新高考数学二轮复习考点突破学案4.6《立体几何中的动态问题》（原卷版）

微重点12立体几何中的动态问题“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.考点一动点轨迹问题例1(多选)在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则()A.当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B.当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C.当λ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD.当μ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P规律方法解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定.(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算.(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.跟踪演练1(多选)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M为CC1的中点，P为平面BCC1B1上的动点，且满足AM∥平面A1BP，则下列结论正确的是()A.AM⊥B1MB.CD1∥平面A1BPC.动点P的轨迹长为eq\f(2\r(13),3)D.AM与A1B1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),3)考点二折叠、展开问题例2(多选)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上(不含端点)且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1，则下列结论正确的有()A.A1D⊥EFB.当BE＝BF＝eq\f(1,2)BC时，三棱锥A1﹣EFD的外接球体积为eq\r(6)πC.当BE＝BF＝eq\f(1,4)BC时，三棱锥A1﹣EFD的体积为eq\f(2\r(17),3)D.当BE＝BF＝eq\f(1,4)BC时，点A1到平面EFD的距离为eq\f(4\r(17),7)规律方法画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.跟踪演练2(多选)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝eq\f(π,3).将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连接BD′，设二面角D′﹣AC﹣B的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D′ABC为正四面体，则θ＝eq\f(π,3)B.四面体D′ABC体积的最大值为1C.四面体D′ABC表面积的最大值为2(eq\r(3)＋2)D.当θ＝eq\f(2π,3)时，四面体D′ABC的外接球的半径为eq\f(\r(21),3)考点三最值、范围问题例3(多选)如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，动点P在体对角线BD1上(含端点)，则下列结论正确的有()A.当P为BD1的中点时，∠APC为锐角B.存在点P，使得BD1⊥平面APCC.AP＋PC的最小值为2eq\r(5)D.顶点B到平面APC的最大距离为eq\f(\r(2),2)规律方法在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值.(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.跟踪演练3如图，等腰Rt△ABE的斜边AB为正四面体A﹣BCD的侧棱，AB＝2，直角边AE绕斜边AB旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E﹣BCD体积的取值范围是__________________.专题强化练1.(多选)在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D中，M是A1B1的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是()A.存在点N，使得MN∥BC1B.三棱锥M—A1BC1的体积等于eq\f(9,4)C.有且仅有两个点N，使得MN∥平面A1BC1D.有且仅有三个点N，使得N到平面A1BC1的距离为eq\r(3)2.已知四棱锥P﹣ABCD的高为eq\r(3)，底面ABCD为矩形，BC＝3，AB＝2，PC＝PD，且平面PCD⊥平面ABCD.现从四棱锥中挖去一个以CD为底面直径，P为顶点的半个圆锥，得到的几何体如图所示.点N在弧eq\o(CD,\s\up8(︵))上，则PN与侧面PAB所成的最小角的正弦值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4)D.eq\f(\r(3),2)3.(多选)如图是四棱锥P﹣ABCD的平面展开图，四边形ABCD是矩形，ED⊥DC，FD⊥DA，DA＝3，DC＝2，∠FAD＝30°.在四棱锥P﹣ABCD中，M为棱PB上一点(不含端点)，则下列说法正确的有()A.DM的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(39),4)，\r(13)))B.存在点M，使得DM⊥BCC.四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为eq\f(16π,3)D.三棱锥M﹣PAD的体积等于三棱锥M﹣PCD的体积4.(多选)已知四面体ABCD的4个顶点都在球O(O为球心)的球面上，如图，△ABC为等边三角形，M为底面ABC内的动点，AB＝BD＝2，AD＝eq\r(2)，且AC⊥BD，则()A.平面ACD⊥平面ABCB.球心O为△ABC的中心C.直线OM与CD所成的角最小为eq\f(π,3)D.若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分5.(多选)如图1，在矩形ABCD与菱形ABEF中，AB＝2BC＝4，∠ABE＝120°，M，N分别是BF，AC的中点.现沿AB将菱形ABEF折起，连接FD，EC，构成三棱柱AFD﹣BEC，如图2所示，若AD⊥BF，记平面AMN∩平面ADF＝l，则()A.平面ABCD⊥平面ABEFB.MN∥lC.直线EF与平面ADE所成的角为60°D.四面体EABD的外接球的表面积为148π6.(多选)在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E为线段B1C的中点，点F和点P分别满足eq\o(D1F,\s\up6(→))＝λeq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝μeq\o(D1B,\s\up6(→))，其中λ，μ∈[0