新人教版高中数学五本书教材例题课后习题变式含答案1

第一章空间向量与立体几何

1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1空间直角坐标系

例1如图1.3-6,在长方体。钻中，0A=3,0C=4,0。'=2,以

丽7)为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

图1.3-6

(1)写出以，C,A',8'四点坐标；

(2)写出向量了万，两，五，苑的坐标.

解：(1)点皿在z轴上，且QD'=2,所以亦=0)+21.

所以点用的坐标是(0,0,2).

同理，点C的坐标是(0,4,0).

点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,O,供,它们在坐标轴上的坐标分别为3,

0,2,所以点A的坐标是(3,0,2).

点B在x轴、)，轴、z轴上的射影分别为4,C,以，它们在坐标轴上的坐标分别为3,

4.2,所以点所的坐标是(3,4,2).

(2)^=OC=07+47+0^=(0,4,0)：

WB=-Oiy=6i+0j-2k=(Q,Q,-2)；

AV=A?D;+57C7=-37+47+0^=(-3,4,())；

AC=AO+OC+CC=-3i+4j+2k=(-3,4,2).

练习

1.在空间直角坐标系中标出下列各点：

A(0,2,4),8(1,0,5),C(0,2,0),0(1,3,4).

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】建立空间直角坐标，然后标注点即可.

【详解】建立如下图如示的空间直角坐标系，根据每一个点的特点标注如下图.

2.在空间直角坐标系。Qz中，

(1)哪个坐标平面与x轴垂直？哪个坐标平面与y轴垂直？哪个坐标平面与z轴

垂直？

(2)写出点尸(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标.

(3)写出点尸(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标.

【答案】(1)平面*z与X轴垂直，平面MZ与y轴垂直，平面xoy与z轴垂直；(2)

点?(2,3,4)在平面wz的射影的坐标尸，(0,3,4),点尸(2,3,4)在平面X”的射影的坐

标尸'(2,3,0)；点尸(2,3,4)在平面xoz的射影的坐标户(2,0,4)；(3)点3,5)关

于原点对称点的坐标是3,-5).

【解析】

【分析】(1)利用空间直角坐标系求解；

(2)利用点的射影的定义求解；

(3)利用点关于原点对称的求法求解.

【详解】（1）平面yoz与X轴垂直，平面XOZ与y轴垂直，平面xoy与z轴垂直；

（2）点尸（2,3,4）在平面yoz的射影的坐标P'（（）,3,4）.

点尸（2,3,4）在平面my的射影的坐标尸'（2,3,0）.

点P（2,3,4）在平面MZ的射影的坐标P（2,（）,4）.

（3）点尸（1,3,5）关于原点成中心对称的点的坐标是3,-5）.

3.在长方体。钻C—O'A'8'C中.OA=3,OC=4,OD'=3,AC与B7X相交

于点P,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

（1）写出点C,B',尸的坐标;

（2）写出向量丽，衣的坐标.

【答案】(1)C(0,4,0),^(3,4,3),pf1,2,3I(2)丽=(0,0,3),正=(—3,4,0).

【解析】

【分析】（1）根据条件可直接写出答案;

（2）根据坐标算出答案即可.

【详解】（1）因为。4=3,OC=4,OD'=3,

所以C（0,4,0）,B'（3,4,3）,P（|,2,3）

(2)因为O'=(0,0,3),A(3,0,0)

而="=(0,0,3),M=/=(-3,4,0)

4.已知点8是点A(3,4,5)在坐标平面。町内的射影，求画.

【答案】5

【解析】

【分析】先求得点4(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，再利用两点间的距离求解.

【详解】因为点4(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影是8(3,4,0),

所以阿|=」32+42+0=5.

1.3.2空间向量运算的坐标表示

例2如图138,在正方体ABCO-AMGA中，E,F分别是84，的中点.求

证：EF±DA1.

图1.3-8

分析：要证明EF，。4,只要证明乔，瓯，即证乔•函.=().我们只要用坐标表

示彷，函，并进行数量积运算即可.

证明：不妨设正方体棱长为1,建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系Qxyz,则

又4(1,0,1),。(0,0,0),

所以万《=(1,0,1).

所以丽•西=(-：,一3，£].(1,0,1)=0.

