新教材适用2023-2024学年高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.4概率的基本性质学案新人教A版必修第二册

10．1.4概率的基本性质课标要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则．素养要求通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养.知识点概率的基本性质任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生．一般地，概率有如下性质：性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).因为事件A和事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，这等价于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和．推广：如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．[提醒]对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和．并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．其使用的前提仍然是A1，A2，…，An彼此互斥．故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥．性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．因为事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B为必然事件，即P(A∪B)＝1.由性质3，得1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性质5如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．(1)对于事件A与事件B，如果A⊆B，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率．(2)由性质5可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．想一想：在同一试验中，对任意两个事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？提示：只有A、B互斥才成立．练一练：1．在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是(B)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1[解析]事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是eq\f(1,6)，所以“向上的数字是5或6”的概率是eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).2．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)＝_0.8__.[解析]因为A与B是对立事件，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.3．事件A与B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，则P(A∪B)＝_0.7__.[解析]因为A与B互斥，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.5＝0.7.题型探究题型一互斥事件概率公式的应用典例1(1)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球．设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知P(A)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(1,2)，求这3只球中既有红球又有白球的概率．(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖；等于6或5，则中二等奖；等于4，则中三等奖，其余结果不中奖．①求中二等奖的概率；②求不中奖的概率．[解析](1)因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,5)，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是eq\f(4,5).(2)①从五个球中任意摸出两个小球，共有10种取法，中二等奖包含(2,4)，(2,3)，(1,4)三种情况，∴P(中二等奖)＝eq\f(3,10).②不中奖的对立事件为中奖，中奖的两小球编号之和包括4,5,6,7，共有(1,3)，(0,4)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)六个结果．∴P(中奖)＝eq\f(6,10).∴P(不中奖)＝1－eq\f(6,10)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).[归纳提升](1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义．对点练习❶(1)若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(A)A．0.3 B．0.7C．0.1 D．1(2)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的(D)A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件[解析](1)∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.(2)由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故某事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确．题型二概率一般加法公式(性质6)的应用典例2甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．[解析]设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,4).记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x，y)，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能．即(1,4)．故P(A∩B)＝eq\f(1,12).所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(5,12).[归纳提升](1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件．可借助图形理解．(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的关键在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率．对点练习❷在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究．假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)．[解析]P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.题型三利用互斥与对立的概率公式多角度求解典例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么抽取到红心(事件A)的概率是eq\f(1,4)，取到方块(事件B)的概率是eq\f(1,4)，求取到黑色牌(事件D)的概率．[分析]先确定事件D的对立事件C(取到红色牌)，也就是事件C就是所求事件D的对立事件，而事件C包含A和B两个彼此互斥的事件，故可直接利用互斥事件加法公式求解；然后根据对立事件概率公式求解．[解析]记“取出的是红色牌”为事件C，则C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥．根据概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2).又因为事件C与事件D互斥，且C∪D为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝eq\f(1,2).[归纳提升]对于较复杂事件的概率在求解时通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．对点练习❸某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击比赛成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中各环数概率如表：命中环数6及以下78910概率0.100.120.180.280.32求该射击运动员射击一次．(1)命中9环及10环的概率；(2)命中不足7环的概率．[解析]记“射击一次命中k环”的事件为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥．(1)记“射击一次命中9环或10环”为事件A，则当A9或A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10)．因此命中9环或10环的概率为0.60.(2)解法一：由于事件“射击一次命中不足7环”是“射击一次至少命中7环”的对立事件，故所求的概率为P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7环的概率为0.10.解法二：由题意可知“命中环数不足7环”即“命中环数为6环及以下”，故P＝0.10.易错警示忽略概率加法公式的应用前提典例4投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是eq\f(1,6)，记事件A为“出现奇数点”，事件B“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝eq\f(2,3).[错解]因为P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.[错因分析]造成错解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的使用前提：事件A，B彼此互斥．此题的两个事件A，B不是互斥事件，如出现的点数为1或3时，事件A，B同时发生，故此题应用性质6.[正解]因为P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).[误区警示]在使用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，一定要注意公式成立的前提，即事件A与事件B互斥．若事件A，B不互斥，则应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．对点练习❹甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率．[解析]至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件．设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.1．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是(A)A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]C．(0,0.9] D．[0,1][解析]由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.故选A.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01.若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为(B)A．0.09 B．0.96C．0.97 D．0.98[解析]记事件A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}，则A与B＋C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－0.03－0.01＝0.96.故选B.3．若A与B为互斥事件，则(D)A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1[解析]若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)≤1.故选D.4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.3，0.25，则未命中靶的概率是_0.1__.[解析]令事件A＝“命中Ⅰ”，事件B＝“命中Ⅱ”，事件C＝“命中Ⅲ”，事件D＝“未命中靶”，则A，B，C彼此