附有参数的条件平差

§6-1附有参数的条件平差原理§6-2精度评定第六章附有参数的条件平差问题的提出由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测〔n>t〕的条件平差问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中，有些平差问题的r个独立的条件方程很难列出。例如，在以下图所示的测角网中，A、B为点，AC为边。观测了网中的9个角度，即n=9。要确定C、D、E三点的坐标，其必要观测数为t=5，故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4，即必须列出4个独立的条件方程。由图知，三个图形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。为了解决这个问题，可以选择某个〔或某几个〕非观测量作为参数。例如图中选择作为参数。设选择了u个参数，那么原来的r个条件方程就变为c=r+u个了。如图中，由于选择了作为参数，那么条件方程的个数就变为c=r+u=4+1=5个，即除了三个图形条件外，还可以列出1个极条件和1个固定边条件。如以下图，假设以A点为极，那么极条件为：固定边条件为〔由AC推算AB〕：或

根据如此含有u个参数的条件方程所进行的平差，称为附有参数的条件平差。§6-1附有参数的条件平差原理一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：〔1〕式中V为观测值L的改正数，为参数近似值的改正数。其系数矩阵的秩分别为。其随机模型为：

〔1〕式中的未知数为n个观测值的改正数V和u个参数近似值的改正数，即未知数的个数为m=n+u，而方程的个数为c=r+u。由于m–c=n–r=t>0，所以〔1〕式是一组具有无穷多组解的相容方程组。必须根据最小二乘原理，求出能使的一组解。为此，下面就来求解这组解。1、

根底方程及其解为了求得解能使的一组解，按求函数之条件极值的方法，组成新函数：

式中K是对应〔6-1〕式的联系数向量。为了求函数的极小值，将其分别对V和求一阶导数，并令其为零，即亦即〔2〕将〔1〕式和〔2〕式联立，那么得到附有参数的条件平差的根底方程：

〔3〕将〔3〕式中的第二式代入第一式，消去改正数V，得：令那么(4)〔4〕式称为附有参数的条件平差的法方程。因为，且，所以是满秩的对称方阵，其逆存在。于是，用左乘〔4〕式的第一式，可得：(5)再以〔5〕式带入〔4〕式的第二式，得：令(6)那么有〔7〕因为,且，故是满秩的对称方阵，其逆存在。于是，由〔7〕式得：〔8〕将〔5〕式代入〔2〕式的第一式，得：〔9〕〔8〕式和〔9〕式就是附有参数的条件平差的最终解。2、附有参数的条件平差的计算步骤由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下：〔1〕、根据具体的平差问题，选取u个独立的参数，并列出附有参数的条件方程〔1〕式。〔2〕、组成法方程〔4〕式。〔3〕、按〔8〕式和〔9〕式计算参数近似值的改正数和观测值L的改正数V。〔4〕、按计算观测值和参数的平差值。〔5〕、用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正确性。教材：6－1，6－2

3、

举例某三角网如下图，A、B为点，BD为边。其数据为：各角的同精度独立观测值见表1。现选的最或是值为参数，试按附有参数的条件平差求观测值的平差值和参数的平差值。

表1角号观测值角号观测值142536本例中n=6，t=3，r=3，u=1，故c=r+u=4由图知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边条件。这4个条件如下：取，将非线性条件线性化后，得条件方程为：由于为同精度独立观测，故。于是由〔4〕式得法方程为：解得：由此可得观测值和参数的平差值为：

检核略。

§6-2精度评定1、单位权方差的估值在附有参数的条件平差中，单位权方差的估值仍为：〔10〕

2、根本向量的协因数矩阵3、平差值函数的中误差设平差值函数为：对其全微分，得权函数式为：式中：

应用协因数传播律，得：于是，平差值函数的中误差为：

小结：1、为了某种需要，选择参数；2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择u个参数，就增加u个条件方程；3、条件方程的总数为c=r+u;4、单位权中误差的计算公式不变；5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数。举例：水准网如下图：1、按条件平差列出条件方程。2、选高程平差值为参数，列出全部条件方程。3、选和高程平差值为参数，列出全部条件方程。解：1、由图知，n=5，t=2，故r=n-t=5-2=3。即三个条件方程，一个附合条件，二个闭合条件：2、选高程平差值为参数，那么有u=1，c=r+u=4,即：3、选和高程平差值为参数和，那么u=2，c=r+u=3+2=5=n，此时有：

由上式〔4〕、〔5〕式可得：将〔6〕式代入〔1〕式，得：将〔6〕、〔7〕式代入〔2〕式，得：将〔8〕、〔9〕式代入〔3〕式，得：令：那么有，