新高考数学一轮复习讲义+分层练习 5.4《数系的扩充与复数的引入》教案 (教师版)

第四节数系的扩充与复数的引入1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝﹣d(a，b，c，d∈R).(4)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up8(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2.复数的几何意义复数z＝a＋bieq\a\vs4\al(一一对应)复平面内的点Z(a，b)eq\a\vs4\al(一一对应)平面向量eq\o(OZ,\s\up8(→))＝(a，b).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1﹣z2＝(a＋bi)﹣(c＋di)＝(a﹣c)＋(b﹣d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac﹣bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).eq\a\vs4\al([常用结论])1.(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝﹣i.2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝﹣1，i4n＋3＝﹣i(n∈N*).3.z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数.()(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0没有解.()解析：[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1.若复数z＝(x2﹣1)＋(x﹣1)i为纯虚数，则实数x的值为()A.﹣1B.0C.1D.﹣1或1答案为：A.解析：∵z为纯虚数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))∴x＝﹣1.]2.在复平面内，向量eq\o(AB,\s\up8(→))对应的复数是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up8(→))对应的复数是﹣1﹣3i，则向量eq\o(CA,\s\up8(→))对应的复数是()A.1﹣2iB.﹣1＋2iC.3＋4iD.﹣3﹣4i答案为：D.解析：∵eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))﹣eq\o(AB,\s\up8(→))＝﹣1﹣3i﹣2﹣i＝﹣3﹣4i，故选D.]3.设复数z满足eq\f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.2答案为：A.解析：eq\f(1＋z,1－z)＝i，则z＝eq\f(i－1,1＋i)＝i，∴|z|＝1.]4.已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________.2＋i解析：[由(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i得eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,5)＝2﹣i.∴z＝2＋i.]考点1复数的概念复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.1.若复数(m2﹣m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为()A.﹣1B.0C.1D.2答案为：C.解析：由纯虚数的概念得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m＝0，,m≠0，))得m＝1，故选C.]2.已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A.﹣5B.﹣1C.﹣eq\f(1,3)D.﹣eq\f(5,3)答案为：D.解析：z＝eq\f(a,1－2i)＋i＝eq\f(a（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＋i＝eq\f(a,5)＋eq\f(2a＋5,5)i，因为复数z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以﹣eq\f(a,5)＝eq\f(2a＋5,5)，解得a＝﹣eq\f(5,3).故选D.]3.已知eq\f(z,1－i)＝2＋i，则eq\x\to(z)(z的共轭复数)为()A.﹣3﹣iB.﹣3＋iC.3＋iD.3﹣i答案为：C.解析：由题意得z＝(2＋i)(1﹣i)＝3﹣i，所以z＝3＋i，故选C.]4.设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝()A.0B.eq\f(1,2)C.1D.eq\r(2)答案为：C.解析：法一：因为z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(（1－i）2,（1＋i）（1－i）)＋2i＝﹣i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.法二：因为z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i＋2i（1＋i）,1＋i)＝eq\f(－1＋i,1＋i)，所以|z|＝|eq\f(－1＋i,1＋i)|＝eq\f(|－1＋i|,|1＋i|)＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1，故选C.]解决此类时，一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.考点2复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式.(1)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A.﹣1﹣iB.﹣1＋iC.1﹣iD.1＋i(2)计算：eq\f(（2＋i）（1－i）2,1－2i)＝()A.2B.﹣2C.2iD.﹣2i(3)已知复数z的共轭复数为eq\x\to(z)，若eq\x\to(z)(1﹣i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝()A.iB.i﹣1C.﹣i﹣1D.﹣i(4)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝()A.﹣iB.iC.1﹣iD.1＋i(1)D(2)A(3)C(4)B.解析：[(1)由题意得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1＋i，故选D.