新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.3.1《两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式》教案 (教师版)

和差化积公式、二倍角公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).)eq\a\vs4\al([常用结论])1.公式的常用变式tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)；cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).2.降幂公式sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(2)公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关.()(3)cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)﹣1＝1﹣2sin2eq\f(θ,2).()(4)当α是第一象限角时，sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2)).()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×二、教材改编1.已知cosα＝﹣eq\f(3,5)，α是第三象限角，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))为()A.eq\f(\r(2),10)B.﹣eq\f(\r(2),10)C.eq\f(7\r(2),10)D.﹣eq\f(7\r(2),10)A[∵cosα＝﹣eq\f(3,5)，α是第三象限角，∴sinα＝﹣eq\r(1－cos2α)＝﹣eq\f(4,5).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(\r(2),2)(cosα﹣sinα)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)＋\f(4,5)))＝eq\f(\r(2),10).故选A.]2.sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝________.eq\f(\r(2),2).[sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(﹣cos77°)·(﹣sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).]3.计算：sin108°cos42°﹣cos72°·sin42°＝________.eq\f(1,2).[原式＝sin(180°﹣72°)cos42°﹣cos72°sin42°＝sin72°cos42°﹣cos72°sin42°＝sin(72°﹣42°)＝sin30°＝eq\f(1,2).]4.tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝________.eq\r(3).[∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1﹣tan20°tan40°)＝eq\r(3)﹣eq\r(3)tan20°tan40°，∴原式＝eq\r(3)﹣eq\r(3)tan20°tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝eq\r(3).]5.若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，则tanβ＝________.eq\f(1,7).[tanβ＝tan[(α＋β)﹣α]＝eq\f(tan（α＋β）－tanα,1＋tan（α＋β）tanα)＝eq\f(1,7).]第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式考点1公式的直接应用(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.1.已知α∈(0，eq\f(π,2))，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(5),5)B.[由二倍角公式可知4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴cosα≠0，∴2sinα＝cosα，∴tanα＝eq\f(1,2)，∴sinα＝eq\f(\r(5),5).故选B.]2.已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，tan(π﹣β)＝eq\f(1,2)，则tan(α﹣β)的值为()A.﹣eq\f(2,11)B.eq\f(2,11)C.eq\f(11,2)D.﹣eq\f(11,2)A.[∵α∈(eq\f(π,2)，π)，∴tanα＝﹣eq\f(3,4)，又tanβ＝﹣eq\f(1,2)，∴tan(α﹣β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanα·tanβ)＝eq\f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋（－\f(1,2)）×（－\f(3,4)）)＝﹣eq\f(2,11).]3.若α∈(0，eq\f(π,2))，且sin(α﹣eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，则cos(α﹣eq\f(π,3))＝________.eq\f(2\r(6)＋1,6).[由于角α为锐角，且sin(α﹣eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，则cos(α﹣eq\f(π,6))＝eq\f(2\r(2),3)，则cos(α﹣eq\f(π,3))＝cos[(α﹣eq\f(π,6))﹣eq\f(π,6)]＝cos(α﹣eq\f(π,6))coseq\f(π,6)＋sin(α﹣eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(6)＋1,6).]4.计算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值为________.eq\f(1,2).[eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.考点2公式的逆用与变形用公式的一些常用变形(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α﹣β)＝sinαcosβ；(3)1±sinα＝(sineq\f(α,2)±coseq\f(α,2))2；(4)sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)；(5)cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)；(6)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(7)asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(tanφ＝eq\f(b,a)).公式的逆用(1)化简eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝________.