.=()

（分数：2.00）

A.0

B.

√

C.1

D.2解析：解析：4.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是()

（分数：2.00）

A.f(x)=，[一1，1]

√

B.f(x)=xe－x，[0，1]

C.f(x)=[0，5]

D.f(x)=｜x｜，[0，1]解析：解析：注意罗尔定理有三个条件：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(x)在(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)．逐一检查三个条件即可．为了简便起见先检查f(a)=f(b)．故选A．5.设曲线y=x—ex在点(0，一1)处与直线l相切，则直线l的斜率为()

（分数：2.00）

A.∞

B.1

C.0

√

D.一1解析：解析：本题考查的知识点为导数的几何意义．由于y=x－ex，y′=1一ex，y′｜x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x—ex在点(0，一1)处切线斜率为0，因此选C．6.平面π1：x一2y+3z+1=0与π2：2x+y+2=0的位置关系为()

（分数：2.00）

A.垂直

√

B.斜交

C.平行不重合

D.重合解析：解析：本题考查的知识点为两平面的位置关系．两平面的关系可由平面的法向量n1，n2间的关系确定．若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若n1／／n2，当时，两平面平行，但不重合；当时，两平面重合．若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交．由于n1=(1，一2，3)，n2=(2，1，0)，n1.n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，故选A．7.设I1=sinxdx，则()

（分数：2.00）

A.I1＞I2＞I3

B.I1＞I3＞I2

C.I3＞I1＞I2

D.I2＞I1＞I3

√解析：解析：I1=I2=I3=所以I2＞I1＞I3．故选D．8.设z=ln(x2+y)，则=()

（分数：2.00）

A.

B.

√

C.

D.解析：解析：求时，将y认定为常量，则．故选B．9.设un≤avn(n=1，2，…)(a＞0)，且vn收敛，则un()

（分数：2.00）

A.必定收敛

B.必定发散

C.收敛性与a有关

D.上述三个结论都不正确

√解析：解析：由正项级数的比较判别法知，若un≤vn，则当vn收敛时，un也收敛；若un发散时，则vn也发散，但题设未交代un与vn的正负性，由此可分析此题选D．10.微分方程y′=x的通解为()

（分数：2.00）

A.y=x

B.y=x+C

C.y=x2

D.y=x2+C

√解析：解析：本题考查可分离变量的微分方程．分离变量得dy=xdx，两端分别积分，∫dy=∫xdx，y=x2+C11.设矩阵A3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为()

（分数：2.00）

A.

√

B.3

C.

D.解析：解析：利用公式A*A=AA*=｜A｜E(E是与A同阶的单位矩阵)．由A*=AT及AA*=｜A｜E得AAT=｜A｜E．①于是，｜A｜2=｜A｜3，即｜A｜=0，1．由①可得=1(显然｜A｜=0不符合题意)，所以a11=二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设f(x)=，则f[f(x)]=1．

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：x）解析：解析：f[f(x)]==x．13.点(3，2，－1)到平面x+y+z一1=0的距离是1．

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由点到平面的距离公式，可得所求距离为d=14.设f(x)=x(x+1)10，则∫f(x)dx=1．

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：(x+1)12一(x+1)11+C）解析：解析：∫f(x)dx=∫x(x+1)10dx=∫(x+1)(x+1)10dx一∫(x+1)10dx=∫(x+1)11d(x+1)一∫(x+1)10d(x+1)=(x+1)12一(x+1)11+C．15.z=(1－x)2+(2－y)2的驻点是1．

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：(1，2)）解析：解析：∵=一2(1一x)，令=0，则x=1，=－2(2一y)，令=0，则y=2，∴驻点为(1，2)．16.求｜x(x一1)｜dx=1．

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：43）解析：解析：三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：18.求函数y=sin3x在点x=0处的导数y′｜x=0．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：y=sin3x，则导函数在点x=0处没有定义．由导数定义有可知y′｜x=0=0．)解析：解析：此题如果先求函数y的导数y′后，再代入x=0便得y′没有意义，所以此题只能利用导数的定义式，即f′(x0)=的方法来求．19.求

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：将被积函数变形为)解析：解析：利用基本积分公式和积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形．20.设z=f(xy，)，其中f具有二阶连续偏导数．求

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：)解析：解析：本题考查的是抽象函数求偏导数的方法，所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可．21.λ取何值时直线与x轴相交?

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：直线与x轴相交，则交点坐标为(x，0，0)，代入直线方程为x一1=0，①λx+1=0，②①+②得(1+λ)x=0，而原点O(0，0，0)不在直线上，故x≠0，所以1+λ=0，λ=－1．)解析：解析：本题考查空间直线与坐标轴的位置关系．22.计算x3ydy，其中L是抛物线y=x2上从点(0，0)到点(1，1)的一段弧．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：L：y=x2，x：0→1，dy=2xdx，)解析：解析：本题考查曲线积分的计算．23.将f(x)=arctan展开为x的幂级数．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：所给f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于因而即有故)解析：解析：f(x)=arctan不容易直接展开为幂级数形式，但是对其求导后所得函数，即f′(x)=是常见函数，它的展开式是已知的．这样我们就得到f′(x)的幂级数展开式，然后对其两边积分，就可以得到f(x)的展开式．24.求由曲线y=2x—x2与y=x所围成的平面图形的面积S，并求此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：所给平面图形如图中阴影部分所示，由可解得因此S=(2x—x2一x)dx=(x—x2)dxVx=π[(2x—x2)2一x2]dx=π(3x2—4x3+x4)dx=)解析：解析：本题考查的知识点为定积分的几何应用：利用定积分表示平面图形的面积；利用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体体积．25.解线性方程组

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：这里的增广矩阵是把第一行的适当倍数加到其他各行，得继续施行初等变换，这一矩阵可以化为再进一步由第一行减去第二行的三倍，得出矩阵其对应的线性方程组是把x2，x4移到右边，作为自由未知数，得原方程组的一般解：x1=x4．)解析：解析：本题考查用初等变换求线性方程组的通解．四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.做一个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为6m，架子总长为5m，试求所用角铁最少时，三根角铁的长度各为多少?

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：设等腰三角形的高为h，则BD=DC=三根角铁的总长l=5一h+2l′=－1+=0，得4h2=h2+9，解得h=m．由于只有唯一的驻点，所以h=m时，所用角铁最少，此时三根角铁的长度分别为BD=DC=m，AD=(5－)m．)解析：解析：这是应用题中的最值问题，首先要列出函数关系式，再求其在已知条件下的最值．27.求由曲线y=2－x2，y=2x一1及x≥0围成的平面图形的面积S以及此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由已知曲线画出平面图形如图阴影区域所示．由，得交点坐标为(1，1)，则)解析：解析：本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算．难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积S．求面积的关键是确定对x积分还是对y积分．确定平面图形的最简单方法是：题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的．确定对x积分还是对y积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示．本题如改为对y积分，则有计算量显然比对x积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键．在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是x轴还是y轴．由于本题在