初二上加深提高分

1x=123456789×123456786，y=123456788×123456787x、y的大小．x=（a+1（a-.1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.34521.345=x，那么：原式=x（x-1）•2x-x3-x（x-2x+1，=2x3-=-4、我们把符号“n!”读作“nnn≠0时，0!=1 ；（2（3+2）!- （3）用具体数试验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!1（x2+x+1）=x3-1（2a+b（4a2-”2…2y（x2-29（x-1）2-2x-53；x2-xy2x2+xy+3y2（2（2x2+xy+3y2）-=2x2+xy+3y2-5、设，求整式的值．6、已知整式2x2+ax-y+6与整式2bx2-3x+5y-1的差与字母x的值无关，试求代数式7（ab2+2b3-a2b）（2a2b-3ab2-3a2）x2-2b=0，a+3=0a=-3，b=1．别作为分子和分母共有4×3=12种结果，其中以 作分母的3个，不能组成分式，故可以组成9个分式能组成分式的概率为=（2）如， 甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a（3x+b，由于甲抄错了第一个多项式中ax∴（2x+a（Zx+b）=2x2+2bx+aZx+ab=2x2-x∴（2x+a（x+b）=2x2-∴2b+a=-∴b=-2，a=-5（3x-由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4a2+2b2+3c2误以为是加上-4a2+2b2+3c2A=9a2-8b2-9a2-8b2-xABa千米/小时，A，B120A站开B站需要多长时间？解：（1）售价为：75%x（2）根据题意，t=根据题意得，现在人数为：（1-25%）m+3a53ma=102m的值．（a+5，=3a-a-=2a-（2）a=102时，=199（亩20120024x（注：利润=销售总额-成本-其他费用11300块，采取哪一种销售方式获得的利200块黑板时，应选择哪一种销售方式较（2）x=30010×300-1200=1800（元；（3）x=20010×200-1200=800（元4×200=800（元；16（1）计算（a-2（a2+2a+4）= （2x-y（4x2+2xy+y2）=（2）（a．b的字母表示A（a-3（a2-C（4-x（16+4x+x2） （m-n（m2+2mn+n2）直接用公式计算：（3x-2y（9x2+6xy+4y2）=（2m-3（4m2+6m+9）=2x3-x2+m2x+1m的值．x2+m=（2x+1（x2+ax+b，2x3-x2+m=A（2x+1（A2×（-0.5）3-0.52+m=0m=0.5x4+mx3+nx-16x-1x-2m、n的值．1（x-2（x2+ax+b，…（1x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b…（2分）比较系数得：，解得，m=-5，n=20．…（4分（1）化简：3x2y-[2xy-（xy-（2）A=2x2+xy+3y2，B=x2-xy+2y2，CA+B+C=0C．解：（1）原式=3x2y-[2xy-3xy+x2y]（2分）=3x2y-=3x2+5y2（2分，（A+B，5y2（4191：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下=（200-5（200+5）①=2002-例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称（2）a2，整个式子的值不变，于是有：=（x+a）2-=（x+3a（x-a．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法利用“配方法”分解因式：a2-4a-3x-y=5，xy=3，求：①x2+y2；②x4+y4x=123456789×123456786，y=123456788×123456787x、y的大小．x=（a+1（a-3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562．3.456a2.456=a-1，5.456=a+2，1.456=a-2，可得：=2a-∴原式=2a-4=2×3.456-（1（-（2）[2（a2x）3-（3（3mn+1（-（4）1232-（5）[（xy+2（xy-2x2y2+4]÷（xy：（1（-8a4b5c）÷（4ab5）•（3a3b2，=-2a3c•（3a3b2，=-（2）[2（a2x）3-9ax5]÷（3ax3，=[2a6x3-9ax5]÷（3ax3，（3（3mn+1（-=（9m2n2-1）-（9m2n2-12mn+4，=12mn-（4）1232-=1232-（123+1）×（123-1，=1232-（1232-1，=1232-（5）[（xy+2（xy-2x2y2+4]÷（xy，=[x2y2-4-2x2y2+4]÷（xy，=（-x2y2）÷（xy，=-当x=10，y=-时，原式=-10×（-）=213倍，则这个角的度数是多少？(45°)22A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相x、y的值．234（2001•宁夏）设a-b=-2，求的值计算：解：由题意可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，n2-（n-1）（n+1）．1，所以原式（2007•淄博）1011×29；16×24；10 …（4分所以，可以令□-x=123456789×123456786，y=123456788×123456787x、yx=（a+1（a- ∵x-y=a2-a2-（a2a）=-1.345×0.345×2.69-1.3453-1.3450.34522、我们把符号“n!”读作“nnn≠0时，0!=1照以上的定义和运算顺序，计算 ；（2（3+2）!- ；（3）用具体数试验一下，看看等（m+n）!=m!+n!1（2a+b（2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结你能利用上面的规律来计算（-x-2y）x22xy4y2A（a-3（）B（2m-n（2C（4- D（m-n（2y（3（195×205．解：195×205=（200-5（200+5）①=2002-例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称（2）2x22axa2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2x22ax3a2x22ax3a2a2它与x22ax的和成为一个 x22ax3a2=x22axa2-a23a2=(x+a)2(2a)2(x+3a)(x-像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法a24a5、一个单项式加上多项式9(x-1)22x56、设，求整式的值x-y=5，xy=3x2y2x4y4的值．7、化简：（1；