(2)eq\f(（2＋i）（1－i）2,1－2i)＝eq\f(－（2＋i）2i,1－2i)＝eq\f(2－4i,1－2i)＝2，故选A.(3)由已知可得z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝﹣1＋i，则z＝﹣1﹣i，故选C.(4)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋eq\r(a2＋b2))＋bi＝1＋i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝1，,b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，))所以z＝i，故选B.法二：把各选项代入验证，知选项B满足题意.](1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.1.(1＋i)(2﹣i)＝()A.﹣3﹣iB.﹣3＋iC.3﹣iD.3＋i答案为：D.解析：(1＋i)(2﹣i)＝2﹣i＋2i﹣i2＝3＋i.]2.对于两个复数α＝1﹣i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②eq\f(α,β)＝﹣i；③|eq\f(α,β)|＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4C.解析：[αβ＝(1﹣i)(1＋i)＝2，①不正确；eq\f(α,β)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(（1－i）2,（1＋i）（1－i）)＝﹣i，②正确；|eq\f(α,β)＝|﹣i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1﹣i)2＋(1＋i)2＝﹣2i＋2i＝0，④正确.]3.设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i答案为：C.解析：由题意，得z＝eq\f(1,i)﹣1＝﹣1﹣i，故选C.]4.已知a为实数，若复数z＝(a2﹣1)＋(a＋1)i为纯虚数，则eq\f(a＋i2020,1＋i)＝()A.1B.0C.1＋iD.1﹣i答案为：D.解析：z＝(a2﹣1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2﹣1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有eq\f(1＋i2020,1＋i)＝eq\f(1＋1,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1﹣i.]考点3复数的几何意义与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应.(1)设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A.(x＋1)2＋y2＝1B.(x﹣1)2＋y2＝1C.x2＋(y﹣1)2＝1D.x2＋(y＋1)2＝1(2)设z＝﹣3＋2i，则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(3)已知z＝(m＋3)＋(m﹣1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.(﹣3，1)B.(﹣1，3)C.(1，＋∞)D.(﹣∞，﹣3)(1)C(2)C(3)A.解析：[(1)设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0，1)，且|z﹣i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0，1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，故选C.(2)∵z＝﹣3＋2i，∴z＝﹣3﹣2i，∴在复平面内，z对应的点为(﹣3，﹣2)，此点在第三象限.(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m﹣1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0，,m－1＜0，))解得﹣3＜m＜1，故选A.]复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可.1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，则复数z1·z2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案为：D.解析：由已知eq\o(OA,\s\up8(→))＝(﹣2，﹣1)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(0，1)，所以z1＝﹣2﹣i，z2＝i，z1z2＝1﹣2i，它所对应的点为(1，﹣2)，在第四象限.]2.若复数z满足|z﹣i|≤eq\r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________.2π解析：[设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z﹣i|≤eq\r(2)得|x＋(y﹣1)i|≤eq\r(2)，所以eq\r(x2＋（y－1）2)≤eq\r(2)，所以x2＋(y﹣1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以eq\r(2)为半径的圆及其内部，它的面积为2π.]3.已知复数z1＝﹣1＋2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________.1解析：[由条件得eq\o(OC,\s\up8(→))＝(3，﹣4)，eq\o(OA,\s\up8(→))＝(﹣1，2)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(1，﹣1)，根据eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))得(3，﹣4)＝λ(﹣1，2)＋μ(1，﹣1)＝(﹣λ＋μ，2λ﹣μ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2，))所以λ＋μ＝1.]数系的扩充与复数的引入一、选择题1.已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则eq\f(z1,z2)等于()A.﹣8﹣6iB.﹣8＋6iC.8＋6iD.8﹣6i答案为：C.解析：∵z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，∴eq\f(z1,z2)＝eq\f(6－8i,－i)＝eq\f(（6－8i）i,－i2)＝8＋6i.]2.