记数的基本原理与排列组合

基本原理组合排列排列数公式组合数公式应用问题知识结构

分类计数原理，分步计数原理分类计数原理分步计数原理原理

完成一件事可以有n类办法，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共N=m1+m2+……+mn种不同的方法。

完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共N=m1×m2×……×mn种不同的方法。区别分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可完成这件事。分步计数原理针对的是“分步”问题，各步方法相互依存，只有各步都完成才能完成这件事。

例、书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?N＝4＋3+2＝9N＝4×3×2＝24(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?例由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位数？（各位上的数字可以重复）解：第一步：选百位上的数字，有4种；第二步：选十位上的数字，有5种；第三步：选个位上的数字，有5种；所以共有4×5×5=100个。练习：有8名考生，报考5所院校，每人限报一所，不同的报法有58填空题1．由数字2，3，4，5可组成________个三位数，_________个四位数，________个五位数．２．用1，2，3…，9九个数字，可组成__________个四位数，_________个六位数．３．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有___种不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有_________种不同的选法．33；270①什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列？从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号表示②什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？③排列数的两个公式是什么？（n，m∈N*，m≤n）125组合定义：一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合数公式：组合数的两个性质:（1）（2）(1)x=7或x=9(2)n=8排列组合定义从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列。从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个不同的元素的一个组合。区别与顺序有关与顺序无关判定

看取出的两个元素互换位置是否为同一种方法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。公式排列与组合例1：（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？分析：问题可以看作7个元素的全排列.(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？分析:根据分步计数原理(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？分析:可看作甲固定,其余全排列(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解:将问题分步第一步:甲乙站两端有种第二步:其余5名同学全排列有种答：共有2400种不同的排列方法。(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一:(特殊位置法)第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有种;第二步:剩下的全排列,有种;答：共有2400种不同的排列方法。解法二:(排除法)先全排列有种,其中甲或乙站排头有种,甲或乙站排尾的有种,甲乙分别站在排头和排尾的有种.答：共有2400种不同的排列方法。(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？了解！练习：由0,1,2,3,4,5组成无重复数字的数：（1）四位数有多少个？（2）四位奇数有多少个？（3）四位偶数有多少个？（4）能被5整除的四位数有多少个？（5）比2400大的四位数有多少个？练习：从8名男生，2名女生中，任选三名开会（1）共有多少种不同的选法；（2）恰有1名女生的选法多少种；（3）至少有1名女生的选法多少种；（4）最多有1名女生的选法多少种？捆绑法:对于相邻问题,常常先将要相邻的元素捆绑在一起,视作为一个元素,与其余元素全排列,再松绑后它们之间进行全排列.这种方法就是捆绑法.例3：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有

种排法，而三个女孩之间有种排法，所以不同的排法共有：（种）。捆绑法若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）说一说捆绑法一般适用于问题的处理。相邻例4：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。插空法:对于不相邻问题,先将其余元素全排列,再将这些不相邻的元素插入空挡中,这种方法就是插空法.若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有种方法，所以共有：（种）排法。插空法例5：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有种方法，所以共有：（种）排法。插空法例6：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不同的排法？解：先把其余五人排成一排有种排法，在每一排列中有四个空档（不包括两端），再把甲、乙插入空档中有种方法，所以共有：（种）排法。插空法例7：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。例1

学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？解

先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.结论1

插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.例2

5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

解

因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法.结论2

捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.例3

某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?解

43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种.结论6

排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.练习：用0，1，2，3，4这五个数，组成没重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。

分析：五个数组成三位数的全排列有个，0排在首位的有个，1排在末尾的有，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数（为什么？）故共有种。例题2：4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？解答：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法，由分步计数的原理,有＝720种不同排法．例题2：4个男同学，3个女同学站成一排(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？解答：(2)先将男生排好，共有种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有种方案，故符合条件的排法共有＝1440种不同排法．例题3：4个男同学，3个女同学站成一排(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？解答：(3)甲、乙2人先排好，有种排法，再从余下5人中选3人排在甲、乙2人中间，有种排法，这时把已排好的5人视为一整体，与最后剩下的2人再排，又有种排法，这样总共有＝720种不同排法．例题4：4个男同学，3个女同学站成一排(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

．解答：(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有种排法．这样，总共有＝960种不同排法．例题5：4个男同学，3个女同学站成一排(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)．解答：(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有＝840种不同排法.住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：

一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例6

七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（）A.B.CD.分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客