与另一个整式的和是2x2

3y282x2ax-y+62bx23x+5y-1x7（ab22b3a2b）3a2（2a2b-3ab23a2）（2x+a（3x+b+11x-10x2x2-9x+10a、ba2-4b2-2c2xABa千米/小时，A，B120A站开B站需要多长时间？m25%3人，该单位（1mm；（2）a=102m的值．20120024x（注：利润=销售总额-成本-其他费用11300块，采取哪一种销售方式获得的利润200（1）3x2y-[2xy-（xyx2y+2xy）]（2）A=2x2+xy+3y2B=x2-xy+2y2C是一个整式，且15A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相x、y的值．16（1（- （2）[2(a2x)3-9ax5]÷（3ax3（3（3mn+1（-

2x3x2+m2x+1mx4+mx3+nx-16x-1x-2m、n183194小测 姓 （1）+（x+y（x-设a-b=-2，求的510 ○2（10（1（(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1n(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1n(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n1解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-=-2xn-1yn[(x2n)2-=-2xn-1yn(x2n-(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-＝(a-b)2+2c(a-=(a-=(a-(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-=a5(a2-b2)+b5(a2-=(a2-=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-例2分解因式：a3+b3+c3-本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式分析解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-=［(a+b)3+c3］-=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)a3+b3+c3-显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即3+b3+c3≥3abc而且，当且仅当a=b=c时，等x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，x=y=z．例3分解因式分析16x15，x0，an-bn解x16-1=(x-说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)4分解因式：x3-分析18-1+9．=(x3-1)-=(x-1)(x2+x+1)-9(x-=(x-1)(x2+x-2将一次项-9x-x-8x．=(x3-x)+(-=x(x+1)(x-1)-8(x-=(x-1)(x2+x-3x39x3-8x3．=(9x3-9x)+(-=9x(x+1)(x-1)-8(x-=(x-1)(x2+x-4添加两项-x2+x2．=x3-x2+x2-=x2(x-1)+(x-8)(x-=(x-1)(x2+x-说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观5(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-解(1)将-3-1-1-1．=(x9-1)+(x6-1)+(x3-=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-=(x3-=(x-4mn2mn+2mn．=m2n2-m2-=(m2n2+2mn+1)-(m2-=(mn+1)2-(m-=(mn+m-n+1)(mn-将(x2-1)22(x2-1)2-(x2-原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-=(2x2+2)2-(x2-添加两项+ab-原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-=(a3b-ab3)+(a2-=ab(a+b)(a-b)+a(a-=a(a-=[a(a-=(a2-说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-分析xx2+xyy解x2+x=y，原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-=(y-2)(y+5)=(x2+x-=(x-说明x2+x+1x2+x+1=u，7(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-分析解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-y=2x2+5x+2，原式=y(y+1)-90=y2+y-=(y+10)(y-=(2x2+5x+12)(2x2+5x-=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)8解x2+4x+8=y，原式说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新例9分解因式：6x4+7x3-36x2-解法1原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-=6(x2-1)2+7x(x2-1)-=[2(x2-1)-3x］［3(x2-=(2x2-3x-2)(3x2+8x-=(2x+1)(x-2)(3x-说明x2-1解法原式=x2[6(t2+2)+7t-=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-=x2[2(x-1/x)-3][3(x-=(2x2-3x-2)(3x2+8x-=(2x+1)(x-2)(3x-10分解因式：(x2+xy+y2)-分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．x+y=u，xy=v，原式=(u2-v)2-4v(u2-=u4-=(u2-=(x2+2xy+y2-=(x2-(2)x10+x5-(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x3+3x2- (2)x4- (4)x4-(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-y2x2-(5+7y)x-(22y2-x即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-x

