2024北京大兴区高三（上）期末数学试题及答案

2024北京大兴高三（上）期末数学本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题440分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集U=xx，集合A=xx，则CA=1UA.x1xx2B.xx22D.xx1C.x12.若复数z满足iz+i)=1，则复数z的虚部是A.2B.2C.−1D.013.在(x2−)的展开式中，常数项为6xA.B.154.设向量a,b，若|a=1，b=(−3,4)，b=a(0)，则4334C.D.20a=4334A.(,−)B.(−,)D.(−,)C.(,−)555555555.已知函数f(x)=2−1，则不等式f(x)x的解集为xA.(−,2]B.C.+)D.2]π6.在△C=”是“sin2A+sinB=1”的22A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件7.已知定点M和抛物线C:x=8y，F是抛物线C的焦点，N是抛物线C上的点，则|NF|+|NM|的2最小值为A.3B.4C.5D.68.已知ab0且ab=10，则下列结论中不正确的是A.a+b0B.a−b01aC.abD.14b9.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且△，△BCF均为等边三角形，//CD，=4，则该木楔的体积为第1页/共4页A.222B.2282C.D.33=tt=sinan,n.则N*10.设无穷等差数列n的公差为d，集合TA.T不可能有无数个元素B.当且仅当d=0时，T只有1个元素1C.当T只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为22πD.当d=，k2，kN*时，T最多有k个元素，且这k个元素的和为0第二部分（非选择题共分）k二、填空题共5小题，每小题525分。===设a是等比数列，11，24，则5_________.ny2212.若双曲线x2−=1b0)的一条渐近线方程为2x−y=0，则b=_________.b13.能够说明“设a,b,c是任意实数.若abc，则abc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为2_________.14.如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆O，外框是以O为中心，边长为2的正六边形，则O到线段的距离为_________；若P是圆O上的动点，则的取值范围是_________.15.设函数f(x)的定义域为R，且f(x)f(x)的图象向左平移2个单位，则所得1的图象关于yf(x)图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平212移个单位，则所得的图象关于原点对称.给出下列四个结论：①ff；=②f(0)=0；1112③f(2)f(4)0；+=④f(−)f()0.2其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题14分）如图，在三棱柱ABC中，−1⊥平面CA=CB=5，，111AA1==2，D,E分别为AB,AA1的中点.第2页/共4页（Ⅰ）求证：平面⊥平面A；11（Ⅱ）求直线与平面BCCB所成角的正弦值.1117.（本小题13分）在△中，a=1，b=2.（Ⅰ）若c=22，求△ABC的面积；（Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在，求A.π条件①：B=A；条件②：B=+A；条件③：C=A.3注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题13分）为了解客户对,B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷.已知,B两家公司的调查问卷分别有份和80份，全部数据统计如下：快递公司项目A快递公司B快递公司配送时效服务满意度配送时效服务满意度评价分数份数85x9529474424564016402412482075x8565x75假设客户对,B两家快递公司的评价相互独立.用频率估计概率.（Ⅰ）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率；（Ⅱ）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）记评价分数x85为“优秀”等级，75x85为“良好”等级，65x75.为“一般”等级已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区,B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择,B哪家快递公司合适？说明理由.第3页/共4页19.（本小题15分）3已知椭圆C的两个顶点分别为(0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程；.2（Ⅱ）设O为原点，过点T(4,0)的直线l交椭圆C于点M,N，直线与直线x1相交于点，直线=P与y轴相交于点Q.求证：△与△OTP的面积之比为定值.20.（本小题15分）1−x已知函数f(x)=ax+.1+x（Ⅰ）若曲线yf(x)在点=(0,f(0))处的切线斜率为，求的值；a0（Ⅱ）当a=4时，求f(x)的零点个数；（Ⅲ）证明：0a2是f(x)为单调函数的充分而不必要条件.21.（本小题15分）若各项为正的无穷数列a满足：对于nN*，a2−a=2nd，其中d为非零常数，则称数列n为nn1D数列.记n=n1−n.（Ⅰ）判断无穷数列n=n和n=2n是否是D数列，并说明理由；（Ⅱ）若a是D数列，证明：数列n中存在小于1的项；nn12024.