考点10-导数的概念及其几何意义(原卷版)

考点10导数的概念及其几何意义【考点剖析】1.最新考试说明：1.了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；【2020年高考全国Ⅰ卷理数6】函数的图像在点处的切线方程为 （）A．B．C．D．【2020年高考全国Ⅰ卷文数15】曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A． B．a=e，b=1C． D．，会用课本给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的导数）【2020年高考全国Ⅲ卷文数15】设函数，若，则．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.2.命题方向预测：导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前一问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度往往有：(1)求切线方程问题．(2)确定切点坐标问题．(3)已知切线问题求参数．(4)切线的综合应用．3.课本结论总结：1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．3.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数几何意义：函数在点处的导数就是曲线在点处的切线和斜率，即.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．4.名师二级结论：当一个函数是多个函数复合而成时，就按照从外层到内层的原则进行求导，求导时要注意分清层次，防止求导不彻底，同时，也要注意分析问题的具体特征，灵活恰当选择中间变量，同时注意可先化简，再求导，实际上，复合函数的求导法则，通常称为链条法则，这是由于求导过程像链条一样，必须一环一环套下去，而不能漏掉其中的任何一环.5.课本经典习题：(1)新课标A版选修2-2第6页，例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度（单位：℃）为.计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【解析】在第和第时，原油温度的变化的瞬时变化率就是和，根据导数的定义，，∴，同理可得，在第与第时，原油温度的瞬时变化率分别为与，它说明在第附近，原油温度大约以℃/的速度下降；在第附近，原油温度大约以℃/的速率上升，一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况.【经典理由】结合具体的实例，给出了结论：反映了原油温度在时刻附近的变化情况，阐述了导数的意义：导数可以描述瞬时变化率.新课标A版选修2-2第17页，例4求下列函数的导数（1）；（2）；（3）其中，均为常数；【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数求导法则有；（2）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数求导法则有；（3）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数求导法则有.【经典理由】结合具体的例题，说明了复合函数求导的一般方法.6.考点交汇展示：(1)导数与点线距离相结合例1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三）若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（）A． B．3 C． D．例2．（2020·重庆南开中学高三）点P在函数的图象上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A．1 B． C．2 D．(2)导数与函数图象相结合例3.函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是例4.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.(3)导数与不等式相结合例5．（2020·山东省山东师范大学附中高三）己知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.例6．（2020·梅河口市第五中学高三）已知函数.（1）求曲线在点处切线方程；（2）当时，求证：存在，使得对任意的，恒有.【考点分类】热点1导数的运算1．（2020·陕西省高三）已知函数，则（）A． B． C． D．2.已知是的导函数，且，则实数的值为（）A．B．C．D．13.曲线在点处切线为，则等于()A.B.C.4D.2【方法规律】导数运算时，要注意以下几点：尽可能的把原函数化为幂函数和的形式；遇到三角函数求导时，往往要对原函数进行化简，从而可以减少运算量；求复合函数的导数时，要合理地选择中间变量.热点2导数的几何意义1．（2020·全国高三其他（理））曲线在点处的切线方程为（）.A． B．C． D．2．（2020·湖南省高三其他（理））已知直线与曲线在处的切线平行，则实数的值为_______.3．（2020·辉县市第二高级中学高三）过原点作函数图象的切线，则切线方程为______．4．（2020·定西市第一中学高三其他（理））已知曲线和，若直线与都相切，且与相切于点，则的横坐标为（）A． B． C． D．【方法规律】曲线的切线的求法：若已知曲线过点，求曲线过点的切线则需分点是切点和不是切点两种情况求解．(1)点是切点的切线方程为．(2)当点不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点的坐标代入切线方程求出；第四步：将的值代入方程可得过点的切线方程．热点3导数的几何意义的应用1．（2020·江苏省丰县中学高三）若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为（）A． B． C． D．12.已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是．3.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是__________．3.（2020·辉县市第二高级中学高三已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数a，b的值；（2）若过点可做曲线的三条切线，求实数m的取值范围.【解题技巧】导数的应用除研究切线方程外，还有许多应用，如：因为有些物理量，如瞬时速度，瞬时加速度，瞬时功率，瞬时电流和瞬时感应电动势等与导数有着直接或间接的关系，在解题时应紧扣这些联系来解决问题；利用导数的性质求解参数的取值范围问题，解决这类问题的一般方法是待定系数法，即根据题设条件，利用导数工具所列出所需的方程或方程组，然后加以求解即可.【易错点睛】利用导数解决恒成立或存在性问题的基本思想是转化成函数的最值问题，利用导数来判断函数的单调性求七最值，在过程中，通常会用到分离变量法或者含参讨论以及构造函数.此外，在分析题目描述的问题是需分析清楚到底是恒成立问题还是存在性问题.【热点预测】1．函数的图象在点T(0，f(0))处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（）A． B． C． D．2.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）（A） （B） （C） （D）3．（2020·安徽省六安中学高三）已知函数，则函数在处的切线方程为（）A． B．C． D．4.设(∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为，则的值为().A.B.－1C.D.15.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．6．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三）已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为（）A． B． C． D．7.已知曲线恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是A.B.C.D.8.已知点P在曲线C:上，则曲线C在P处切线的倾斜角的取值范围是_________.9．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）已知奇函数的定义域为R，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为________.10.已知，为抛物线上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_________．11．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三）已知，则曲