所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-=(x+2y-3)(2x-(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-dx．1xy+y2+x-y-6x2-7xy-3y2-xz+7yz-解

原式=(x-5y+2)(x+2y-原式=(x+y+1)(x-x20原式=(y+1)(x+y-鼎吉教育（DinjEducation）鼎吉教育（DinjEducation）练原式=(2x-3y+z)(3x+y-说明(4)anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(nxf(x)，g(x)，…等记号表示，如f(-2)=(-2)2-3×(-f(a)=0，af(x)定理1(因式定理)af(x)f(a)=0f(x)x-f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理 pa0，qana0=1f(x)an例2分解因式：x3-4x2+6x-分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-44：±1，±2，±4，f(2)=23-4×22+6×2-x=21，x-1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-=(x-2)(x2-2用多项式除法，将原式除以(x-原式=(x-2)(x2-说明须对-4例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-分析9±1，±3，±9；-2学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2 第19 咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师9x2-3x-解9x4-3x3+7x2-3x-=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-=(9x2-3x-=(3x+1)(3x-说明9x2-3x-2，g(x)进行分解了．4分解因式分析解m=3，n=1．原式说明例5分解因式：x4-2x3-27x2-解原式学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2 第20 咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师bd=7，b=1，d=7原式=(x2-说明bd=7(1)x2-8xy+15y2+2x-4y- (2)x2-xy+2x+y-(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-(1)x3+x2-10x- (2)x4+3x3-3x2-12x-(3)4x4+4x3-9x2-2x2+3xy-9y2+14x- (2)x4+5x3+15x-初中数学竞赛专题培 第十一讲勾股定理与应学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2 第21 咨询热线：0757-8630706713760993549（吉老师勾股定理a，bc勾股定理逆定理a，b，c3000112-16Rt△ABCABDE，BCHK，ACFGc2，a2，b2．下面CCM∥BD，ABL，BG，CE．所以△ACE≌△AGB(SAS)．所以SAEML=b2同理可证SBLMD=a222-17Rt△ABCCA，CBD，F，AD=a，BF=b．CDEF(a+b)，DEDG=b，EFEH=b，AG，GH，HB．由作图易知化简得K，AF，DHEGF，H．Rt△ABCS=SABDE+2S△ABC，①S=SACGF+SHGKD+2S△ABC．所以定理2证(1)C2-19AD⊥BCD，CDACBCABDAB2=AD2+BD2，①ACD，AD2=AC2-CD2，②BD2=(BC-CD)2，③AB2=(AC2-CD2)+(BC-=AC2-CD2+BC2+CD2-=AC2+BC2-c2=a2+b2-2a·CD．④AB2=AD2+BD2，⑤ACDAD2=AC2-CD2，BD2=(BC+CD)2，⑦AB2=(AC2-=AC2-c2=a2+b2+2a·cd．⑧特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABCc2=a2+b2，则c2＜a2+b2，则c2＞a2+b2，则12-21ABCD，∠BACBCE，EF⊥ACF，FG⊥ABG．求证分析证AE∠FAB，EF⊥AF，AE△AFE△ABE所以AF=AB．Rt△AGF∠FAG=45°，AF2=AG2+FG2=2FG2．由①，②得：说明AFAF(AB)FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．22-22所示．AM是△ABCBC证AAD⊥BCD(DBC内)．由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD．①在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD．②①+MB=MCAB2+AC2=2(AM2+BM2)．③如果设△ABCa，b，cma，mb，mc推论△ABC说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理ma，mb，mca，b，c边上的中线长．32-234分析2-23PQ，可看作△BDQ2证ABCDAC，BDQ，P2，在△BDQ2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．①在△ABC中，BQAC在△ACD中，QDAC说明42-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，EBC，AC分析44证AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以5452-25ABC中，∠C=90°，AM，BNBC，AC分析特殊情况——M，N4的结论，使证明过程十分简洁．证MN4所以4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2．①M，NBC，AC所以4MN2=AB2由 说明MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行．又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线赵君卿图(2-项名达图(2-杨作枚图(2-ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)由△ABCOBC，CA，ABD，E，F2-30ADBCAB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC22-31ABCB，CBE，CF．全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定：（1）DE=AB（2）∠EDB=60°（提示：充分利用等边三角形这个条件是解题关键例1．在ΔABC中，AB=6，中线AD=7，则边AC的取值范围是 X。求证：OX∠AOB.两个三角形有以下三对元素对应相等,则不能判定全等的是 (A)一边和任意两个 （B）两边和他们的夹（C）两个角和他们一角的对 （D）三边对值相下列所叙述的图形中，是全等三角形的只 两边相等的两个直角三角 (B)一边和一角对应相等的两个直角三角(C)长为厘米的两个等边三角 (D)一个钝角相等的两个等腰三角 如图，AD是ΔABC的中线，E、F分别在AB、AC上且DE⊥DF，则 D.EF与BE+CF大小关系无法确定 D D已知:如图 在VABC中，∠B=∠C, D、E在BC、AC上，且Ð1=ÐB，AD=DE。求证：VADB@VDEC VABCDEFABBCCAVDEFVADF 如图,在VABCÐABC=90°，AB=BC，AF、CEBDF、E，求证：EF=CE-AF如图，在ΔABC，∠BAC=90°，AB=AC，BEoBCoBC EBEMC如图，公园有一条“ZAB∥CDE，M，FBE=CF，MBCBEMCADBD、CE分别是VABCACABPBD的延长线上，BP=ACQCE上，1公 公 公 公 公公 公 公公 2例1在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是 ABAD＞CBC．ABAD＜CB