(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝________.(1)eq\f(1,4)(2)eq\f(\r(2),2).[(1)eq\f(sin10°,1－\r(3)tan10°)＝eq\f(sin10°cos10°,cos10°－\r(3)sin10°)＝eq\f(2sin10°cos10°,4（\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°）)＝eq\f(sin20°,4sin（30°－10°）)＝eq\f(1,4).(2)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝﹣1，即tan(A＋B)＝﹣1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝eq\f(3π,4)，则C＝eq\f(π,4)，cosC＝eq\f(\r(2),2).](1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα﹣tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α﹣β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.(3)重视sinαcosβ，cosαsinβ，cosαcosβ，sinαsinβ的整体应用.公式的变形用(1)化简eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°cos80°)＝________.(2)化简sin2(α﹣eq\f(π,6))＋sin2(α＋eq\f(π,6))﹣sin2α的结果是________.(1)﹣1(2)eq\f(1,2).[(1)eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°cos80°)＝eq\f(\f(1－cos70°,2)－\f(1,2),cos10°sin10°)＝eq\f(－\f(1,2)cos70°,\f(1,2)sin20°)＝﹣1.(2)原式＝eq\f(1－cos（2α－\f(π,3)）,2)＋eq\f(1－cos（2α＋\f(π,3)）,2)﹣sin2α＝1﹣eq\f(1,2)[cos(2α﹣eq\f(π,3))＋cos(2α＋eq\f(π,3))]﹣sin2α＝1﹣cos2α·coseq\f(π,3)﹣sin2α＝1﹣eq\f(cos2α,2)﹣eq\f(1－cos2α,2)＝eq\f(1,2).]注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式.1.设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝eq\f(\r(2),2)(sin56°﹣cos56°)，c＝eq\f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是()A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.a＞c＞bD.[由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°﹣127°)＝cos(﹣77°)＝cos77°＝sin13°，b＝eq\f(\r(2),2)(sin56°﹣cos56°)＝eq\f(\r(2),2)sin56°﹣eq\f(\r(2),2)cos56°＝sin(56°﹣45°)＝sin11°，c＝eq\f(1－tan239°,1＋tan239°)＝cos239°﹣sin239°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈[0，eq\f(π,2)]为增函数，所以sin13°＞sin12°＞sin11°，所以a＞c＞b.]2.eq\r(3)cos15°﹣4sin215°cos15°＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.1D.eq\r(2)D.eq\r(3)cos15°﹣4sin215°cos15°＝eq\r(3)cos15°﹣2sin15°·2sin15°cos15°＝eq\r(3)cos15°﹣2sin15°·sin30°＝eq\r(3)cos15°﹣sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝eq\r(2).故选D.3.已知α＋β＝eq\f(π,4)，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.2[(1＋tanα)(1＋tanβ)＝tanα＋tanβ＋tanαtanβ＋1＝tan(α＋β)(1﹣tanαtanβ)＋tanαtanβ＋1＝1﹣tanαtanβ＋tanαtanβ＋1＝2.]4.已知sinαcosβ＝eq\f(1,2)，则cosαsinβ的取值范围________.[﹣eq\f(1,2)，eq\f(1,2)].[由题知sinαcosβ＝eq\f(1,2)，①设cosαsinβ＝t，②①＋②得sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2)＋t，即sin(α＋β)＝eq\f(1,2)＋t，①﹣②得sinαcosβ﹣cosαsinβ＝eq\f(1,2)﹣t，即sin(α﹣β)＝eq\f(1,2)﹣t.∵﹣1≤sin(α±β)≤1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤\f(1,2)＋t≤1，,－1≤\f(1,2)－t≤1.))∴﹣eq\f(1,2)≤t≤eq\f(1,2).]考点3公式的灵活运用三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α﹣β)，α＝(α＋β)﹣β＝(α﹣β)＋β，40°＝60°﹣20°，(eq\f(π,4)＋α)＋(eq\f(π,4)﹣α)＝eq\f(π,2)，eq\f(α,2)＝2×eq\f(α,4)等.(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.三角公式中角的变换(1)设α，β都是锐角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，则cosβ＝________.(2)已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，则cos(30°﹣2α)的值为________.(1)eq\f(2\r(5),25)(2)eq\f(7,9).[(1)依题意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，因为sin(α＋β)＝eq\f(3,5)＜sinα且α＋β＞α，所以α＋β∈(eq\f(π,2)，π)，所以cos(α＋β)＝﹣eq\f(4,5).于是cosβ＝cos[(α＋β)﹣α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝﹣eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25).(2)cos(75°＋α)＝sin(15°﹣α)＝eq\f(1,3)，所以cos(30°﹣2α)＝1﹣2sin2(15°﹣α)＝1﹣eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).](1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差关系.