圆的综合练习题及答案

圆的综合练习题

答案

1.如图，已知为。。的弦，。为。。上一点，

AC=ABAD,且EDLAE于E.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若。。的半径为3,5由4,求AD的长.

(1)证明：如图，连接2。并延长交。。于点石，连接BE,则

//石石=90°.

/切B+N石=90。........分

AE=AC,ZC=ZBAD,

/.AEAB+ABAD=90°.(\^zK

40是。。的切线.......

(2)解：由(1)可知/45^=90°."“

•「^=2^0=6,AB=4,

,•,3分

•「ZE=AC=/_BAD,BD]_AB,

.......4分

A会

5•.............................................

...............5分

2.已知：在。。中，AB是直径，AC是弦，OE1AC

于点E,过点C作直线FC,使NFCA=/AOE,交

AB的延长线于点D.

(1)求证：FD是。O的切线；

(2)设OC与BE相交于点G,若OG=2,求。O

半径的长；

证明：（1）连接OC（如图①），

,/OA=OC,/.Z1=ZA.

•/OE1AC,/.ZA+ZAOE

/.Z1+ZAOE=90°.

又ZFCA=ZAOE

图①

/.Zl+ZFCA=90°.BPZOCF=90°.

AFD是。O的切

线.2分

（2）连接BC（如图②），

•/OE1AC,/.AE=EC.

又AO=OB,

「.OE//BC且23分

/.△OEG^ACBG.

图②

,/OG=2,/.CG=4.

.-.oc

6................................................................................................5分

即。O半径是6.

3.如图，以等腰幺/中的腰为直径作月

。°,交底边上(于

点2过点D作存人，垂足为E.)

(I)求证：为。。的切线；四

QDB

(II)若。。的半径为5,求

OE的长.

解：⑴证明：连接A。，连接0。

EMBEDEquation.3,是直径，-EMBEDEquation.3

又一EMBEDEquation.3/是等腰三角形，。是石(

的中点.

「2为。。的切线.

(II)在等腰9/中，》^峙，知是等边三角

形.

__CD」BC=5

•。。的半径为5,2

4.如图，△53。中，AB=AE,以ZB为直径

作。。交B石于G过。作81/石于。，

的延长线与的延长线交于点P

(1)求证：也是。。的切线；

(2)若A£>5,BE=6,求。。的长.

(D证明：连结。。.........................

•；PD_LAE于D

ZDCE+ZE=90°

•••AB=AE,OB=OC

：./_CBA=/_E=/_BCO

又,：乙DCE=/_PCB

ZBCO+ZPCB=90°

」.声。是。。的切线.................2分

(2)解：连结左。.....................3分

•/AB=AE=5是。。的直径

BE=6

：.ACLBEKEC=BO3

/.AO=4

又•「/_CBA=/_E/_EDC=/_A

：.△EDCSABCA…一

DC3_12

即丁=：DC=^

5.在RtAABC中，ZC=90,BC=9fG4=12,NABC的

平分线BD交AC于点DfDELDB交

AB于点E,QO是4BDE的外接圆，交

BC于点F

(1)求证弘。是。。的切线；

ff

(2)联结EFf求丁的值.

(第5

(1)证明：连结QD,

又为的平分线，

又丁。。是。。的半径，

/.AC是。。的切线

(2)解：•：DE_LDB,。。是的外接圆,

「•BE是。。的直径，

设。。的半径为心

在RtAABC中，-I・而,

,AADOOO/^ACB.

又••,石也是。。的直径.:.ABEFsXBAC

45

EFBE73

/.AC=fi4=l5=4............................................................5分

7.已知：如图，AB是。。的直径，E是AE延长线上的一

点，。是。。上的一点，且40平分NE4石，47)

ED_LA尸交Z尸的延长线于点C匕

(1)推断直线。石与。。的位置关系，A化二一1—

并证明你的结论；k7

(2)若AF：FO5：3,/石=16,求。。~’的直

径的长.

解：(1)直线与。。相切.

证明：如图，连结OD.c

・・・金。平分/力石，

：.ZCAD=ZDAE.Q/\

A\o

•「OA=OD,

：.AODA=ADAE.

：.ACAD=AODA.

：.OD\\AC.

"：EC1AC,

：.OD1EC.

：.CE是。。的切

线.................................................2

分

(2)如图，连结右尸.

是。。的直径，

AAFB=90°.

•/ZO90°,

：.AAFB=AC.

