CH13-极限的运算课件

§1.3极限的运算一、极限的四则运算法则二、两个重要极限1定理1一、极限的四则运算运算法则推论1如果limf(x)存在

而c为常数

则lim[c

f(x)]=c

limf(x)

推论2如果limf(x)存在

而n是正整数

则lim[f(x)]n=[limf(x)]n

2注:运用该定理的前提是被运算的各个变量的极限存在,并且,在除法运算中,还要求分母的极限不为零.由以上性质可以推出：3例1求解注：设则有4解例2注：5

解

商的法则不能用(消去零因子法)例36思考题：考察

注：求函数极限不能只看函数，还要看自变量的变化过程。

注意“极限过程”！7例4计算解当时,采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！8练习计算解采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！9注:（1）运用极限法则时，必须注意只有各项极限存在（除式，还要分母极限不为零）时才能使用；（2）如果所求极限不能直接使用极限法则，须先对原式进行恒等变形（约分，通分，有理化，变量替换等），然后再求极限.10练习：P40第16题11定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)

设函数y

f[g(x)]是由函数y

f(u)与函数u

g(x)复合而成

f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义

若

且在x0的某去心邻域内则意义:变量替换求极限的依据12

说明:

若定理中则类似可得定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)

设函数y

f[g(x)]是由函数y

f(u)与函数u

g(x)复合而成

f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义

若

且在x0的某去心邻域内则13例5计算解令则函数构成的复合函数.因为且时所以可视为由复合函数极限求法设中间变量14例6计算解令则且所以15二、两个重要极限重要极限1

0/0型16例7解求17例8求解18例9解求原式说明:计算中注意利用注意“三位一体”现象19半角公式：20例10求解21例11解求令则当时,于是22练习：P40第17题

23重要极限2

1∞型注:在实际应用中,利用复合函数的极限运算法则,可将这个极限变形,例如,若则注意“三位一体”现象24例12解求25例13解求注:

代表相同的表达式26例14求解令则时,于是注:本例的结果今后常作为公式使用.27例15解求令u=x+2，则

x=u-2,另解28若一年分12连续复利问题设初始本金为(元),年利率为按复利付息,1年末的本利和为2年末的本利和为k年末的本利和为次付息,则第年末的本利和为t年的期数为12t，则第t年期满后的本利和为,一年的期数为12，即月利率为则第年末的本利和为若一年分m次付息,则第年末的本利和为29连续复利问题设初始本金为(元),年利率为按复利付息,一年分次付息,则第年末的本利和为若因为

这是连续复利的公式.本金为按名义年利率不断计算复利,年后的本利和名义利率：即利息（报酬）的货币额与本金的货币额的比率。

30例16一投资者欲用1000元投资5年,设年利率为试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算,到第5年末,该投资者应得的本利和解按单利计算(元).按复利计算(元).按每年计算复利4次计算31按每年计算复利4次计算(元).按连续复利计算(元).32内容小结1.掌握极限的四则运算法则2.会用复合函数的极限运算法求极限其中3.掌握两个重要极限及其应用(1)(2)33作业：P4016.奇；17.奇预习：§1.4无穷小与无穷大，§