概率论和数理统计期末考试题库

概率论与数理统计期末复习题一

一、填空题(每空2分，共20分)

1、设X为连续型随机变量，则P{X=1}=(0).

2、袋中有50个球，其编号从01至！|50,从中任取一球，其编号中有数字4的概率为(14/50或7/25).

3、若随机变量X的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=l,2,3,4,则C=(81/130).

4、设X服从N(1,4)分布，丫服从P(l)分布，且X与丫独立，则

E(XY+1-Y)=(1),D(2Y-X+1)=(17).

5、已知随机变量X〜N(u,。，(X-5)/4服从N(0,1),则u=(5);。=(4).

6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：

XY12

30.150.15

4AB

且X与丫相互独立。

则A=(0.35),B=(0.35).

7、设Xi,Xz,…,X”是取自均匀分布u[o,e]的一个样本，其中。>0,玉,*2,…,x”是一组观察值，则。的极大

似然估计量为(X(n)).

二、计算题(每题12分，共48分)

1、钥匙掉了，落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9;落在教室里的概率为35%,这种情况

下找到的概率为0.3;落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率；(2)若

钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.

解：(1)以Ai,鱼,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.则

P(Ai)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25,P(B|A)=0.9,P(B|A2)=0.3,P(B|A3)=0.1

3

所以，P(B)=ZP(A,.)P(B|A,)=0.4x0.9+0.35x0.3+0.25x0.1=0.49

1=1

(2)P(&IB)=(0.35x0.3)/0.49=0.21

2、已知随机变量X的概率密度为

AA2e~^x>0

/W=-

0x<0

其中入>0为已知参数.(1)求常数A;⑵求P{-l<X<l/A)};(3)F⑴.

解:(1)由归一性：1=『7(幻公=『4晨-&公=—4及-，；8=44,所以4=1”

(2)尸{一1<X<1/4}=f公=l—l/e=0.36

(3)/⑴=，3Zx=l-e”

3、设随机变量X的分布律为

X-1012

P0.10.20.30.4

且y=X2+2X,求⑴凤X);⑵E(y);(3)D(X).

解：⑴£(%)=-1x0.14-0x0.2+1x0.34-2x0.4=1

(2)E(X2)=1x0.1+0x0.2+1x03+4x0.4=2

E(y)=E(X?+2X)=E(X?)+2E(X)=2+2=4

(3)D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2-1=1

4、若X〜N(u,。，求口，。②的矩估计.

—A—

解：(l)E(X)=u令u=X所以口的矩估计为〃=X

1"

(2)D(X)=E(X2)-[E(X)]2又E(X?)=—XX：

D(X)=£(X,-X)2=<T2

nHni=}

所以。z的矩估计为=2=iy(x.-x)2

〃仁

三、解答题(12分)

设某次考试的考生的成绩X服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5

分,标准差为15分，问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分？

解：提出假设检验问题：Ho：P=70,Hi；UW70,

X—70-

t=------〜t(n-l),其中n=36,x=66.5,s=15,a=0.05,tan(n-1)=to.025(35)=2.03,,,6

S/4n

[?[=|66.5-70|=14<2()3

所以,接受Ho,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分

四、综合题（每小题4分，共20分）

设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为：

八f（x.'y）=[5o,其它

试求：⑴常数C；（2）人（尤）,/r（y）；（3）x与y是否相互独立?

(4)E(X),E(Y),E(XY)；(5)D(X),D(Y).

附：①(1.96)=0.975；①(1)=0.84；6(2)=0.9772

心破⑼:1.8331;to.025(9)=2.262;Zo05(8)=1.8595,Z0025(8)=2.306

to.os(36)=1.6883;to.025(36)=2.0281;九％(35)=1.6896,rOO25(35)=2.0301

3x23x23x33

解：⑴1=££ceydxdy=c£ecbc-£ydy=c-^>-y\'0=^(e-1)

所以,c=9/(e$-l)

⑵当0JK1,人（x）=[:为%2力=

当X为其它情况时，/x（x）=0

33

-r—e3A,0<x<l

所以，1/%(%)=<e3-l

0,其它

'3y2,0<y<l

同理,

0,其它

一一匹.3/owe0（W]

⑶因为：人⑶万。）=1.=/（%，、）

0,其它

所以,X与丫相互独立.

（4）

EX=1x--^—ey'dx=——[xd^

Joe3-le3-lJo

2/+1

3(?-1)

EY={y?>y2dx=-yA|'=-E(XY)=EXEY=2e+i.

J。''4°443—1)

(5)DX^EX2-(EX)2

EX2=f'x2--^e3xdy=—Fx2•|'-f'-2xdx

33

Joe-l-e-ll°J。

5e3-2

=9(？-l)

5e2

DX=v--——~-(2e3+1)2

9(e3-l)9(e3-l)2

g6-lle3+l

9(e3-1)2

DY=EY2-(EY)2

石片=£/3/办=|婷；=|

r>y=--(-)2=—

5480

概率论与数理统计期末复习题二

一、计算题(每题10分，共70分)

1、设P(A)=1/3,P(B)=1/4,P(AUB)=1/2.求P(AB)、P(A-B).

解：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=1/12

P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/4

2、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球

放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？

2

解：用A表示“从甲袋中任取一球为红球”,8表示“从乙袋中任取两球都为白球贝！|尸(4)=:。

由全概率公式

2C；3C；11

P(B)=P(A)P(同A)+P(由P(同才)_______£_-I____

5Cl5

3、已知随机变量X的密度函数为

x0<x<l

p(x)=<2-Ax\<x<2

0其它

(1)求A.(2)X的分布函数尸(x).

+00

解：(1)由Jp(x)i/x=l得A=l。

0x<0

Jo"的=#0<x<l

(2)/(x)=〈

1,

工必，+「(2-y)d)，2x——x2-11<x<2

2

1x>2

4、若x,y为相互独立的分别服从2,1］上均匀分布的随机变量，试求z=x+y的分布密度函数.

解:显然(X,y)的联合概率密度为/(x,y)=l,0<x<l,0<y<l；否则，f(x,y)=0.先求Z的分

布函数F(z)=P(X+Y<z)=J]f(x,y)dxdy。

x+y^z

当z40时，F(z)=O

zz-xT2

当0<zvl时，F(z)=jjf(x,y)dxdy-£dx^dy=一

x+y<>z

2

当l〈z<2时，F(z)=jjf(x,y)dxdy=£'dx^dy4-J'dx^'dy=2z--——1

x+y<z

当z22时，F(z)=jj/(x,y)dxdy=J'dx^dy=1

x+y<z

所以，z的分布密度函数

z,0<z<1

fz(z)=F'(z)=<2-z,1<z<2

0,其他

5、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育.今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中19%和

21%之间的人受过高等教育的概率.

解：设X表示抽取的1600人中受过高等教育的人数，则XB(1600,0.2),£X=320,DX=162

304-320X-320336-320,

P{0.19xl600<X>0.21x1600}=P[-<----------<------------

1612

P{-1<v1}。①⑴一①(-1)=2①⑴-1=2x0.8413-1=0.6826。

16

6、某单位职工每天的医疗费服从正态分布N(〃,b2),现抽查了25天，得手=170元，§=30元，求职工

每天医疗费均值〃的双侧0.95置信区间.

解：由于人未知，故〃的0.95双侧置信区间为

[X-0.025（%）~[=，X+4,025（24）—i=]

代入数据得又=17（）,£=30,〃=25,而25（24）=2.0639,得〃的0.95双侧置信区间观测值为

3030

[170-2.0639又一^,170+2.0639x-=]=[157.4,182.6]

V25<25

7、设总体X的密度函数为

ex°~\o<x<i

/（X）=<

0,other

其中e是未知参数，且e>o。求。的矩估计与极大的似然估计量。

解：设X1,X2,…，X〃是取自总体的样本。因为

EX=Jxf（x）dx=^0x°dx=

令EX=》解得。的矩估计为4=由〃。）=口（打尸）=。"[[*<

1-X；=ii=i

"吗"=-J+yinX,.=0,解得6的极大的似然估计为0=-

d°9七£lnX,

/=1

二、解答题（9分）

某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，从

该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从N（〃，142）分布。问该校这次

考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（a=0.05）

解："0：〃=80

由于b已知，用Z检验。算得Z=X-M）五=85-80x7=2.5

cr14

由表查得Zo.025=L96。由于z>Zo.025所以拒绝丛，认为该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异

显著

三、综合题（15分）

设随机变量(x,n具有下列概率密度

CX0<x<\fi<y<x

f(x,y)=j0

others

(i)求c。(2)x与y是否独立？为什么？(3)求%x(yk)。

由］=fdxfcxdy=cfx2dx=2得c=3。

(1)JoJoJo3

(2)乂的概率密度八(%)=［：3皿)，=3彳2,0<%<1,否则fx(x)=0；

丫的边缘概率密度人(〉)=，3北氏=1(1一)/)，0<?；<1,否则人(y)=0。

由于/(x,y)H/x(x)人(y)，所以x与y不独立。

-,0<y<x

(3)x,0<x<l

0,Other

四、证明题(6分)

设随机变数g具有对称的分布密度函数P(x),P(x)=p(-x),证明：对任意的。>0,有

F(-a)=1-F(a)=--£p(x)dx。.

附：①⑴=0.84,①(1.96)=0.975

%,0s(24)=1.7109,6x(24)=2.0639,r005(25)=1.7081,1(25)=2.0595

r-ap+co

证：F{-d)-p(x)cbc=1-p(x)dx

J—ooJ—a

=1+jp(-x)dx=1-jp(x)dx

=1-F(a)=1-jp(x)dx-£/p(x)dx=g—「〃(x)dx

概率论与数理统计期末复习题三

一、计算题(每题10分，共70分)

1、设P(A)=1/4,P(A-B)=1/8,且A、B独立。求：P(B)、P(AUB).

解：由1/8=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)得：P(B)=1/2

P(AUB)==P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=5/8

2、某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3：2o甲的中奖率为0.1,乙的中奖率为0.3。任购1张彩

票，求中奖的概率。

解：设A尸“任购1张彩票，购到甲两种彩票”，Az="任购1张彩票，购到乙两种彩票”，B="任购1

张彩票，购到中奖彩票则

P(Ai)=3/5,P(Ao)=2/5,P(B|Ai)=0.1,P包也)=0.3

P(B)=P(Ai)P(B|A.)+P(A?)P(B|A2)=9/50

3、设随机变数X的分布函数为

-0x<0

F(x)=<Ax20<x<1

1x>l

(1)求常数A。(2)求X的密度函数。

解：⑴因为R(l—O)=E(1),所以A=1

.lx0<x<1

(2)X的密度函数p(x)=<廿…

0其匕

4、某镇年满18岁的居民中受过高等教育的10%年收入超过10万。今从中有放回地抽取1600人的随机样

本，求样本中不少于11%的人年收入超过10万的概率。

解:设X表示抽取的1600人年收入超过10万的人数，则

X8(1600,0.1),EX=160,DX=16x9

P{X>0.11x1600}=1-P{X<176}=

«l-O(-)=l-0.9082=0.0918

5、设总体X的密度函数为

(e+i)f,o<x<i

于(x)=<

0,其他

其中。是未知参数，且8>0。求。的矩估计与极大的似然估计量。

解:E（x）=「x-（e+i）/dx=*1，令又="1,故g的矩估计量为0=匕生。另，似然函数

J。6+2e+2X-1

顼）=卜+1）"0*丁,0气＜1

|o,其他

对数似然函数为

X

In工⑼=/In®+1)+。£InX%

2-1

dln—=旦+金=0

dd3+1白

解得。八的最大似然估计量为。八=T—%1

6、某银行要测定在业务柜台上处理每笔业务所花费的时间，假设处理每笔业务所需时间服从正态分布，现

随机地抽取16笔业务，测得所需时间为勺，…，乂16（min）«由此算出『=13min,6=5.6min,求处理每

笔业务平均所需时间的双侧0.95置信区间。

解：由于/未知，故〃的0.95双侧置信区间为

口3-Ogg)凳,13+1(15)

]=[10.0159,15.9841]

其中加）25（15）=2.1315由表查得

7、设随机变量x与y独立，且x服从［0,1］上的均匀分布，y服从参数为1的指数分布，试求Z=x+y

的概率密度。

解：显然（x,y）的联合概率密度为

e~y,0<x<l,y>0

f(x,y)=<

0,其他

先求Z的分布函数尸(z)=P(X+y«z)=JJf(x,y)dxdy.

x+y<,z

当zWO时，F(z)=0

当0<zv1时，F(z)=Jj/(x,y)dxdy=£dxje~ydy=z-1+e-z

x+y<,z

当z21时，F(z)=jj/(x,y)dxdy=J''e~ydy=\-e~z(e-1)

x+yWz

所以，z的分布密度函数

二、解答题（9分）

某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，

从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从N（〃，142）分布。问该校这

次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（a=0.05）

解："°:〃=80

由于。已知，用Z检验。算得Z=又一4右=85-80x7=2.5

cr14

由表查得“025=1.96。由于z>Zo.025所以拒绝从，认为该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩

差异显著

三、综合题（15分）

设随机变量（X,/）具有下列概率密度

c,|v|<x,0<x<l

f(x,y)='0,其他

（1）求c。（2）x与y是否独立？为什么？（3）求%x（yk）。

解:(1)由l=<:4)，=<?12;0/^=0得0=1。

(2)X的概率密度为fx(x)=J：f(x,y)dy=£dx=2x,0<x<l,

2x<1

故fx(x)=J^0<oY的概率密度万(y)=Cf{x,y)dx

0,其他—

当0Ky<l时/y(y)=f<ir=l-y=l-|y|

当一1<y<0时/y(y)=JtZr=l+^=l-|^|

故y的概率密度：/y（y）='iTWN<i。

-0,其他

由于/（X,y）w/x（x）/y（y），所以X与y不独立。

四、证明题（6分）

设随机变数J具有对称的分布密度函数p(x),即p(x)=p(-x),证明：对任意的。>0,有P

(用<a)=2/⑷一1。

证明：P(©<a=p[x)dx=2cp(x)dx=2[F(a)—；]=2F(a)-l

附：

①($=0.9082,①(1.96)=0.975

?005(15)=1.7531,?0025(15)=2.1315,/005(16)=1.7459,^(16)=2.1199

概率论与数理统计期末复习题四

一、计算题(共66分)

1、(8分)设事件A与8互不相容，且P(A)=p,P(8)=q,求下列事件的概率：

P{AB\P(ADB),P(AB\P(AB)»

A与B互不相容，所以P(AB)=P(0)=O,尸(Au5)=尸(A)+P(B)=p+q；由于A与8互不相

容，这时4=A,从而P(A豆)=P(A)=〃；由于万巨=从而

P(AB)=P(A\jB)=l-P(A<jB)=l-(p+q).

2、(9分)某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3：2。甲的中奖率为0.1,乙的中奖率为0.3。

任购1张彩票，求中奖的概率。

设Ak”购到甲种彩票”，A2="购到乙两种彩票"，B="购到中奖彩票“。则P(AQ=3/5,P(A„)=2/5,

P(BlAD=0.1,P(B|A2)=0.3O

P(B)=P(A.)P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)=9/50。

3、(10分)设随机变量X的分布函数为

0x<()

F(x)=vAx20<x<1

1x>\

(1)求常数A。(2)求X的密度函数。

1)因为尸(1-0)=/(1),所以A=1

工…、u,[2%0<x<1

(2)X的密度函数p(x)=尸(x)=<0苴…

4、(12分)设随机向量(X,Y)具有下列概率密度

c,|j|<x,0<x<l

f(x,y)=<

0,其他

(1)求c。(2)X与y是否独立？为什么？(3)求GX(RX)。

(1)由1=jdxjcdy-c£2xdx=c得c=1。

(2)X的概率密度为/x(x)=J/(x,yWy=1.dx=2x,0<x<1,

故fx(x)=2%5J)<X<1Y的概率密度力(y)=「7(x,y心

〔0,其他0j

当0<y<l时亦(y)=J：办=]_y=l_|R

当_l<y<0时4(y)=Ldx=l+y=1-\y\

.i-帆N<i

故y的概率密度f（y）

Y0,其他

由于y（x,y）*fx（x）A（j）,所以x与y不独立。

/ay)=K，W

<x<1

⑶力优（小）=

fx(y)o,其他

5、（11分）设总体X的密度函数为

,0<x<1

/(x)=«

0,other

其中6是未知参数，且6>°。求夕的矩估计与极大似然估计量。

E(X)=/x.(e+l)x"=6+1,令又="1■,故g的矩估计量为©=匕在。另，似然函数

0+20+2X-1

(e+i)"nx\o<Xj<1

L（e）=

[0,其他

对数似然函数为

In2（0）=力In（夕+1）+空InX、

2-1

de8+1公

解得8的最大似然估计量为3=—1-士。

6、（8分）设X1,X2，X3，X,是取自总体X的样本。X的概率密度为

2e~2xx>0

f(x)="

0x<0

写出X1,X2，X3，X4联合概率密度/*”々，£，七）。

4

联合概率密度/a,%,.%）=/（%）/（%）/*3）/（匕）=[6e>0,z=1,2,3,4

0,otuhre

7、（8分）设随机变量x与y独立，且x服从［0,1］上的均匀分布，y服从参数为1的指数分布,

试求z=x+y的概率密度。

显然（X,Y）的联合概率密度为

e~y.0<x<l,y>0

f(x,y)="

0,其他

先求Z的分布函数/(z)=P(X+y«z)="/(x,y)dxdy。

x+y<z

当z<0时，F(z)=0

当0vzv1时，F(z)=jj/(x,y)dxdy=£dx])e~ydy=z-1+e~z

x+y<z

当z21时，F(z)=jj/(x,y)dxdy=£'e~ydy=l-e~z(e-1)

x+y^z

所以，z的分布密度函数

0,z<0

f(z)=F'(z)=<l-e-\0<z<l

(e-l)e~z,z>1

二、应用题（共34分）

1、（9分）某商店负责供应某地区10000人所需商品，其中一商品在一段时间每人需要一件的概率为

0.8,假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以97.5%的概率保

证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。

解：设应预备n件，并设X表示某地区10000人需要件数，则X~B（10000,0.8）,则由中心极限定理

得尸{XW〃}a①（〃一片。）＞0.975

则七国四21.96,“N8078.4（件）。

40

2、（8分）若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10,试用切比雪夫不等式估计及格率至少为

多少？

解：用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E（X）=80,方差D（X）=100,所以P{60<X<100}>

P{60<X<100}=P{|X-80<20）>1--=0.75

400

所以及格率至少为75%。

3、（8分）某厂生产的灯泡寿命（小时）近似服从正态分布N（8000,1600）,抽取16个灯泡的样本。

求平均寿命小于7975小时概率。

解：设灯泡寿命总体为X,因为X〜N（8000,1600）,n=16,所以样本均值X~A^（8OOO,100）,

P{X<7975}=①j7975-8000=1-0（2.5）=0.0062。

4、（9分）已知维尼纶纤度在正常条件下服从N（1.405,0.0482）。某日抽取5根维尼纶，计算得样本均

值与样本方差分别为亍=1.414,S2=0.03112。问这一天纤度总体标准差是否正常？（。=°.05）

解H0:（y=0.048.兄：crH0.048

计算

2（n-l）S2（5-1）x0.031122…

Z=-----i-=------77^2-------=13.5

（j-0.048-

查表得/.O25（4）=1L1,/.975（4）=0.484。由于力2>/025（4），所以拒绝"O,即认为这一天纤度总体标

准差与0.048有显著差异。

附：①(1.96)=0.975,0(2.5)=0.9938/^,025(4)=11.1,力嬴⑷=。・侬

概率论与数理统计期末复习题五及答案

--计算题（本题满分30分，共有5道小题，每道小题6分）.

1.设A、B是随机事件，P（A）=0.7,P（A—B）=0.3,求P须）.

解答：由于A=A8uA与，所以P（A）=P（43）+P（AB）=P（A6）+P（A—B）

所以，P(M=P(4)-P(4-8)=0.7-0.3=0.4,

P(AB)=1-P(A3)=1-0.4=0.6.

1-X2+2X-\

2.设连续型随机变量X的密度函数为f（x）=（-oo<X<-H»）,求凤X）与。（X）.

2()-I)2

解.禺为仪丫）一1p-x+2x-\_।

/nr*kyzuJ(人j-I—e—[exp*»>I1nn、/人丫、/4i-rr^iI

品后J

V22xj

所以，X~Ml,,所以，£(x)=l,o(x)=g.

3.袋中有红球4只，黑球3只，从中任意取出2只，求这2只球的颜色不相同的概率.

解答：设4=｛任取2只球，颜色不相同｝,则P（A）=^=十;.

4.设随机变量X服从区间（0,2）上的均匀分布，求苧@.

£%2

221

解答：由于随机变量X服从区间（0,2）上的均匀分布，所以£（x）=l,o（x）=^=*所以,

1

11

Mx2）=D（X）+[E（X）（=；+12=g.所以,o(x)=

£(X2)44

3

5.设总体X的密度函数为

_/x+1*0<%<1

/叫。其它

。>一1为未知参数，（X，…，X“）是从总体X中抽取的一个样本，求a的矩估计量.

-wo11

a+1

解答:E(X)=Jxf{x}dx=Jx.(a+\)xadx=j(a+l)xa+1dx-

a+2

-O000

得方程£（X）=0,解方程，得小后叫个.

a+21-E（X）

2X-1

将招替换成E（X）,得a的矩估计量为法=

1-X

二.计算题（本题满分40分，共有5道小题，每道小题8分）.

6.已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者.并且某学校学生中男、女生的比例为

2：1,现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？

解答：设4=｛选出的学生为男生｝,8=｛选出的学生为色盲患者｝,则由Bayes公式，得

从痴.尸⑷，尸（刎

P（A）xP（B|A）+P（A）x

2

-x0.054

=----——---------=0.9756.

-x0.054+-x0.0027

33

7.设连续型随机变量X的分布函数为

F(x)=A+Barctanx(-8cx<+oo)

试求：(1).系数A与8；(2).概率P{-1<X<1}；(3).随机变量X的密度函数.

解：

(1).由limF(x)=l,limF(x)=0,得

XT+COX-»-0O

1=limF(x)=lim(A+Barctanx)=A+—B

X->+00Xf+00'2

0=limF(x)=lim(A-Barctanx)=-B

x->-oo“->■<»2

A+-B=l11

解方程组\2,得4=上，B=-

A--B=O2n

I2

所以，

F(x)=—+—arctanx(-oo<x<+oo)

27C

(2).P{-1<X<1}

=F(1)-F(-1)

2

⑶.X的密度函数为

/（x）=F,（x）=—（—oo<x<欣）.

8.设二维随机变量（X,丫）服从平面区域

D=｛（%,>1）：x2+y2<1]

上的均匀分布.

（1）.试求二维随机变量（x,丫）的联合密度函数；

（2）.求随机变量x及丫各自的边缘密度函数；

（3）.求E（X）,凤丫）及E（xy）；

（4）判断随机变量x与y是否相互独立？是否不相关？

解：

（1）.平面区域。的面积为万，所以，二维随机变量（x,丫）的联合密度函数为

.0（x,y）任。

（2）.当-IWXWI时，

X2

所以，随机变量X的边缘密度函数为

=<-7i-x2

AW71

0其它

同理，随机变量y的边缘密度函数为

2

2

fy(y)=t71-y-1<J<1

o其它

⑶.由对称性，得

+00QI

E(X)=1Vx(x)公=1不、dx=0

-K»

凤］)=」矫(加=dy=0

—00

4004C0|

E(XY)=JJxyf(x,y)dxdy=—^xydxdy=0

22

_oo-x>x+y<\

(4)由于cov(x,y)=E(xv)—E(X)氏y)=o,所以，随机变量x与y不相关.但是,

f(x,加AW/y(y)(x2+y2<i)

所以，随机变量x与y不相互独立.

9.设随机变量x〜N(O,1),Y=X2+1,试求随机变量y的密度函数.

解：

随机变量X的密度函数为

*2

f[x)=—j=e2(-oo<X<-KX))

设随机变量y的分布函数为弓(y),则有

4(y)=P{y<y}=p{x2+l«y}=Mx2Wy_1}

①.如果y-l<0,即y<l,则有4(y)=0；

②.如果y>l,则有

40)=尸心吁1}=P{-7FI<XWVFi}

1Vr-iA-2。x2

22

=—；=\edx=i——\edx

J2%_左J2乃i

f2手工

63=厉厂/y>1

0y<0

所以，

力3=媲3=,亚/2jy-1'>

0”0

即

1上

2

f（\——；——=ey>1

0y<0

10.某单位有200台分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话.假定每台分机是否使用外线是相互

独立的，试用中心极限定理估计该单位至少要装多少条外线，才能以99%以上的概率保证分机使用外线时

不等待.

（已知①（2.33）=0.99,其中①（x）是标准正态分布N（0，1）的分布函数.）

解：

设A=｛某台分机使用外线｝,则P（A）=0.05

设X：该单位某时刻使用外线的分机数.则X〜3（200，0.05）.

设需要给单位安装〃条外线，则要使分机使用外线时不等待，必须XV”，所以，

P｛使用外线时不等待｝=P｛X4〃｝

p\X-200x0.05<“-200x0.051

IV200x0.05x0.95~7200x0.05x0.95j

H-200x0.05

V200x0.05x0.95

由题意，P｛使用外线时不等待｝>0.99,即

n-10

>0.99

查表，得与1922.33

所以，2.33X直？+10=17.18

因此，至少要装18条外线，才能满足要求.

三.计算题（本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分）.

11.设总体X的密度函数为