期末模拟题（四）-2021-2022学年高三年级上册数学

高三上册数学期末模拟题（四）-新高考（全国通用）

一、单选题

1.设集合A={x|x21},B={x|-l<x<2},则AnB=（）

A.{x|x>-l}B.{x|x>l}C.{x|-l<x<l}D.{x|l<x<2j

2.已知aw/?,（l+ai）i=3+i,（i为虚数单位），贝心=（）

A.-1B.1C.-3D.3

3.已知非零向量£,反入则“72=小才'是"£=后”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

4.在中，已知3=120。，AC=晒,AB=2,贝ijBC=（）

A.1B.y[2C.y/5D.3

5.记5.为等比数列{4,}的前〃项和.若52=4,S4=6,则品=（）

A.7B.8C.9D.10

6.（x+L）（x+y）5的展开式中》3y3的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

7.已知A,3,C为球。的球面上的三个点，。。I为“NC的外接圆，若。01的面积为4兀,

AB=BC=AC=OOlf则球O的表面积为（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.32汽

8.若2"+log2a=4"+21og*,则（）

A.a>2bB.a<2bC.a>h2D.a<h2

二、多选题

9.已知曲线C:zm;2+〃y=].（）

A.若机>〃>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若根=〃>0,则C是圆，其半径为«

C.若加〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±、叵

D.若机=0,〃>0,则C是两条直线

10.下图是函数产sin(sx+s)的部分图像，贝|Jsin(s+8)=()

A.sin(x+-^)B.sin(-^-2x)C.cos(2x+-)D.cos(--2x)

66

11.已知a>0,/?>0,且“+b=l,则()

A.a2+b2>-B.2"-h>-

22

C.log2«+log2Z?>-2D.yfa+y/b4近

12.信息烯是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,〃，且

P(X=i)=A，>0(z=l,2,...,n),=1,定义X的信息蜡"(X)=4>log2R.()

i=]i=]

A.若〃=1,则H(X)=0

B.若〃=2,则H(X)随着小的增大而增大

C.若A=‘(i=l,2,则H(X)随着"的增大而增大

D.若〃=2如随机变量y所有可能的取值为1,2,…,相，且产(y=/)=pj+%+"/=12…,用)，

则H(X)<H(Y)

三、填空题

13.己知单位向量的夹角为45。，与：垂直，则仁.

14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至

少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

15.设有下列四个命题：

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

pi：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3:若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/u平面a,直线m平面a,则机_L/.

则下述命题中所有真命题的序号是.

试卷第2页，共4页

①PlA②P|AP2③fVP3④V->p4

16.在平面直角坐标系xOy中，已知衅,0),4,B是圆C：x2+(y-，=36上的两个

动点，满足上4=PB,则△布B面积的最大值是.

四、解答题

17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A,B,C,。四

个等级.加工业务约定：对于A级品、2级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元,

50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂

可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决

定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产

品的等级，整理如下:

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂

家应选哪个分厂承接加工业务？

18.在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知”=3,c=&,8=45。.

(1)求sinC的值；

4

(2)在边BC上取一点。，使得cosZAOC=-g,求tan/D4C的值.

19.如图，在长方体中，点瓦尸分别在棱力A，BB|上，且2DE=ER,

BF=2FB1.

(1)证明：点G在平面AM内；

(2)若AB=2,AD=\,4A=3,求二面角A-EF-4的正弦值.

20.已知公比大于1的等比数列｛““｝满足/+4=204=8.

(1)求｛a,,｝的通项公式；

(2)记粼为｛%｝在区间(0,时(加一・)中的项的个数,求数列｛〃“｝的前100项和400.

21.已知函数/(X)=ae*-'-Inx+lna.

(1)当a=e时;求曲线y习1(X)在点(1,/(I))处的切线与两坐标轴围成的三角形

的面积；

(2)若/(x)>1,求〃的取值范围.

22.已知椭圆C：m+4.=1(a>8>0)的离心率为立，且过点4(2,1).

ab~2

(1)求C的方程：

(2)点M,N在C上，且ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。，使

得|。口为定值.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.D

【分析】

由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】

由交集的定义结合题意可得：AnB={x|l<x<2}.

故选：D.

2.C

【分析】

首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数〃的值.

【详解】

(\+at)i-i+ai2=i-a--a+i-2>+i,

利用复数相等的充分必要条件可得：-a=3,:.a=-3.

故选：C.

3.B

【分析】

考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】

如图所示，QA=a,O8=B,OC=口54="-6，当AB_LOC时，1-5与"垂直，(。一］卜。=0，

所以a.c=B.c成立，此时万片5,

•••£.£=不是4=5的充分条件，

当4=5时，三一5=6，.,.(a-b)y=0c=0,，£9=\.［成立,

•••】£=/•工是万=方的必要条件，

综上，lac=b-3'是"a=5”的必要不充分条件

答案第1页，共19页

故选：B.

4.D

【分析】

利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.

【详解】

设AB=c,AC—b,BC=a,

结合余弦定理：b2=a2+c2-2accos5W：19=a2+4-2xaxcosl20s

即：/+24-15=0,解得：«=3(。=一5舍去)，

故3c=3.

故选：D.

【点睛】

利用余弦定理及其推论解三角形的类型：

(1)已知三角形的三条边求三个角；

(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；

(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形.

5.A

【分析】

根据题目条件可得S2,54-S2)S6-S,成等比数列，从而求出$6-54=1，进一步求出答案.

【详解】

V为等比数列｛叫的前〃项和，

S4-S2,$6一1成等比数列

S2=4,S4~S2=6-4=2

**•§6-=1,

答案第2页，共19页

・，.S6=l+S4=l+6=7.

故选：A.