所以而，两，即EbLDA-

例3如图1.3-9,在棱长为1的正方体ABC。—44G〃中，M为Bq的中点，E,,月

分别在棱4与，C2上，

图1.3-9

（1）求AM的长.

（2）求与力片所成角的余弦值.

分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A,M的坐标，利用空间两点间

的距离公式求出40的长.（2）8耳与。”所成的角就是西，。心所成的角或它的补

角.因此，可以通过国，。耳的坐标运算得到结果.

解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系Oxyz,则点A的坐标为（1,0,0）,点M的

（2）由已知，得

8（1,1,0）,,z）（o,o,o）,

国=乎，回卜限

所以

—•—•(\1A15

BE,­DF.=0x0+——x-+1x1=—.

11I416

所以

—15

8位瓯=部=雷近哈

44

所以，BE,与DF｝所成角的余弦值是.

练习

5.己知2=(-3,2,5),^=(1,5,-1),求：

(1)a+b;

(2)65；

(3)3a-b;

(4)a-b

【答案】(1)(-2,7,4),(2)(-18,12,30),(3)(-10,1,16),(4)2.

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标运算算出答案即可.

【详解】因为之=(一3,2,5),万=(1,5,-1)

(1)所以&+区=(-2,7,4),

(2)65=(-18,12,30)

(3)35-^=(-9,6,15)-(1,5,-1)=(-10,1,16)

(4)a-b=—3+10—5=2

6.已知。=(2,—1,3)，h=(-4,2,JV)>且QJ_Z?,求x的值.

【答案】y

【解析】

【分析】解方程2x(-4)+(T)x2+3x=0即得解.

【详解】因为】jJ，所以］/=0，

所以2x(-4)+(T)x2+3x=0,

所以x号.

7.在z轴上求一点M,使点”到点A0,0,2)与点8(1,-3,1)的距离相等.

【答案】(0,0,-3)

【解析】

【分析】设出点M的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可

【详解】解：设点”(0,0,⑼，

因为M到点4。,0,2)与点的距离相等，

所以J12+()2+(〃L2)2=jF+32+(加—If,解得加=—3,

所以点M的坐标为(0,0,-3)

8.如图，正方体O4BC-O'AB'C的棱长为八点N,M分别在AC,BC'上,

AN=2CN,BM=2MC',求MN的长.

【答案】迤

3

【解析】

【分析】先写出点M,N的坐标，然后算出答案即可.

【详解】因为正方体。钻C-O'A'B'C'的棱长为服点N,“分别在AC,BC'±.,

AN=2CN,BM=2MC,

a2a}孑争。，

所以M~yai~|，N

33J

a24a2_y[5a

所以|MN|=\0+

~9

9.如图，在正方体A88-A6C2中，”是AB的中点，求与CM所成角的

余弦值.

【答案】叵

15

【解析】

【分析】以。为原点，D4为X轴，0c为y轴，。。为Z轴，建立空间直角坐标系,

利用向量法即可得到答案.

【详解】以。为原点，94为X轴，0c为y轴，。2为z轴，建立空间直角坐标系,

如图,

设正方体ABC。—48GA的棱长为2,则M（2,l,0）,C（0,2,0）,0（0,0,0）,

4（2,2,2）,

遇=（2,2,2）,GW=（2,-1,0）,

函.两_4—2+0_V15

设直线。片与直线CM所成角为。，则cos6=

|函，丽「灰•石—15

所以直线DBI与直线CM所成角的余弦值为叵.

15

习题1.3

复习巩固

10.在空间直角坐标系。孙Z中，三个非零向量心B，m分别平行于X轴、y轴、Z

轴，它们的坐标各有什么特点？

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】直接利用向量与坐标轴的关系，写出结果即可.

【详解】向量日，B，1分别平行于％轴，＞轴，z轴，

所以向量M的横坐标不为0,纵坐标为0,竖坐标为0；

向量石的横坐标为0,纵坐标不为0,竖坐标为0；

向量的横坐标为0,纵坐标为0,竖坐标不为0；

11.M（x,y,z）是空间直角坐标系。Q，z中的一点，写出满足下列条件的点的坐标;

（1）与点M关于x轴对称的点；

（2）与点M关于y轴对称的点；

（3）与点/关于z轴对称的点；

（4）与点M关于原点对称的点.

