人教版七年级数学上册同步备课 4.3.3 余角和补角（教学设计）

4.3.3余角和补角教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第四章“几何图形初步”4.3角第3课时，内容包括余角、补角、方位角的概念及应用．2.内容解析余角补角及方位角是本章重要的基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础．正确理解此概念需明确两点：①余角（补角）是相对于两个角而言，当满足了和为90°（180°）时，就称这两个角互为余角（补角），其中一个角叫做另一个角的余角（补角）.不能单纯地说某个角是余角（补角）.②余角（补角）与这两个角的位置没有关系，不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：理解余角、补角、方位角等概念．二、目标和目标解析1.目标（1）了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.（2）了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题．2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生能理解当满足了和为90°（180°）时，就称这两个角互为余角（补角），其中一个角叫做另一个角的余角（补角）.不能单纯地说某个角是余角（补角）；知道余角（补角）与这两个角的位置没有关系．达成目标（2）的标志是：能用方位角知识准确表示物体的位置及距离．三、教学问题诊断分析针对余角和补角，学生易忽视概念中的“互为”二字，不能单纯地说某个角是余角（补角）.余角（补角）与这两个角的位置没有关系，不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系.同时学生对于文字语言、符号语言、图形语言三种语言的相互转化以及在什么情形下用哪种语言表达最为贴切，学生还不是能够自由的运用．基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索并掌握同角（等角）的余角、补角相等的性质．四、教学过程设计（一）温故知新，引入课题对于三角板，我们已经很熟悉了，我们来回顾一下三角板各个角的度数．问题1：在一副三角尺中，除了直角，其他两个角的和有什么特点？师生活动：学生回忆，回答问题，教师出示多媒体.【设计意图】通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料，使学生对学习进程心中有数，帮助学生掌握研究问题的方法.（二）余角和补角的概念在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°（30°+60°=90°，45°+45°=90°）.一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角（简称为两个角互余），即其中一个角是另一个角的余角.师生活动：小组合作探究，师生归纳．师生归纳：余角是成对出现的，所以不能说某个角是余角．针对训练：图中给出的各角，哪些互为余角？类似地，如下图，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.师生归纳：补角是成对出现的，所以不能说某个角是补角.针对训练：1.图中给出的各角，哪些互为补角？2.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？解：互余的角有：①与④，②与③互补的角有：①与⑧，②与⑦，③与⑥，④与⑤.3.填表：4.已知3组数，①对A组的每一个角，在B组中找出它的补角，并用线连接.②B组中有哪些角的余角在C组中，分别找出并用线连接.【设计意图】用一副三角尺引出余角和补角的概念，加深学生对余角和补角的认识．（三）典例分析例1：若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.解：设这个角为x°，则它的补角是(180－x)°，余角是(90－x)°.根据题意，得180－x=4(90－x).解得x=60.答：这个角的度数是60°.针对训练：1.一个角是70°39′，求它的余角和补角．解：余角：90°－70°39′=19°21′补角：180°－70°39′=109°21′2.一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？解：设这个角为x°，则180°－x=3x，∴x=45°．3.一个角是钝角，它的一半是什么角？它的余角呢？补角呢？解：它的一半是锐角；因为钝角大于90°，所以它没有余角；补角是锐角.4.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数为(3x+30)°.根据题意得：x+(3x+30)=90.解得x=15.故∠B的度数为15°.例2：如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°－x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，所以∠AOM=，∠AOM=.所以，解得x=50°，则180°－x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.（四）余角和补角的性质问题2：如图，∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？师生活动：学生小组合作探究，师生共同得出结论：同角（等角）的余角相等.同角（等角）的补角相等.【设计意图】明晰余角、补角的性质，为后续利用余角、补角的性质解决几何问题打下基础．（五）典例分析例3：如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.变式训练：如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．解：（1）∠COE、∠BOE；∠COE、∠BOE；（2）解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COD+∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．针对训练：如图，已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.（∠BOC和∠AOD）（六）方位角问题3：如图，说出下列方位（1）射线OA表示的方向为.（2）射线OB表示的方向为.（3）射线OC表示的方向为.（4）射线OD表示的方向为.（七）典例分析例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.解：画法：1.以点O为顶点，表示正北方的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.2.同理画出射线OC、射线OD.射线OC、射线OD即为所求.（八）当堂巩固1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（A）A．30° B．45° C．60° D．75°2.下列说法正确的是（D）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是150°.4.∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，则∠1=62°，∠2=28°.5.如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.（1）图中有哪几对互余的角？答案：∠A+∠B=90°∠A+∠2=90°∠1+∠B=90°∠1+∠2=90°（2）图中哪几对角是相等的角（直角除外）？为什么？答案：∠B=∠2（同角的余角相等）∠A=∠1（同角的余角相等）6.垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.（1）试在图中确定白色漂浮物C的位置；（2）点C在点A的北偏东60°的方向上，那么点A在点C的D方向上.A.南偏东30°B.南偏西30°C.南偏东60°D.南偏西60°（九）感受中考1．（2022•甘肃）若∠A=40°，则∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【解答】解：因为∠A=40°，所以∠A的余角为：90°－40°=50°，故选：A．2．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A=°．【解答】解：因为∠A的补角为60°，所以∠A=180°－60°=120°，故答案为：120．3.（3分）（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（）【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；B．∠α=∠β，故本选项错误；C．∠α=∠β，故本选项错误；D．∠α与∠β互补，故本选项错误，故选：A．【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．（十）课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，构建知识与方法框图：（十一）布置作业P139：习题4.3：第8、11、12、13题.五、教学反思发展学生的空间观念、培养学生的空间想象力是本节教学的另一个重要目标，应重视让学生从事动手操作、观察、思考、想象、交流等活动，为学生提供一些现实的、有意义的、有一定挑战性的学习任务，鼓励学生勤思考、多动手、善交流，在活动中获得几何概念和性质，以及读图、表达、推理等技能，从而丰富学生的空间想象能力．本节内容涉及的基本概念多，大多数几何图形与性质是学生初次接触，且比较抽象．作为几何入门阶段的学习，要善于培养学生学习几何的兴趣，注意揭示所学几何概念与性质同现实生活