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α﹣β)，α＝(α＋β)﹣β，β＝eq\f(α＋β,2)﹣eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝(α＋eq\f(β,2))﹣(eq\f(α,2)＋β)等.三角公式中名的变换(1)化简：eq\f(（1＋sinθ＋cosθ）（sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)）,\r(2＋2cosθ))(0＜θ＜π)；(2)求值：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)﹣sin10°(eq\f(1,tan5°)﹣tan5°).[解](1)由θ∈(0，π)，得0＜eq\f(θ,2)＜eq\f(π,2)，∴coseq\f(θ,2)＞0，∴eq\r(2＋2cosθ)＝eq\r(4cos2\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2).又(1＋sinθ＋cosθ)(sineq\f(θ,2)﹣coseq\f(θ,2))＝(2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＋2cos2eq\f(θ,2))(sineq\f(θ,2)﹣coseq\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2)(sin2eq\f(θ,2)﹣cos2eq\f(θ,2))＝﹣2coseq\f(θ,2)cosθ.故原式＝eq\f(－2cos\f(θ,2)cosθ,2cos\f(θ,2))＝﹣cosθ.(2)原式＝eq\f(2cos210°,2×2sin10°cos10°)﹣sin10°(eq\f(cos5°,sin5°)﹣eq\f(sin5°,cos5°))＝eq\f(cos10°,2sin10°)﹣sin10°·eq\f(cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)﹣sin10°·eq\f(cos10°,\f(1,2)sin10°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)﹣2cos10°＝eq\f(cos10°－2sin20°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin（30°－10°）,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2（\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°）,2sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3),2).1.已知tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则cos2(θ＋eq\f(π,4))＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)C.[由tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，得eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝4，即eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝4，∴sinθcosθ＝eq\f(1,4)，∴cos2(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋cos（2θ＋\f(π,2)）,2)＝eq\f(1－sin2θ,2)＝eq\f(1－2sinθcosθ,2)＝eq\f(1－2×\f(1,4),2)＝eq\f(1,4).]2.已知α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,2))，且cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝﹣eq\f(11,14)，则sinβ＝________.eq\f(\r(3),2).[由已知可得sinα＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，∴sinβ＝sin[(α＋β)﹣α]＝sin(α＋β)·cosα﹣cos(α＋β)sinα＝eq\f(5\r(3),14)×eq\f(1,7)﹣(﹣eq\f(11,14))×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(\r(3),2).]3.eq\f(cos10°－\r(3)cos（－100°）,\r(1－sin10°))＝________.(用数字作答)eq\r(2).[eq\f(cos10°－\r(3)cos（－100°）,\r(1－sin10°))＝eq\f(cos10°＋\r(3)cos80°,\r(1－cos80°))＝eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,\r(2)·sin40°)＝eq\f(2sin（10°＋30°）,\r(2)·sin40°)＝eq\r(2).]两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式一、选择题1.sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()A.1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.﹣eq\f(1,2)答案为：B.解析：sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°·cos15°＋(﹣cos45°)sin15°＝sin(45°﹣15°)＝sin30°＝eq\f(1,2).]2.若2sinx＋cos(eq\f(π,2)﹣x)＝1，则cos2x＝()A.﹣eq\f(8,9)B.﹣eq\f(7,9)C.eq\f(7,9)D.﹣eq\f(7,25)答案为：C.解析：因为2sinx＋cos(eq\f(π,2)﹣x)＝1，所以3sinx＝1，所以sinx＝eq\f(1,3)，所以cos2x＝1﹣2sin2x＝eq\f(7,9).]3.若cos(α﹣eq\f(π,6))＝﹣eq\f(\r(3),3)，则cos(α﹣eq\f(π,3))＋cosα＝()A.﹣eq\f(2\r(2),3)B.±eq\f(2\r(2),3)C.﹣1D.±1答案为：C.解析：cos(α﹣eq\f(π,3))＋cosα＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＋cosα＝eq\f(3,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\r(3)cos(α﹣eq\f(π,6))＝﹣1.]4.tan18°＋tan12°＋eq\f(\r(3),3)tan18°tan12°＝()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),3)答案为：D.解析：∵tan30°＝tan(18°＋12°)＝eq\f(tan18°＋tan12°,1－tan18°tan12°)＝eq\f(\r(3),3)，∴tan18°＋tan12°＝eq\f(\r(3),3)(1﹣tan18°tan12°)，∴原式＝eq\f(\r(3),3).]5.若α∈(eq\f(π,2)，π)，且3cos2α＝sin(eq\f(π,4)﹣α)，则sin2α的值为()A.﹣eq\f(1,18)B.eq\f(1,18)C.