【答案】（1）（x,-y,-z）,（2）（-x,y,-z）,（3）（-x,-y,z）,（4）（一苍-y,-z）.

【解析】

【分析】（1）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；

（2）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；

（3）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；

（4）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可；

【详解】若"（x,y,z）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则

（1）与点M关于％轴对称的点为z）

（2）与点M关于y轴对称的点为（-羽％-z）

（3）与点M关于z轴对称的点为（-X,-y,z）

（4）与点Af关于原点对称的点为（一z）

12.如图，正方体。钻C-O'AB'C'的棱长为mE,F,G,H,I,1/分别是棱

CD,DA'A'A，AB,BC,CC'的中点，写出正六边形EFG”〃各顶点的坐

【答案】E（O，|，aJ,尸K，O，aJ，6（。,0,向，”［吟0）,喧,叫，中丐）.

【解析】

【分析】根据图形写出各点的坐标即可.

【详解】因为正方体。LBC—O'45'C的棱长为a,E,F,G,H,I,•/分别是棱C'。'，

DA,A'A，AB,BC,CC'的中点

所以怎（期|,a）,喉QM），GM，。,?，川吟0）,/,,a,0）,J10,.

13.先在空间直角坐标系中标出A,8两点，再求它们之间的距离：

（1）A（2,3,5）,3（3,1,4）；

（2）A（6,0,l）,3（3,5,7）.

【答案】（1）限,作图见解析；

（2）屈,作图见解析.

【解析】

【分析】（1）先在空间直角坐标系内画出两点，再利用空间两点间距离公式直接求

解即可；

（2）先在空间直角坐标系内画出两点，再利用空间两点间距离公式直接求解即可.

【小问1详解】

两点在空间直角坐标系内位置如图所示：

由空间两点间距离公式可得:

AB=J(2-3『+(3-1)2+(5_41=瓜.

【小问2详解】

两点在空间直角坐标系内位置如图所示:

由空间两点间距离公式可得：

AB=J(6-3)2+(0_5>+(1-7)2二屈.

14.已知"=(2,-3,1),1=(2,0,3),1=(0,0,2).求：

(1)a-(B+c)；

(2)a+6b-Sc-

【答案】⑴9,(2)(14,-3,3)

【解析】

【分析】(1)先求出力+3再利用数量积运算性质求解即可;

(2)直接利用向量坐标的加减法运算性质求解

【详解】解：(1)因为B=(2,0,3),"=(0,0⑵,

所以1+"=(2,0,5)，

因为£=(2,-3,1),

所以£@+'=2X2+(_3)X0+1X5=9,

(2)因为5=(2,—3,1),1=(2,0,3),"=(0,0,2),

所以£+62—8"=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)

=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)

=(14,-3,3)

综合运用

15.求证：以4(4,1,9),6(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等

腰直角三角形.

【答案】见证明

【解析】

【分析】利用空间间两点的距离公式分别求AB,AC,BC,进而可得三角形的形状.

【详解】/(4,1,9),6(10,-1,6),C(2,4,3),

AB=1(4-10)2+(1+1)2+(9-6)2=7,

AC=J(4-2)2+(1-4)2+(9-3)2=7,

B(=,J(10-2)2+(-l-4)2+(6-3)2=7后,

：.A〃+Ad=B©,AB=AC,

...△/阿为等腰直角三角形.

【点睛】本题主要考查了空间中两点距离的求解，利用三角形的长度关系判断三角

形的形状，属于基础题.

16.已知A(3,5,—7),8(—2,4,3),求而，丽，线段AB的中点坐标及线段A3

的长.

【答案】AB=(-5,-l,10),丽=(5,1,TO),线段A3的中点坐标为线

段A3的长为3m.

【解析】

【分析】根据点A,B的坐标求出答案即可.

【详解】因为A（3,5,—7）,B（-2,4,3）,

所以而=（一5,-1/0）,54=（5,1,-10）

线段的中点坐标为,

线段AB的长为V25+1+100=3V14

17.如图，在正方体A3CO-中，M,N分别为棱AA和gB的中点，求

C