（Ⅲ）若a是D数列，证明：存在正整数n，使得nii1第4页/共4页大兴区2023~2024学年度第一学期期末检测高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40（1）C（6）A（2）A（7）C（3）B（8）D（4）D（9）D（5）B10D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25（）（）214）1[623,623]（）2,0,1（答案不唯一）（）①③④注：第（）题第一空3分，第二空2（）题只写一个且正确2分，只写两个且正确3三、解答题（共6小题，共851614ABC111BB，1CDBB１．1分在△中，因为D为的中点，5，CDAB．1分1A．1分1CDE，所以平面CDE11．1分（Ⅱ）取AB的中点D，连结DF．1111D为的中点，所以在三棱柱ABC1//BB．11111．1分DDAB，1DC．1由（Ⅰ）知CDAB．如图建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0)，(1,0,0)，B(1,0,，E0，C(0,2,0)．12,0)，1(0,0,2)．2分设平面B的法向量为n(x,y,z)111n2z0,x2y0.11分即n令y1x2．n(2,．1分又2，1分CE与平面B所成角的，11sin|cosn,CE||n||n|||2分(2)11(01||562．1分2所以直线CE与平面B所成角的正弦值为．1分111713（Ⅰ）由余弦定理知，bc22(22)212a222C1分122231分在△C(0π)．1分．41C2sinC7．1分412△的面积SC1分127712．1分44π（Ⅱ）选择条件②：BA3ab由正弦定理，2分sinAsinB12知．sinAπsin(A)3πsin(A)2sinA．1分32ππ3sinAAsin2sinA．2分33A．1分3A(0π)因为在△，πA．1分6选择条件③：CAac由正弦定理，2分sinAsinC1c知．sinAsin2A1c．1分sinA2sinAAc2A．1分b2c1分2a2由余弦定理知c2．c3．A3．1分2因为在△A(0π)，πA．1分61813（Ⅰ）根据题中数据，该地区参与A快递公司调查的问卷共份，样本中对A快递公司配送时效的评价不低于分的问卷共份，7619所以样本中对A快递公司配送时效的评价不低于分的频率为，1203019估计该地区客户对A快递公司配送时效的评价不低于分的概率.3分300,1,2．1（Ⅱ）X的所有可能取值为分记事件C为“从该地区A快递公司的样本调查问卷中随机抽取1卷中的服务满意度评价不低于D为“从该地区B快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于分由题设知，事件C,D相互独立，且245623124834PC)，P(D)．1分12080231P(XPCD))，1分3432235P(XPCDCD))，1分34343233412P(X2)PCD)X的分布列为．1分0152XP112151故X的数学期望E(X)012=．2分2（Ⅲ）答案不唯一．3分答案示例1：小王选择A快递公司合适，理由如下：A快递公司配送时效评价为115计B5择A快递公司合适．答案示例2：小王选择B快递公司合适，理由如下：由（Ⅰ）知，估计A快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是；由样本数据可知，估计B快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是77，因为，故小王选择B快递公司合适．1915x22y22（Ⅰ）设椭圆C的方程为a2,1(ab0)．ab由题意得cc3．2分3,a2b2a2c21．1分x2y21．1分所以椭圆C的方程为4（Ⅱ）依题意，直线l的斜率存在，设其方程为yk(x4)(k0)．1分yk(x4),由x2得(4k2x232k2xk240．1分y21,4设M(x,y)，N(x,y)112232k264k240．1分且1x2，1x24k214k211121)．2分所以直线的方程为y(x2)，所以Px214y2x222y2)．1分的方程为y(x2)，所以Q(x22122y2|，1分|yQ|的面积为Sx221|yP|21|．1分的面积为S2x21S1221y(x2)k(x4)(x2)2y|2||x2|21|21|Sy(x2)k(x4)(x2)21212xx4x2x8xx2(xx)82x1212|1212|1|1分xx2x4x8xx4(xx)86x12121212124432k24k222164k288214k2124k32k22114k4k11|||64k4614k214k24k2132k24214k21|1分k24)614k211．1分32015与的面积之比为定值．1x1x（Ⅰ）因为函数f(x)，f(x)的定义域为(1,1)．11a．2分f(x)1x1x因为曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为0，．分1f(0)02．1分a1x1x（Ⅱ）当a4时，f(x)4x+．f(x)(1,1)，1的定义域为分1x1x1x1x1分且f(x)4x4xf(x)，f(x)是奇函数．f(x)(0,1)上的零点个数．以下讨论在区间4x22f(x)．xx)2．令f(x)0，解得x1分25f(x)与f(x)在区间(0,1)的情况如下：222x(0,)(,222f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减2f(0)0f(x)在区间(0,)上单调递增，22f(x)在区间(0,1分)上没有零点．221f()0f)0，e422由f(x)在区间(,上单调递减和函数零点存在定理知，22f(x)在区间,内存在唯一零点．(2综上，f(x)在区间(0,1)内存在唯一零点．1分f(x)是奇函数，f(x)(1,1)内存在3个零点．1分在区间（Ⅲ）当0≤a≤22，a2≤0，0≤axa22f(x)≤0，故xx)f(x)(1,1)在区间上单调递减．f(x)为单调函数的充分条件．30≤a≤2是分x23xx)30,xx)0，当a1f(x)．因为当x(1,1)x2x(1,1)f(x)0，f(x)(1,1)上单调递减．f(x)为单调函数的必要条件．20≤a≤2不是分0≤a≤2是f(x)为单调函数的充分而不必要条件．2115（Ⅰ）数列nn是D数列．理由如下：a2n1a2n(n2(n)21D数列定义．2分aD数列．2nn2n322n不是常数．2理由如下：a2n1a2n(2n1)2(2n)222n22分（Ⅱ）以下证明：d0．d0，由a2n1n2d{an知2}为等差数列，故a2n12(nd．6n}是各项为