数学九年级下册专题27.1 成比例线段-重难点题型（人教版）（学生版）

专题27.1成比例线段-重难点题型【人教版】【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念】【例1】（2020•浉河区校级一模）已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为．【变式1-1】（2020秋•岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20【变式1-2】若a：b＝c：d，则下列各式成立的是（）A．a：d＝c：b B．b：d＝c：a C．a+bb=c−dd D．ab【变式1-3】已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【题型2成比例线段概念的应用】【例2】（2021春•江阴市期中）在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为km．【变式2-1】（2020秋•高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足abA．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形【变式2-2】（2020秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab+1∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【变式2-3】阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式ab=cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现（分比性质）：若已知①ac=b问题解决：（1）仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；（2）证明（1）中的分比性质等式成立【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3比例的性质（比值问题）】【例3】（2020秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34【变式3-1】（2020秋•平果市期末）如果ab=23【变式3-2】（2020秋•雅安期末）若a2=b3【变式3-3】（2020秋•梁溪区期末）若ab=cd=ef=23【题型4比例的性质（三角形问题）】【例4】（2020秋•兰州期末）已知△ABC和△DEF中，有ABDE=BCEF=CAFD=2【变式4-1】（2020秋•沭阳县期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，a4=b【变式4-2】（2020秋•永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a【变式4-3】已知a、b、c是△ABC的三边长，且a5（1）2a+b3c（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．【题型5比例的性质（阅读理解类）】【例5】（2020春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【变式5-1】（2020秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+c【变式5-2】解答下列各题：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+c【变式5-3】我们知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【知识点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型6黄金分割】【例6】（2020秋•闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【变式6-1】（2021•龙口市模拟）黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5−12．若EM＝4，则AB＝【变式6-2】（2020秋•市北区期末）如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即P1B2=AP1⋅AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜PA．(3−52)C．(12)【变式6-3】（2020秋•平顶山期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于5−12，我们把这样的等腰三角形称为黄金