小学 五年级 上册数学奥数知识点讲解 第13课《面积计算》试题附答案

小学五年级上册数学奥数知识点讲解第13课《面积计算》试题附答案

第十四讲面积计算

在小学阶段学习的各种平面图形之间有着密切的联系,我们把平面图形之间

的转化方法及它们的面积、周长公式归纳如下图：

计算图形的面积要用面积公式，对于一些复杂的图形有意识地运用运动变

化的观点，将平面图形简单地变动位置，可以化警为简，化难为易，从而获得

最佳解法。

例1已知三角形ABC的面积为1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面积?

（下页图）

例2求右图中阴影部分的面积大圆直径为2,单位：厘米）。

例3如下图.在图中三角形ABE、ADF和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF

的面积。

例4如下页图.等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组

成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等.求扇形所在的圆面积.

例5如右图.从一个正方形的木板上锯下宽为;米的一块长方形木条

以后，剩下的面积是与平方米.问锯下木条的面积是多少平方米？

1O

例6一块长方形钢板，长截下4分米，宽截下1分米后，成了一块正方形钢板,

如右图，面积比原来减少了49平方米原来长方形钢板的面积是多少平方米？

999

例7ABCD为任意四边形，其中AE=gAB,BF=-BC,CG=j-CD,

2

DH=yDA,连结E、F,C、H求四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积

之比（如右图）。

例8如右图，已知三角形ABC的三条高必定交于一点，如记成P点,

请你讲明?+望+第=1为什么成立？

答案

例1已知三角形ABC的面积为1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面积？

（下页图）

分析利用己给的线段间的比例关系、己给的三角形的面积以及三角形的面积

公式，设法把三角形BDE划分成一些与三角形ABC的面积成相应比例的三角形.

这样，三角形BDE的面积就能求得了。

解：见右图，连结CE对于三角形ABC与三角形BEC,分别把AB和BE

看成底，那么它们的高相等此外，BE=2AB.根据三角形面积公式S=gah

可知，

S_iEEc=2S二祝=2一

显然，三角形BEC和三角形CED

是两个等底（BC=CD）、等高的三角形，因此

S_B=SABEC_2。

这样，SUQE=S_15K+S

例2求右图中阴影部分的面积.（大圆直径为2,单位：厘米）。

MIL

分析：解题时可以先将图形下半部分翻转拼接为右图.然后将图中的小圆移至

中心从图中不难看出求原图中阴影部分的面积就是求一个圆环的面积。

解：大圆半径：2+2=1（厘米）

小圆半径：52=0.5（厘米）

阴影面积：3.14X（No。

=2.355（平方厘米）

答：阴影部分的面积是2.355平方厘米.

例3如下图.在图中三角形ABE、ADF和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF

的面积。

分析三角形AEF的面积等于四边形AECF的面积减去三角形ECF的面积.因为长

方形ABCD的面积等于三角形ABE、ADF和四边形AECF的面积和，

而这三者的面积又相等，所以四边形AECF的面积等于长方形面积的；由于

长方形ABCD的长、宽分别为9厘米和6厘米，因此很容易求出它的面积.所以解

题关键在于求出三角形ECF的面积。

根据三角形面积公式S=：ah,已知三角形ABE的面积等于长方形面积

的;，又知道AB=6厘米，可以求出BE的长度.知道BE的长度就可以求出

EC的长度同理可以求出FC的长度.这样三角形ECF的面积可以求出，使问题得

解。

解：长方形ABCD的面积：9X6=54（平方厘米）；

四边形AECF及三角形ABE、AFD的面积相等，是：

54X1=18（平方厘米）；

EC的长度：9-18X2+6=3（厘米）；

FC的长度：6-18X2+9=2（厘米）j

三角形AEF的面积：

18-3X2*2=15（平方厘米）。

答：三角形AEF的面积是15平方厘米。

例4如下页图.等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组

成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等.求扇形所在的圆面积.