ABAD＝CBD．ABAD与CBCD

AC平分

以ACACDACE

ABAD=ABAECBCECBCD例 设G为△ABC的重心，且AG6,BG8,CG10,则△ABC的面积为 BC的中点DG180EBGCE是平行四边形.在△BEG中，BE10BG8EG6所以△BEGAEAE

2SABDADBGPAPG EE例1 例2 例360例 已知P是等边△ABC内的一点，PA5,PB4,PC3,则BPC的度数为 B将△ABP60°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等边三角形。在△PCEPC3PE4CE5所以△PCE是直角三角形，因此BPC150.90例4 已知P是正方形ABCD内的一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，则APB的度数为（ 解：绕着点B将△ABP顺时针旋转90°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等腰直角三角形。在△PCEPC3aPE22aCEa所以△PCE是直角三角形，因此BECAPB例4 例5例 D村，测得ADC45今将△ADC4DA、DCRt△ADBRt△BDCRt△ADERt△FDCEAFC交于GDEGFDBDBx在RtAGC中，AGx2，CGx3AC5x6

1511初中数学竞赛专题培 第十讲三角形的全等及其应边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成推论有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)．斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成12-1．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证用全等三角形证明线段(或角)相等，最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在一对可证由已知

∠ABC=∠DCB，∠EBC=∠ABC-△ABC△BCD△ABC≌△DCB(ASA)，所以AB=CD．说明AB，CD△ABE