专题1-5抛物线15类常考题型汇总（原卷版）

专题1-5抛物线15类常考题型汇总TOC\o"1-3"\n\h\z\u知识点梳理模块一抛物线的概念与基本性质【题型1】抛物线的焦半径相关计算【题型2】抛物线的焦点弦【题型3】抛物线的轨迹问题【题型4】抛物线的光学性质【题型5】抛物线的实际应用问题【题型6】利用几何性质计算求值模块二抛物线中最值问题【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题【题型8】直线到抛物线距离最小问题【题型9】抛物线中的线段和差最值问题【题型10】其它最值问题模块三抛物线与直线联立韦达化运算【题型11】焦点弦中点相关运算与证明【题型12】抛物线的焦点弦韦达化计算【题型13】不过焦点的弦长相关计算【题型14】垂直关系的处理【题型15】向量数量积的处理知识点梳理一、抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)二、圆锥曲线第二定义结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即eq\f(|MF|,|MA|)＝e.(1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；(2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；(3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝eq\f(a2,c)，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．三、抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下四、抛物线的焦点弦1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；(3)S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ为直线AB的倾斜角)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p

模块一抛物线的概念与基本性质【题型1】抛物线的焦半径相关计算（2023·雅礼中学高二期中）抛物线焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为A． B． C． D．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（

）A．4 B．5 C．6 D．7(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为eq\r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是()A．p＝2 B．F为AD中点C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2【题型2】抛物线的焦点弦过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．【题型3】抛物线的轨迹问题若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．（多选）已知抛物线的焦点为F，定点和动点A，B都在抛物线C上，且（其中O为坐标原点）的面积为4，则下列说法正确的是（

）A．B．抛物线的标准方程为C．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为D．若，则弦AB的中点N的横坐标的最小值为3若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是．若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是．【题型4】抛物线的光学性质探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则，．

抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则.【题型5】抛物线的实际应用问题如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（

）

A． B． C． D．石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（

）A．2m B．3m C．2.5m D．1.5m如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（

）A． B． C． D．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为.一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度米．【题型6】利用几何性质计算求值已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则.在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过的直线l与C交于A，B两点．若的面积等于的面积的2倍，则．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则．焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为．模块二抛物线中最值问题【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．已知抛物线，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为，距离＝，已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．2 D．3已知点在抛物线上，且为焦点，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为.【题型8】直线到抛物线距离最小问题（2023上·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（

）A． B． C． D．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为.【题型9】抛物线中的线段和差最值问题已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（

）．A．13 B．12 C．10 D．8已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为.【题型10】其它最值问题知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为6，则的最大值为．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值.点A，B是抛物线上的两点，F是抛物线C的焦点，若，中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是的中点，作垂直于准线，垂足为N，若以为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为________已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点），若，过的中点作于点，则的最小值为．已知点是抛物线上的动点，则的最小值为.模块三抛物线与直线联立韦达化运算【题型11】焦点弦中点相关运算与证明已知抛物线的焦点为F，直线与该抛物线交于A、B两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．已知抛物线的焦点为F，直线与该抛物线交于A、B两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交于两点．若为线段的中点，且，则．设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点．(1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值．

物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．【题型12】抛物线的焦点弦韦达化计算（2023上·广东广州·高二统考期末）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为.（2022上·广东深圳·高二校考期末）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.（1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值.

过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为，求抛物线C的方程．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq\f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【题型13】不过焦点的弦长相关计算过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq\f(1,2).(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(6)，求实数k的值．【题型14】垂直关系的处理若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A