辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试题含答案解析

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．设命题，则命题的否定是（

）A． B．C． D．3．函数，则（

）A． B． C． D．4．函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．5．已知，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．6．定义在R上的函数，“是奇函数”是“的图像关于轴对称”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要7．己知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．8．己知，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．4 D．二、多选题9．己知事件A，B是相互独立事件，且，则（

）A． B．C． D．10．在中，D在边上，，是的中点，则（

）A． B．C． D．11．如图所示，现有一个直角三角形材料，，想要截得矩形CDEF，点E在边AB上，记矩形CDEF的面积为S，的面积为T.已知，设，，则（

）A． B．C．当S取最大值时， D．当S取最大值时，12．下列各式的大小关系正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．计算：.14．甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同的概率是.15．己知点，若，与交于点，则点的坐标为.16．己知奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，若恒成立，则a的取值范围是.四、解答题17．已知全集，集合，或.(1)求；(2)若，求a的取值范围.18．己知向量以为基底的分解式为，其中.(1)求m，n的值；(2)若，且，求k的值.19．已知函数.(1)若，求在上的值域；(2)若方程的两个根分别是，且，求实数a的取值范围.20．已知定义在上的函数，对于，恒有.(1)求证：是奇函数；(2)若是增函数，解关于x的不等式.21．国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宜传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求这组数据的分位数（精确到0.1）：(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.①再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率；②若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差.22．己知函数.(1)若时，求的定义域；(2)若函数的图像关于直线对称.①求a，b的值；②求证：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】结合题意：.故选：C.2．D【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得.【详解】命题为存在量词命题，其否定为.故选：D.3．B【分析】根据分段函数由内到外求解即可得解.【详解】，故选：B4．C【分析】由函数的解析式求得再根据函数的零点存在性定理即可求得函数零点所在区间.【详解】结合题意：易得该函数在连续且单调递增，易判断根据函数的零点存在性定理可知在有零点.故选：C.5．D【分析】由题意有且，利用不等式的性质判断各选项的结论是否正确.【详解】且，则有，，，则，A选项错误；，的符号未知，不能确定，B选项错误；，当时，，C选项错误；，，，D选项正确.故选：D6．A【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的定义进行判定即可.【详解】若是奇函数，则,∴,∴为偶函数，∴的图像关于轴对称；当时，是偶函数，图像关于轴对称，但不是奇函数，∴“是奇函数”是“的图像关于轴对称”的充分不必要条件，故选：7．C【分析】利用反函数知识求出，结合复合函数的单调性可判断出的单调递减区间.【详解】因为函数与的图象关于直线对称，所以，因为，所以，解得：.所以，由，可得的定义域为，令，则在单调递减，而在定义域单调递增，由复合函数的单调性可知:在单调递减.故选：C.8．A【分析】利用“1”代换，结合基本不等式即可求出答案【详解】因为，且，所以.当且仅当时，即，有最小值.故选：A.9．ACD【分析】由独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解.【详解】事件A，B是相互独立事件，且，则，解得，，A选项正确，B选项错误；，C选项正确；，D选项正确.故选：ACD10．BCD【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】对于选项A:由向量得减法法则可知，故A错误;对于选项B：,故B正确;对于选项C：,而，所以，故C正确;对于选项D：,故D正确.故选：BCD.11．BC【分析】由，利用对应边成比例，表示出的关系式判断选项A；由的关系式，把表示为关于的函数，验证选项B；由二次函数的性质，求S取最大值时的值，计算验证选项C；通过三角形形状验证判断选项D．【详解】，为矩形，则，，，可得，有，，得，A选项错误；由，得，，B选项正确；由二次函数的性质可知，时，单调递增；时，单调递减，则当时，S取最大值，此时，C选项正确；当S取最大值时，，此时分别为的中点，，所以与不垂直，D选项错误．故选：BC12．AC【分析】对于选项A,B:由指数函数与幂函数的增长差异即可判断；对于选项C:要判断与的大小，只需比较的大小即可；对于选项D:利用作商法，借助对数运算及基本不等式判断与1比较大小即可.【详解】对于选项A,B:由指数函数与幂函数可知：当时，有，因为，所以,故选项A正确；当时，有，因为，所以,故选项B错误；对于选项C:要判断与的大小，只需比较的大小，因为，所以，即,故选项C正确;对于选项D:因为，所以所以，即.故选项D错误.故选：AC.13．10【分析】根据对数运算性质和分数指数幂的运算，直接进行计算即可得解.【详解】.故答案为：10.14．【分析】将甲医院2男1女以及乙医院1男2女标记，利用列举法求出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】记甲医院2男1女为、、；乙医院1男2女为、、，从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名：共有种，所以选出的2名医生性别不相同有，共种选出的2名医生性别不相同的概率.故答案为：【点睛】本题考查了列举法求基本事件、古典概型的概率计算公式，属于基础题.15．【分析】设,利用求出,再利用相似得到，进而求到点的坐标.【详解】结合题意：设，易得,,由，可得：，解得，即，因为，所以,所以,所以,即，解得，即点的坐标为.故答案为：.16．【分析】利用函数奇偶性结合，求出函数和的解析式，由函数单调性解不等式，问题转化为恒成立，利用基本不等式求最小值即可.【详解】奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则有，解得，，函数和在R上都单调递增，则在R上单调递增，且有，恒成立，即恒成立，即恒成立，由，当且仅当，即时等号成立，所以，即a的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：由，利用函数奇偶性通过方程组求和的解析式，函数不等式要利用单调性求解，恒成立问题可转化为求函数最值.17．(1)，(2)【分析】（1）解集合中的不等式，得到集合，再利用集合的运算求；（2）由，有，利用包含关系列不等式求a的取值范围.【详解】（1）不等式，解得或，则；不等式，即，解得，得，则.故，.（2）因为，则，有或，解得或，a的取值范围为.18．(1)(2)【分析】（1）由平面向量基本定理，列方程组求m，n的值；（2）利用向量共线的条件，计算k的值.【详解】（1），则有，解得.（2），由，有，即，则，解得.19．(1);(2).【分析】（1）结合二次函数的图象与性质求出最值，表示出值域即可;（2）结合判别式及韦达定理表示出，求出实数a的取值范围即可.【详解】（1）当时，，所以在单调递减，在单调递增.所以，，所以在上的值域为.（2）结合题意：令，所以，解得或.所以，由，可得，整理得，解得，结合或，所以实数a的取值范围为.20．(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用赋值法求出，再令结合奇函数的定义即可判断；（2）利用单调性，将不等式转化为，然后对进行分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】（1）取，则，解得，取，则，所以，故为奇函数；（2）不等式，即，又为上的单调递增函数，则，即，当时，不等式的解集为；当时，解得，不等式的解集为．当时，解得，不等式的解集为．21．(1)(2)①；②27【分析】（1）根据频率分布直方图求,即可根据面积求解第30百分位数；（2）①由列举法结合古典概型的概率公式计算即可；②由平均数、方差的计算公式求解即可．【详解】（1）由表中数据可得，解得，设第30百分位数为，，，位于第三组：内，；（2）①由题意得，第2组和第5组的频率分别为，故第2组和第5组所抽取的人数之和为，且第2组和第5组抽取人数之比为，即第2组3人，记为，，，第5组2人，记为甲，乙，对应的样本空间为：，甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，甲乙，甲乙，共10个样本点，设事件为“至2人被选上”，则有，甲，乙，甲，乙，甲，乙，共有7个样本点，；②设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为，第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，则，即第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为37，．即第2组和第3组