：.BF\\EC.

：.AF\AC=AB：AE.

AF\尸0=5:3,Z石=16,

/.5：8=40:16.

：.AB=

10......................................................................5分

8已知：如图，在△45。中，AB=AC,点D是边BC的中

点.以由为直径作圆。，交边力B于点尸，联结尸G交4D

于点E.

(1)求证：AO是圆。的切线；

(2)若尸。是圆。的切线，BC=8,求。石,长.除

(1)证明：・•・4右=力。，点。是边右。的中/斤

又是圆。直径，'

二•AO是圆。的切线.……2分/站

(2)解：连结。尸，

由20=8,得8=4,OC=6,OP=2.

・.•尸。是圆。的切线，。为圆心，

由勾股定理，得衣3.

在△OPC中，

ADEC中，

••・tan/OCE=《|=中，9.如图，已知。。是AABC的外接

.-.DE=oc.tanZDCE圆，AB是。。的直径，D是AB延

_4XV2_^5票线的一点，AE1CD交DC的延长线AT0HBD

一X4一,茅E,CF1AB于F,且CE=CF.

（1）求证：DE是。。的切线；

（2）若AB=6,BD=3,求AE与BC的长.

证明：（1）连接oc,

10如图，。。的直径八厘，点尸是延长线上的一点，过T

点作。。的切线，切点为C,联结

（1）若求尸e勺长；

（2）若点p在Ai的延长线上运动，。二的平分.......

线交A4于点小.你认为V，的大

小是否发生变更？若变更，请说明理由；若不变],令-

更，求出的大小.巴―一―

解：（1）联结则Q^.第19~一

。dA任

在⑶《中，2,

分

11如图，点P在半8的直径BA的延长线上，PC切

半00于点，，连结BC.

（1）求々的正弦值；

（2）若半桢的半径为！，求8。的笠鱼T-----3一

（1）证明：如图，连接℃.攵一

・「PC切半OO于点C,

sinZP=2g=i

在口中,OP22分

(2)过点。作ELM于点D,则..........3分

在中，S=，

...............................................4分

-R丑......................................5分

12已知：如图，在RtAABC中，ZACB=90°,以AC为直

径的。O

交AB于点D,过点D作。。的切线DE交于点E.

求证：BE=CE.I\.

证明：连接CD.七方关\、

-.-ZACB=90°,AC为。O直径，c匕=、

一\0

「•EC为。。切线且

ZADC=90°.............................2分

.「ED切。O于点D,

：.EC=EP.........................................3

分

ZECD=ZEDC.

,/ZB+ZECD=ZBDE+ZEDC=90°,

/.ZB=ZBDE.

.*.BE=ED.........................................................4分

13.已知：如图，Z石是。。的直径，。是。。上的一点，且

ZBCE=ZCAB,CE交AB的延长线于点E,ADLAB,交

EC的延长线于点D.

(1)推断直线。石与。。的位置关系，并证明你的结论；

(2)若。石=3,BE=2,求8的长.

解：(1)直线0E与。。相切.。

证明：如图，连结

AS是。。的直径，(/一

AACB=90°.\/E

,/OA=OCf

：./_OAC=/_ACO.

'：ABCE=ACAB,

：.ABCE=AACO.

ZB是。。的直径，

ZACB=90°.

：.ABCE-VABCO=ABCO+/_ACO=/_OCE

=90°.........................1分

:.DE是。。的切

线..................................2分

(2)'：ABCE=ACAB,ABEC=ACEA,

IxBECsXCEA.

：.CE:AE=BE：CE.

•「CE=3fBE=2,

：.3：AE=2:3.

：.AE=

9

X................................................................................3分

'：ADAB,是。。的直径，

・•.D4是。。的切线.

：.AD=CD............................................................

4分

在中，由勾股定理得

：.CD=

15

~85分

14.已知：如图，AB为。。的直径，AD为弦，ZDBC=/4

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若OC//AD,OC交BD于E,

BD=6,CE=4,求AD的长.

(1)证明：V43是。。的直径，

ZADB=96°.....................................1分

又；/DBC=/A.

AABLHADB0900.

「.AABC=90°.

••.BC是。。的切线..................2分

(2)解：•「OCIIAD,NAD比90°,

/.OELBD,AOED=Z.ADB=

ABEO9Q°.

:.BE=*BD=3..................................4分

又•：/DBC=2A,

：.ACBESXBAD.