新高考数学一轮复习讲义+分层练习 2.7《对数与对数函数》教案 (教师版)

第七节对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，eq\f(1,2)的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.1.对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1).(2)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0).(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).3.对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.eq\a\vs4\al([常用结论])1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(2)log2x2＝2log2x.()(3)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x)的定义域相同.()(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，(eq\f(1,a),-1)，函数图象不在第二、三象限.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1.(log29)·(log34)＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.2D.4答案为：D.解析：(log29)·(log34)＝eq\f(lg9,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝4.故选D.]2.已知a＝2eq\s\up5(－\f(1,3))，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，则()A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.c＞b＞a D.c＞a＞b答案为：D.解析：因为0＜a＜1，b＜0，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23＞1.所以c＞a＞b.故选D.]3.函数y＝eq\r(logeq\s\up-5(\f(2,3))（2x－1）)的定义域是________.(eq\f(1,2)，1][由logeq\s\up-5(\f(2,3))(2x﹣1)≥0，得0＜2x﹣1≤1.∴eq\f(1,2)＜x≤1.∴函数y＝eq\r(logeq\s\up-5(\f(2,3))（2x－1）)的定义域是(eq\f(1,2)，1].]4.函数y＝loga(4﹣x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________.(3，1)[当4﹣x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.所以函数的图象恒过点(3，1).]考点1对数式的化简与求值对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1.设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m等于()A.eq\r(10)B.10C.20D.100答案为：A.解析：由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝eq\r(10).]2.计算：(lgeq\f(1,4)﹣lg25)÷100eq\s\up5(－\f(1,2))＝________.﹣20[原式＝(lg2﹣2﹣lg52)×100eq\s\up5(\f(1,2))＝lg(eq\f(1,22×52))×10＝lg10﹣2×10＝﹣2×10＝﹣20.]3.计算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.1[原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.]4.已知log23＝a，3b＝7，则log3eq\r(7)2eq\r(21)的值为________.eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)[由题意3b＝7，所以log37＝b.所以log3eq\r(7)2eq\r(21)＝logeq\r(63)eq\r(84)＝eq\f(log284,log263)＝eq\f(log2（22×3×7）,log2（32×7）)＝eq\f(2＋log23＋log23·log37,2log23＋log23·log37)＝eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab).]对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形.考点2对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(1)(浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x＋eq\f(1,2))(a＞0，且a≠1)的图象可能是()ABCD(2)当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，则a的取值范围是()A.(0，eq\f(\r(2),2)) B.(eq\f(\r(2),2)，1)C.(1，eq\r(2)) D.(eq\r(2)，2)(1)D(2)答案为：B.解析：(1)对于函数y＝loga(x＋eq\f(1,2))，当y＝0时，有x＋eq\f(1,2)＝1，得x＝eq\f(1,2)，即y＝loga(x＋eq\f(1,2))的图象恒过定点(eq\f(1,2)，0)，排除选项A、C；函数y＝eq\f(1,ax)与y＝loga(x＋eq\f(1,2))在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在(0，eq\f(1,2)]上的图象，可知f(eq\f(1,2))＜g(eq\f(1,2))，即2＜logaeq\f(1,2)，则a＞eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范围为(eq\f(\r(2),2)，1).][母题探究]1.(变条件)若本例(2)变为：若不等式x2﹣logax＜0对x∈(0，eq\f(1,2))恒成立，求实数a的取值范围.[解]由x2﹣logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈(0，eq\f(1,2))时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在(0，eq\f(1,2))上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可.当a＞1时，显然不成立；当0＜a＜1时，如图所示.要使x2＜logax在x∈(0，eq\f(1,2))上恒成立，需f1(eq\f(1,2))≤f2(eq\f(1,2))，所以有(eq\f(1,2))2≤logaeq\f(1,2)，解得a≥eq\f(1,16)，所以eq\f(1,16)≤a＜1.即实数a的取值范围是[eq\f(1,16)，1).2.(变条件)若本例(2)变为：当0＜x≤eq\f(1,4)时，eq\r(x)＜logax，求实数a的取值范围.[解]若eq\r(x)＜logax在x∈(0，eq\f(1,4)]成立，则0＜a＜1，且y＝eq\r(x)的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，由图象知eq\r(\f(1,4))＜logaeq\f(1,4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,aeq\s\up5(\f(1,2))＞\f(1,4)，))解得eq\f(1,16)＜a＜1.即实数a的取值范围是(eq\f(1,16)，1).1.函数y＝ln(2﹣|x|)的大致图象为()ABCD答案为：A.解析：令f(x)＝ln(2﹣|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|﹣2＜x＜2}，且f(﹣x)＝ln(2﹣|﹣x|)＝ln(2﹣|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C，D.当x＝eq\f(3,2)时，f(eq\f(3,2))＝lneq\f(1,2)＜0，排除选项B，故选A.]2.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a＞1，c＞1 B.a＞1，0＜c＜1C.0＜a＜1，c＞1 D.0＜a＜1，0＜c＜1答案为：D.解析：由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜1，0＜c＜1.]3.设方程10x＝|lg(﹣x)|的两个根分别为x1，x2，则()A.x1x2＜0 B.x1x2＝0C.x1x2＞1 D.0＜x1x2＜1答案为：D.解析：作出y＝10x与y＝|lg(﹣x)|的大致图象，如图.显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜0，所以10x1＝lg(﹣x1)，10x2＝﹣lg(﹣x2)，此时10x1＜10x2，即lg(﹣x1)＜﹣lg(﹣x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.]考点3对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论.(2)底数与1的大小关系.(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.比较大小(1)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A.a＜c＜b B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b(2)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，则a，b，c的大小关系为()A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.c＞b＞a D.c＞a＞b(1)A(2)答案为：D.解析：(1)因为a＝log52＜log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝(eq\f(1,2))0.2＞eq\f(1,2)，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故选A.(2)因为a＝log2e＞1，b＝ln2∈(0，1)，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故选D.]对数值大小比较的主要方法(1)化同底数后利用函数的单调性.(2)化同真数后利用图象比较.(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较.解简单对数不等式(1)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________.(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________.(1)(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞)(2)(eq\f(1,2)，1)[(1)当0＜a＜1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)；当a＞1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1.∴实数a的取值范围是(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞).(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，同时2a＞1，所以a＞eq\f(1,2).综上，a∈(eq\f(1,2)，1).]对于形如logaf(x)＞b的不等式，一般转化为logaf(x)＞logaab，再根据底数的范围转化为f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而对于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要转化为同底的不等式来解.和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f(x)＝loga(3﹣ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.[解](1)因为a＞0且a≠1，设t(x)＝3﹣ax，则t(x)＝3﹣ax为减函数，x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3﹣2a，当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3﹣ax＞0恒成立.所以3﹣2a＞0.所以a＜eq\f(3,2).又a＞0且a≠1，所以a∈(0，1)∪(1，eq\f(3,2)).(2)t(x)＝3﹣ax，因为a＞0，所以函数t(x)为减函数.因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以y＝logat为增函数，所以a＞1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3﹣2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3﹣a)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a＞0，,loga（3－a）＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.1.已知函数f(x)＝log0.5(x2﹣ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为()A.(﹣∞，4] B.[4，＋∞)C.[﹣4，4] D.(﹣4，4]答案为：D.解析：令g(x)＝x2﹣ax＋3a，因为f(x)＝log0.5(x2﹣ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，所以eq\f(1,2)a≤2且g(2)＞0，所以a≤4且4＋a＞0，所以﹣4＜a≤4.故选D.]2.函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.2或eq\f(1,2)[分两种情况讨论：①当a＞1时，有loga4﹣loga2＝1，解得a＝2；②当0＜a＜1时，有loga2﹣loga4＝1，解得a＝eq\f(1,2).所以a＝2或eq\f(1,2).]3.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,logeq\s\up-5(\f(1,2))（－x），x＜0.))若f(a)＞f(﹣a)，则实数a的取值范围是________.(﹣1，0)∪(1，＋∞)[由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞－log2a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,logeq\s\up-5(\f(1,2))（－a）＞log2（－a），))解得a＞1或﹣1＜a＜0.]对数与对数函数一、选择题1.函数y＝eq\r(log3（2x－1）＋1)的定义域是()A.[1，2] B.[1，2)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.(eq\f(2,3)，＋∞)答案为：C.解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3（2x－1）＋1≥0，,2x－1＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3（2x－1）≥log3\f(1,3)，,x＞\f(1,2)，))解得x≥eq\f(2,3).]2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A.log2x B.eq\f(1,2x)C.logeq\f(1,2)x D.2x﹣2答案为：A.解析：由题意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1).∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.]3.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.c＜a＜b D.b＜c＜a答案为：B.解析：∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0，1)，∴a<c<b.故选B.]4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.10﹣10.1答案为：A.解析：由题意知，m1＝﹣26.7，m2＝﹣1.45，所以eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝﹣1.45﹣(﹣26.7)＝25.25，所以lgeq\f(E1,E2)＝25.25×eq\f(2,5)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝1010.1.故选A.]5.设函数f(x)＝loga|x|(a＞0，且a≠1)在(﹣∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A.f(a＋1)＞f(2) B.f(a＋1)＜f(2)C.f(a＋1)＝f(2) D.不能确定答案为：A.解析：由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2).]二、填空题6.计算：lg0.001＋lneq\r(e)＋2eq\s\up8(－1＋log23)＝________.﹣1[原式＝lg10﹣3＋lneeq\s\up8(\f(1,2))＋2log2eq\s\up10(\f(3,2))＝﹣3＋eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＝﹣1.]7.函数f(x)＝loga(x2﹣4x﹣5)(a＞1)的单调递增区间是________.(5，＋∞)[由函数f(x)＝loga(x2﹣4x﹣5)，得x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5.令m(x)＝x2﹣4x﹣5，则m(x)＝(x﹣2)2﹣9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由a＞1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞).]8.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.[0，＋∞)[当x≤1时，由21﹣x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x＞1时，由1﹣log2x≤2，解得x≥eq\f(1,2)，所以x＞1.综上可知x≥0.]三、解答题9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3﹣x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间[0，eq\f(3,2)]上的最大值.[解](1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x＞0，,3－x＞0，))得﹣1＜x＜3，∴函数f(x)的定义域为(﹣1，3).(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3﹣x)＝log2[(1＋x)(3﹣x)]＝log2[﹣(x﹣1)2＋4]，∴当x∈(﹣1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在[0，eq\f(3,2)]上的最大值是f(1)＝log24＝2.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2﹣1)＞﹣2.[解](1)当x＜0时，﹣x＞0，则f(﹣x)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))(﹣x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(﹣x)＝f(x).所以x＜0时，f(x)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))(﹣x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(logeq\s\up-2(\f(1,2))x，x＞0，,0，x＝0，,logeq\s\up-2(\f(1,2))（－x），x＜0.))(2)因为f(4)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))4＝﹣2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2﹣1)＞﹣2可化为f(|x2﹣1|)＞f(4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0＜|x2﹣1|＜4，解得﹣eq\r(5)＜x＜eq\r(5)且x≠±1，而x2﹣1＝0时，f(0)＝0＞﹣2，所以﹣eq\r(5)＜x＜eq\r(5).1.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则()A.(a﹣1)(b﹣1)＜0 B.(a﹣1)(a﹣b)＞0C.(b﹣1)(b﹣a)＜0 D.(b﹣1)(b﹣a)＞0答案为：D.解析：由a，b＞0且a≠1，b≠1，及logab＞1＝logaa可得，当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，代入验证只有D项满足题意.]2.已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10﹣x)，则()A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数答案为：D.解析：函数f(x)的定义域为(﹣10，10)，又∵f(﹣x)＝lg(10﹣x)＋lg(10＋x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.又f(x)＝lg(100﹣x2)，令t＝100﹣x2，易知t在(0，10)上是减函数，结合复合函数可知，故f(x)在(0，10)上是减函数，故选D.]3.关于函数f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0，x∈R)有下列命题：①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②在区间(﹣∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数.其中是真命题的序号为________.①③④[∵函数f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0，x∈R)，显然f(﹣x)＝f(x)，即函