平面向量中等和线的应用 解析版

微信公众号：邦达数学获取更多优质数学资料＋qq群：784033560平面向量中等和线的应用一、知识点梳理一、平面向量共线定理已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然.二、等和线平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.当等和线恰为直线AB时，k=1；当等和线在O点和直线AB之间时，；当直线AB在点O与等和线之间时，；当等和线过O点时，k=0；若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.三、证明步骤如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值=1\*GB3①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得而，所以，于是=2\*GB3②若时，（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则，不妨设与的相似比为由三点共线可知：存在使得：所以（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：所以，于是综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则(的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；（3）从长度比计算最值.二、题型精讲精练【典例1】设是边上的点，,若，则=（）【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即.【典例2】如图，四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上，且，点是（含边界）的动点，设，则的最大值为（）【解析】当点位于点时，过点作，交的延长线于,则，且，所以，所以.故答案为：.【题型训练-刷模拟】一、单选题1.已知为的外心，若且，则（）【解析】过点作于，过点作于，过点作交的延长线于，交的延长线于，因为则，从而有,而三角形的外接圆的半径为，所以,且，所以，所以,所以,故，由于，因此.2.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】设，，所以，又，所以．故选：．3.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（）A.3B.C.D.2【解析】：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时有最大值，此时，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则答案：A4.在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则m+n=（）A.B.C.D.【解析】 ，则，所以，则答案：C5.已知抛物线的焦点为F，点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一点，若，则m+n的最小值为（）A.B.C.D.【解析】因，则，当等和线相切于抛物线时有最小值，过C作两等和线的垂线，垂足分别为T、S，则由抛物线方程为可得直线AB方程为，，故切点为，此时切线方程为，，则答案：A6.在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为()【解析】：如图所示：过作的垂线，垂足为，则，当三点共线时，高线最长，即7.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B8.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.二、填空题1.如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则m+n=______.【解析】连接AB，过C点作AB的平行线，则，在中，由题意可知,所以，根据三角形张角定理得，所以，则答案：32.已知P是内任一点，且满足，，则y+2x的取值范围是_____.【解析】（D为AB中点）所以当等和线过点B时，y+2x有最大值,当等和线过点A时，y+2x有最小值，又因P是内任一点，故不能取等号，所以答案：3.如