概率论与数理统计 第2版 课件 1.5 全概率公式与贝叶斯公式

一、引例二、全概率公式三、贝叶斯公式第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式例1(P24例1)设10件产品中有4件次品,任意抽取两次,每次抽取一件,抽取后不放回,求第二次抽取的是次品的概率.一、引例设Ai={第i

次取到次品},i

=1,2.解方法1直接利用古典概型得方法2因为所以第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式1.完备事件组

定义1设Ω为试验E的样本空间,A1,A2,…,An为一组事件,若AiAj=Φ(i

j,i,j=1,2,…,n),

=Ω,则称A1,A2,…,An为样本空间的一个划分,也称为完全事件组或完备事件组.第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式2.全概率公式

定理1设Ω为试验E的样本空间,而且A1,A2,…,An为一完备事件组,即AiAj=Φ(i

j,i,j=1,2,…,n),

=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意E的事件B,有第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式证

由事件列A1,A2,

,An两两互不相容知,事件列BA1,BA2,

,BAn也两两互不相容.因此P(B)=P[B(A1∪A2∪

∪An)]=P(BA1∪BA2∪

∪BAn)=P(BA1)+P(BA2)+

+P(BAn)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

+P(An)P(B|An)第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式

例2

(P25例2)甲、乙文具盒内都有2支蓝色笔和3支黑色笔,现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒,然后再从乙文具盒中任取2支笔.试求最后取出的2支笔都是黑色笔的的概率.

设A1={从甲文具盒中取到2支蓝色笔},A2={从甲文具盒中取到2支黑色笔},A3={从甲文具盒中取到1支蓝色笔和1支黑色笔},B={从乙文具盒中取到2支黑色笔}.显然A1,A2,A3构成一个完全事件组,且解第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式

例2

甲、乙文具盒内都有2支蓝色笔和3支黑色笔,现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒,然后再从乙文具盒中任取2支笔.试求最后取出的2支笔都是黑色笔的的概率.解由全概率公式得P(B)

=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式三、贝叶斯公式

定理2设Ω为试验E的样本空间,而且A1,A2,…,An为一完备事件组,即AiAj

=Φ(i

j,i,j=1,2,…,n),

=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意概率不为零的事件B,有证1≤k≤n.由条件概率的定义及全概率公式,对任意1≤k≤n,有第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式记C={取的产品是A厂生产的},

D={取到次品}.解例3(P26例3)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品是A厂生产的概率.P(C)

=0.6,P(D|C)=0.01,由已知有由贝叶斯公式得第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式设Ai={取到第i个箱子},Bi={第i次取到一等品},i=1,2.解

例4(P27例5)

假设有两箱同种零件:第一箱内装50件,其中10件为一等品;第二箱内装30件,其中18件一等品.现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回),试求:(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.(1)由全概率公式有P(B1)

=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式(2)所求概率为P(B2|B1),由条件概率的定义及全概率公式有

0.4856.第一章随机事件与概率§1.5全概率公式与贝叶斯公式

设B表示事件“被检查者患有癌症”,A表示事件“试验反应为阳性”,解

例5(P27例6)用某种试验方法对自然人群进行癌症普查,若患有这种癌症的人经过检查,“试验反应为阳性”的概率为0.95,而没患此癌症的人经过检查,“