分析.•.△ABC是等腰直角三角形，.•.AC=BC,NA=NB=45。。S==S二，

即S_b的面积等于以AE为半径，圆心角是45°的扇形面积根据已知条件，可

求打三角形ABC的面积从而可求出圆面积。

解：三角形ABC的面积：与史=50（平方厘米）；

周角是45°圆心角的几倍？360X45=8；

圆面积：50X8=400（平方厘米）o

答：扇形所在的圆面积是40评方厘米。

例5如右图.从一个正方形的木板上锯下宽为;米的一块长方形木条

以后，剩下的面积是粤平方米.问锯下木条的面积是多少平方米？

lo

分析利用一种称之为“弦图”的求面积的方法.用“弦图”计算面积最主要的

是掌握“弦图”的特点.其一：大正方形边长张方形长X土方形宽”

其二：小正方形的边长土方形的长x-长方形的宽y.解题时先把四个面积为

形边长是9米，从而可求出拼成后正方形的总面积，进而确定正方形的边长。

解：拼成后大正方形的面积：

枭+那=桨（平方米）。

loN/30

大正方形的边长：

V第=（1）2。.•.大正方形的长为胃米.

3666

长方形的长（即长方形木条的长）：

...长+宽=§（米），长-宽=1（米），

02

A长=（等+9+2=］（米）。

626

锯下木条的面积：平方米）。

6212

答：锯下木条的面积是15平方米。

例6一块长方形钢板，长截下4分米，宽截下1分米后，成了一块正方形钢板,

如右图，面积比原来减少了49平方米原来长方形钢板的面积是多少平方米？

14分*T

1分和训皿皿皿珊Ml

分析初看起来，图中长方形长和宽，正方形的边长都不知道，无法求出长方

形的面积，能否用特殊的方法思考呢？审题后发现长方形的长、宽和面积都和

正方形有关系.图中阴影部分，如果添一条“辅助线”，如下页图（1）或下页

图（2）,把它分解成两个长方形.以下页图（2）为例.记正方形的边长为x分米

带阴影的小长方形长为（x+4）分米，宽为1分米，带阴影的大长方形长为冷

米，宽为4分米.“面积比原来（长方形）减少了49平方米”，也就是大长方形

阴影部分面积+小长方形阴影部分面积=阴影部分总面积=49平方分米，用方程

解.

淋T

Q分

i

分分$

T

。

X分米

长为

形边

正方

解：设

=49,

+4x

）X1

（x+4

9,

4x=4

x+4+

,

5x=45

x=9o

）

分米

（平方

130

49=

9X9+

。

分米

0平方

为13

面积

钢板

方形

答：长

2

2

2

CD,

G=-

,C

jBC

F=

,B

?AB

AE=

，其中

边形

意四

D为任

ABC

例7

面积

CD的

形AB

与四边

的面积

FGH

边形E

H求四

,C、

E、F

,连结

yDA

DH=

。

图）

（如右

之比

S△®,

S_4=

得知

和BD

结ED

解：连

2

S

=

所以

DB'

TAA

s=lx2g=2

Q&AEH_33Q&ABD_qQ&ABD

2

印里S&CGF=§SABCD

22

因此S&AEH+S&CGF=g(S△妞D+S&BCD)=勺$口题口

2

同理^ABFE+S&DHG=口他CD，

4

所以S&AEH+S&CGF+S&BFE+=^"^nABCD

(l-g)ScLABCD

所以S皿GH2『s口ABCD

即四边形EFGH的面积：四边形ABCD面积=5:9。

例8如右图，己知三角形ABC的三条高必定交于一点，如记成P点,

请你讲明M+要+黑=1为什么成立？

ADJ5匕Ur

分析与解答从右图中可以看出APBC和AABC是同底的两个三角形,

它们的面积之比等于它们对应高的比，所以步巴=黑.同理可得：

'△ABC

S&PCA=PES&PABPF

,△ABCBECF

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