设(1﹣i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案为：D.解析：因为x，y是实数，所以(1﹣i)x＝x﹣xi＝1＋yi，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,－x＝y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))所以x＋yi在复平面内所对应的点为(1，﹣1)，位于第四象限.故选D.]3.若复数z＝eq\f(a,1＋i)＋1为纯虚数，则实数a＝()A.﹣2B.﹣1C.1D.2A解析：[因为复数z＝eq\f(a,1＋i)＋1＝eq\f(a（1－i）,（1＋i）（1－i）)＋1＝eq\f(a＋2,2)﹣eq\f(a,2)i，∵z为纯虚数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)＝0，,－\f(a,2)≠0，))∴a＝﹣2.]4.已知eq\f(（1－i）2,z)＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1＋iD.﹣1﹣i答案为：D.解析：由题意，得z＝eq\f(（1－i）2,1＋i)＝eq\f(－2i,1＋i)＝﹣1﹣i，故选D.]5.若复数z满足eq\f(z,1－i)＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数eq\x\to(z)＝()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i答案为：B.解析：由题意，得z＝i(1﹣i)＝1＋i，所以eq\x\to(z)＝1﹣i，故选B.]6.已知(1＋eq\f(2,i))2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝()A.﹣7B.7C.﹣4D.4A解析：[因为(1＋eq\f(2,i))2＝1＋eq\f(4,i)＋eq\f(4,i2)＝﹣3﹣4i，所以﹣3﹣4i＝a＋bi，则a＝﹣3，b＝﹣4，所以a＋b＝﹣7，故选A.]7.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则eq\f(z1,z2)＝()A.1＋iB.eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.1＋eq\f(4,5)iD.1＋eq\f(4,3)i答案为：B.解析：因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2﹣i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(（2＋i）2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，故选B.]二、填空题8.设复数z满足eq\x\to(z)＝|1﹣i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________.eq\r(2)﹣i解析：[复数z满足eq\x\to(z)＝|1﹣i|＋i＝eq\r(2)＋i，则复数z＝eq\r(2)﹣i.]9.设z＝eq\f(1,1＋i)＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.eq\f(\r(2),2)解析：[因为z＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,（1＋i）（1－i）)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，所以|z|＝eq\r(（\f(1,2)）2＋（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(2),2).]10.已知复数z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x﹣2y＋m＝0上，则m＝________.﹣5解析：[z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)＝eq\f(4＋2i,2i)＝eq\f(（4＋2i）i,2i2)＝1﹣2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，﹣2)，将其代入x﹣2y＋m＝0，得m＝﹣5.]1.若(1﹣mi)(m＋i)＜0，其中i为虚数单位，则m的值为()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣4A.解析：[因为(1﹣mi)(m＋i)＝2m＋(1﹣m2)i＜0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＜0，,1－m2＝0，))解得m＝﹣1，故选A.如果一个复数能与实数比较大小，则其虚部为零.]2.若虚数(x﹣2)＋yi(x，y∈R)的模为eq\r(3)，则eq\f(y,x)的最大值是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\r(3)答案为：D.解析：因为(x﹣2)＋yi是虚数，所以y≠0，又因为|(x﹣2)＋yi|＝eq\r(3)，所以(x﹣2)2＋y2＝3.因为eq\f(y,x)是复数x＋yi对应点与原点连线的斜率，所以(eq\f(y,x))max＝tan∠AOB＝eq\r(3)，所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3).]3.﹣3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________.38解析：[由题意得2(﹣3＋2i)2＋p(﹣3＋2i)＋q＝0，即2(5﹣12i)﹣3p＋2pi＋q＝0，即(10﹣3p＋q)＋(﹣24＋2p)i＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10－3p＋q＝0，,－24＋2p＝0.))所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38.]4.已知复数z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2018,1＋i)，则复数z在复平面内对应点的坐标为________.(0，1)解析：[因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2018,1＋i)＝eq\f(i＋i2,1＋i)＝eq\f(－1＋i,1＋i)＝eq\f(（－1＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(2i,2)＝i，对应的点为(0，1).]1.设有下列四个命题：p1：若复数z满足eq\f(1,z)∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq