概率论与数理统计 第2版 课件 3.3 随机变量的独立性

一、独立性的定义§3.3随机变量的独立性定义1

设F(x1,x2,···,xn)为n维随机变量(X1,X2,···,Xn)的联合分布函数,F

(xi)

为

Xi的边缘分布函数.若对任意n个实数第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性x1,x2,···,xn都有则称随机变量X1,X2,···,Xn相互独立.注1)

根据事件相互独立的定义及分布函数的性质可知，X1,···,Xn相互独立当且仅当对任意实数x1,···,xn,事件{X1<x1},···,{Xn<xn}相互独立.

2)对于二维随机变量(X,Y)，X与

Y相互独立等价于F(x,y)=FX(x)FY(y)，还等价于对于任意x,y∈R，随机事件{X<x}与{Y<y}相互独立.从而,随机变量X,Y所确定的任何随机事件都相互独立.第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性二、离散型随机变量的独立性定理1

设离散型随机变量(X,Y)的取值为(xi,yi),i,j≥1,第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性则X与Y相互对立，当且仅当注该定理表明，对于两个离散型随机变量而言，其相互独立的充分必要条件是联合分布律等于边缘分布律的乘积.这一结果对n维离散型随机变量仍然成立.证*

若对任意i,j≥1，有第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性则对任意(x,y)∈R，有即X与Y独立.反之，若X与Y独立，则第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性而故而第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性同理，故第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性例1

(见教材P99)设(X,Y)是二维随机变量，其中X和Y

的取值都是0和1.已知P{X=0,Y=1}=0.4，P{X=1,Y=1)}=0.1，并且随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，试求P{X=0,Y=1}以及P{X=1,Y=0}.解0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5.第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性设P{X=0,Y=1}=a，P{X=1,Y=0}=b.又由于随机事件{X=a}与

{X+Y=1}

相互独立.根据题意可知第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性另一方面因此，(0.4+a)(a+b)=a

且

a+b=0.5.解得a=0.4,b=0.1.一方面例2

(见教材P99)设一部手机在[0,t]内收到的短信数Y服从泊松分布P(λ).每个短信是否是广告短信与其到达时间独立,也与其它短信是否是广告短信独立.假设每个收到的短信是广告短信的概率为p，证明[0,t]内收到的广告短信数X与非广告短信数Z相互独立.证显然Y=n的条件下X的条件分布为二项分布，故第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性即X∼P(λp),同理可证Z∼P(λ(1−p)).因此，X与Z独立.三、连续型随机变量的独立性定理2

设fX(x),fY(y)分别是连续随机变量X和Y的边缘密度函数，

第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性注对于两个连续型随机变量而言，其相互独立的充分必要条件是联合密度函数等于边缘密度函数的乘积.此外，在本定理中,f(x,y)=fX(x)fY(y)成立是指其在除一个面积为零的集合外成立.则X与Y独立，当且仅当(X,Y)的联合密度满足如下条件第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性证*若f(x,y)=fX(x)fY(y)，则(X,Y)的联合分布函数为

故X与Y独立.反之，若X与Y独立，对于任意x,y∈R，则有因此例3

(见教材P100)设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为解第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性问随机变量X和Y

是否独立.当0<x<1

时，即第三章

多维随机变量及其分布§3.3随机变量的独立性当0<y<1

时,

即显然

f(x,y)≠fX(x)fY

(y),故X与Y

不独立.例4

(见教材P100)两人在某天8

点至9

点间独立等可能地到达某地会面,先到者等候20分钟后离去.求这两个人能相