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文档简介

解析几何习题课(二)

1精选课件pptChap.4二次曲面(quadricsurfaces)空间解析几何的两个基本问题:一、给定曲面,建立方程;二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。2精选课件ppt1、柱面(cylinder)定义:一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为

柱面。

C——准线(directrix),L——母线(ruling)直柱面:3精选课件ppt射影柱面依次消去一个变元射影柱面柱面的参数方程(parametricequation)(P147ex4)4精选课件ppt圆锥面

直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面.

O——顶点(vertex)两直线的夹角——半顶角

锥面

一直线通过定点O,且沿空间中一条定曲线C移动所产生的曲面称为锥面.

O——顶点

C——准线(不唯一

动直线——母线(不唯一

)2、锥面(conicalsurface)5精选课件ppt锥面的参数方程(P152ex6)6精选课件ppt3、旋转曲面(surfaceofrevolution)定义:曲线C绕定直线l旋转一周所生成的曲面称为旋转

曲面。l——旋转轴,C——母线旋转曲面的参数方程(P158ex3)7精选课件ppt4、椭球面(ellipsoid)

(1)椭球面的方程

(2)椭球面的性质

(1)关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。

(2)并有六个顶点

8精选课件ppt(3)形状(与三个坐标面的交线):

是一个椭圆

(ellipse)(2)是一个椭圆

(3)是一个椭圆

9精选课件ppt(4)椭球面的参数方程(广义球坐标系)10精选课件ppt5、双曲面(hyperboloid)

I.

单叶双曲面(hyperboloidofonesheet)

方程:

性质:(1)关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。

(2)有四个顶点(3)形状:

(1)是一个椭圆(腰椭圆)

11精选课件ppt(2)是双曲线

(hyperbola)(3)是双曲线

(4)是一个椭圆

ïîïíì=+=+hzchbyax222222112精选课件pptII.双叶双曲面(hyperboloidoftwosheets)

方程:

性质:

(1)关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。

(2)有两个顶点

(3)形状:

(6)是双曲线

(7)是双曲线

13精选课件ppt

参数方程(P168ex.7)(1)单叶双曲面(2)双叶双曲面14精选课件ppt6、抛物面(paraboloid)

I.椭圆抛物面(ellipticparaboloid)

方程:

性质:

(1)椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面,对称于z轴,无对称中心。(2)与对称轴交于原点(0,0,0),叫做椭圆抛物面的顶点。

15精选课件ppt(3)形状:

(1)是抛物线(parabola)

(2)是抛物线

主抛物线

(3)是一个椭圆

容易知道图形(3)的两对顶点分别在主抛物线(1)与(2)上。ïîïíì==+hzhbyhax222212216精选课件ppt

(4)是抛物线

ïîïíì=-=tybtzax)2(2222217精选课件pptII.双曲抛物面(hyperbolicparaboloid)

方程:

性质:

(1)椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面,对称于z轴,无对称中心。

(2)形状:

(5)是一对相交于原点的直线18精选课件ppt(6)是抛物线

(7)是抛物线

主抛物线

(8)是双曲线(hyperbola)

ïîïíì==-hzhbyhax2222122(9)是抛物线19精选课件ppt7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线定义:由一族直线生成的曲面称为直纹面(ruledsurface).这族直线称为曲面的一族直母线。20精选课件ppt1、单叶双曲面u族直母线v

族直母线

对于单叶双曲面上的每个点,两族直母线中各有一条直母线经过该点21精选课件ppt2、双曲抛物面

对于双曲抛物面上的每个点,两族直母线中各有一条直母线经过该点直母线:22精选课件ppt定理单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交。定理单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面。23精选课件ppt例题24精选课件ppt例1.研究方程解:

配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.25精选课件ppt例2.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方26精选课件ppt例3.

求坐标面xoz上的双曲线分别绕

x轴和z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x轴旋转绕z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为27精选课件ppt例4、求准线是,母线方向为的柱面方程。解:准线可改写为所求柱面方程为消去参数u,v得28精选课件ppt例5、求半径为2,对称轴为的圆柱面方程。解:在所求圆柱面上任取一点,由得29精选课件ppt例6、求准线是,顶点为原点的锥面方程。解:准线方程为所求锥面方程为消去参数u,v得30精选课件ppt例7、由椭球面的中心,引三条两两互相垂直的射线,分别交曲面于,设,试证:(课本P162,ex4)解:设的单位向量分别为P1的坐标为,代入椭球面方程,得31精选课件ppt同理可得由于两两垂直,知是正交的矩阵,于是有所以32精选课件ppt例8、试求单叶双曲面上互相垂直的两直母线交点的轨迹方程。(课本P182,ex8)解:过单叶双曲面上所求轨迹上一点的两条直母线分别为L1和L2当时,当时,33精选课件pptL1和L2的方向向量分别为当时,当时,34精选课件ppt由垂直,得分别在和的情况下,计算上式各项,再整理得所求轨迹均为35精选课件ppt例9.

将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为36精选课件ppt绕z轴旋转所得旋转曲面方程为消去t和

,得旋转曲面方程为例10.求空间曲线:37精选课件ppt例11.直线绕z轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.解:在L上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程38精选课件ppt例12求在xoy

面上的投影曲线方程。39精选课件ppt例13求所围的立体在xoy面上的投影区域。上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:40精选课件ppt例14求曲线绕z轴旋转的曲面与平面

的交线在xoy平面的投影曲线方程.

解:旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为

此曲线在xoy面上的投影曲线方程为

,它与所给平面的41精选课件ppt作图练习42精选课件ppt(2)(1)1、画图:43精选课件ppt(3)44精选课件ppt(4)45精选课件ppt思考:交线情况如何?交线情况如何?(5)46精选课件ppt例2、画出下列各曲面所围图形:47精选课件ppt48精选课件ppt49精选课件ppt

1.解y

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