﹣eq\f(17,18)D.eq\f(17,18)答案为：C.解析：由3cos2α＝sin(eq\f(π,4)﹣α)，可得3(cos2α﹣sin2α)＝eq\f(\r(2),2)(cosα﹣sinα)，又由α∈(eq\f(π,2)，π)，可知cosα﹣sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),2)，所以1＋2sinαcosα＝eq\f(1,18)，故sin2α＝﹣eq\f(17,18).]二、填空题6.已知sin(eq\f(π,2)＋α)＝eq\f(1,2)，α∈(﹣eq\f(π,2)，0)，则cos(α﹣eq\f(π,3))的值为________.﹣eq\f(1,2)[由已知得cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝﹣eq\f(\r(3),2)，所以cos(α﹣eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝﹣eq\f(1,2).]7.已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq\f(1,3)，则eq\f(tanα,tanβ)＝________.5[因为sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq\f(1,3)，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2)，sinαcosβ﹣cosαsinβ＝eq\f(1,3)，所以sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，所以eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(sinαcosβ,cosαsinβ)＝5.]8.化简：eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°cos80°)＝________.﹣1[eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°cos80°)＝eq\f(\f(1－cos70°,2)－\f(1,2),cos10°sin10°)＝eq\f(－\f(1,2)cos70°,\f(1,2)sin20°)＝﹣1.]三、解答题9.已知tanα＝2.(1)求tan(α＋eq\f(π,4))的值；(2)求eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)的值.[解](1)tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2＋1,1－2)＝﹣3.(2)eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋sinαcosα－（2cos2α－1）－1)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋sinαcosα－2cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋tanα－2)＝eq\f(2×2,22＋2－2)＝1.10.已知α，β均为锐角，且sinα＝eq\f(3,5)，tan(α﹣β)＝﹣eq\f(1,3).(1)求sin(α﹣β)的值；(2)求cosβ的值.[解](1)∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴﹣eq\f(π,2)＜α﹣β＜eq\f(π,2).又∵tan(α﹣β)＝﹣eq\f(1,3)＜0，∴﹣eq\f(π,2)＜α﹣β＜0.∴sin(α﹣β)＝﹣eq\f(\r(10),10).(2)由(1)可得，cos(α﹣β)＝eq\f(3\r(10),10).∵α为锐角，且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∴cosβ＝cos[α﹣(α﹣β)]＝cosαcos(α﹣β)＋sinαsin(α﹣β)＝eq\f(4,5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(3,5)×(﹣eq\f(\r(10),10))＝eq\f(9\r(10),50).1.若sin(A＋eq\f(π,4))＝eq\f(7\r(2),10)，A∈(eq\f(π,4)，π)，则sinA的值为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)或eq\f(4,5)D.eq\f(3,4)答案为：B.解析：∵A∈(eq\f(π,4)，π)，∴A＋eq\f(π,4)∈(eq\f(π,2)，eq\f(5π,4))，∴cos(A＋eq\f(π,4))＝﹣eq\r(1－sin2（A＋\f(π,4)）)＝﹣eq\f(\r(2),10)，∴sinA＝sin[(A＋eq\f(π,4))﹣eq\f(π,4)]＝sin(A＋eq\f(π,4))coseq\f(π,4)﹣cos(A＋eq\f(π,4))sineq\f(π,4)＝eq\f(4,5).]2.已知sinα＝﹣eq\f(4,5)，α∈[eq\f(3π,2)，2π]，若eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝2，则tan(α＋β)＝()A.eq\f(6,13)B.eq\f(13,6)C.﹣eq\f(6,13)D.﹣eq\f(13,6)答案为：A.解析：∵sinα＝﹣eq\f(4,5)，α∈[eq\f(3π,2)，2π]，∴cosα＝eq\f(3,5).又∵eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)﹣α].展开并整理，得eq\f(6,5)cos(α＋β)＝eq\f(13,5)sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝eq\f(6,13).]3.已知cos(eq\f(π,4)＋θ)cos(eq\f(π,4)﹣θ)＝eq\f(1,4)，则cos2θ＝________，sin4θ＋cos4θ＝________.eq\f(1,2)eq\f(5,8).[因为cos(eq\f(π,4)＋θ)cos(eq\f(π,4)﹣θ)＝(eq\f(\r(2),2)cosθ﹣eq\f(\r(2),2)sinθ)(eq\f(\r(2),2)cosθ＋eq\f(\r(2),2)sinθ)＝eq\f(1,2)(cos2θ﹣sin2θ)＝eq\f(1,2)cos2θ＝eq\f(1,4).所以cos2θ＝eq\f(1,2).故sin4θ＋cos4θ＝(eq\f(1－cos2θ,2))2＋(eq\f(1＋cos2θ,2))2＝eq\f(1,16)＋eq\f(9,16)＝eq\f(5,8).]4.已知函数f(x)＝sin(x＋eq\f(π,12))，x∈R.(1)求f(﹣eq\f(π,4))的值；(2)若cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈(0，eq\f(π,2))，求f(2θ﹣eq\f(π,3))的值.[解](1)f(﹣eq\f(π,4))＝sin(﹣eq\f(π,4)＋eq\f(π,12))＝sin(﹣eq\f(π,6))＝﹣eq\f(1,2).(2)f(2θ﹣eq\f(π,3))＝sin(2θ﹣eq\f(π,3)＋eq\f(π,12))＝sin(2θ﹣eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ﹣cos2θ).因为cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈(0，eq\f