6.C

【分析】

5

求得（X+y）展开式的通项公式为Tr+l=G产y（reN且r45）,即可求得（x+千）与（x+4

展开式的乘积为C16-J，或形式，对「分别赋值为3,1即可求得的系数，问

题得解.

【详解】

（x+才展开式的通项公式为J=（厂eN且rM5）

所以（x+千）的各项与（x+才展开式的通项的乘积可表示为：

,”22

xj=xC"-y=C；/y和乙u产匕G/y=C"j尸2

XX

在x7^=C）"*y中，令厂=3,可得：xT,=Clx3yJ,该项中x"的系数为10,

22

在匕KT=C04-y+2中，令r=i,可得：=该项中的系数为5

XX

所以无、3的系数为10+5=15

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力,

属于中档题.

7.A

【分析】

由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出。«的值，根据球的截面性质,

求出球的半径，即可得出结论.

【详解】

设圆。1半径为「，球的半径为R,依题意，

得Trr2=4乃,r=2*.*^.ABC为等边三角形,

答案第3页，共19页

由正弦定理可得AB=2rsin60°=，

：.OO,=AB=20根据球的截面性质oq1平面ABC,

OO}±O,A,R=OA="O；+O河=Joo：+y=4,

•••球0的表面积S=4兀W=64万.

故选：A

【点睛】

本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.

8.B

【分析】

设/(幻=2，+1。8)，利用作差法结合Ax)的单调性即可得到答案.

【详解】

2Z,

设f(x)=2、+log?x,则f(x)为增函数，因为2"+log?a=4"+2log4h=2+log2h

2/,2fr2A

所以/(«)-fQb)=2"+log2a-(2+log"")=2+log2fe-(2+log22b)=log2|=-l<0,

所以f(a)<f(2b),所以“<2b.

22h2b

f(a)-f(b)=2"+log,a—(2"+log?/)=2+log2b-(2〃+log?从)=2-吩-log2b,

当匕=1时,/(a)-/02)=2>O,此时f(a)>f(从),有a>〃

当b=2时，/(a)-M)=-l<0,此时/3)</(从)，有a<〃，所以C、D错误.

故选：B.

【点晴】

本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一

道中档题.

答案第4页，共19页

9.ACD

【分析】

结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，〃2=〃>0时表示圆，时表示双

曲线，相=0,/7>。时表示两条直线.

【详解】

兰£=]

对于A,若机>〃>0,则如2+町2=1可化为1+2一,

mn

因为小>〃>0,所以

tnn

即曲线c表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若加=〃>0,贝!]〃吠2+〃,2=]可化为/2+),2=—,

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为近的圆，故B不正确；

n

片2+二2=1

对于C,若痴<0,则如2+〃>2=1可化为11,

mn

此时曲线C表示双曲线，

由tnx1+=o可得丫=±x,故C正确；

对于D,若加=0,〃>0,贝Ijmx2+〃y2=1可化为)尸=’,

n

y=±近，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；

n

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学

运算的核心素养.

10.BC

【分析】

首先利用周期确定。的值，然后确定夕的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得

正确结果.

【详解】

由函数图像可知：T21-J9i=T2C,则0=279r=2=7r=2,所以不选A,

2362T71

答案第5页，共19页

当二3.+%=5万时,y=-l.-.2x—+(p=—+2k7r(kGZ),

“=-2-=12122

2

解得：(P=2k兀+1兀(kGZ),

即函数的解析式为：

y=sin(2x+g4+2左乃)=sin(2x+看+=cos(2x+=sin((—2xJ.

一(c万、,5万c、

而cos12x+—I——cos(-—2x)

故选：BC.

【点睛】

已知yU)=A”〃&x十°)(A>0,<o>0)的部分图象求其解析式时，4比较容易看图得出，困难

的是求待定系数。和夕，常用如下两种方法：

⑴由。=学即可求出3确定9时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”

横坐标X0，则令ft>Xo+9=O(或60Xo+9=7T),即可求出p.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或"零点”)坐标代入解析式，再结合图形

解出。和外若对4,。的符号或对"的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

II.ABD

【分析】

根据。+6=1,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】

对于A,a1+b2=a2+(l-«)2=2a2-2a+i+^>^,

当且仅当“=》=!时，等号成立，故A正确；

2

对于B,a-b=2a-\>-\,所以2"-%>=」，故B正确；

2

对于C,log,a+log2b=log2ab<log,=log?；=-2,

当且仅当“=b=g时，等号成立，故C不正确：

对于D,因为(而+时=1+2疝41+“+6=2,

答案第6页，共19页

所以G+扬4近，当且仅当a==g时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查

数学运算的核心素养.

12.AC

【分析】

对于A选项，求得"(X),由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对

于C选项，计算出“(X),利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出

“(X),，”)，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.

【详解】

对于A选项，若〃=1,则i=l,R=l,所以"(X)=一(lxk)g21)=°，所以A选项正确.

对于B选项，若〃=2,则i=l,2,

所以"(X)=-[p「lOg2P1+(l—p)lOg2(l-pj],

i,(1133、

当Pi=]时,w(x)=-^4,log24+Z,10824/

当Pi=[时，=

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若p,=」(i=l,2,…,〃)，贝IJ

n

H(X)=一(，・k>g,，]x"=-log,，=log,〃，

\nnJn

则”(X)随着〃的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若〃=2m,随机变量Y的所有可能的取值为1,2,…，机，且P(r=j)=Pj+P2„,+I_y

(j=1,2,…,m).

"(X)=Pi•log?Pi=EA-1°g2—

i=l<=1Pi

[111[1]1

=P\-10g2—+/7210g2一+…+P2m7.Sg2----+P2m°l°g2一.

P'PlP2gP2m

答案第7页，共19页

"(y)=(Pl+P2m).lOg2-------------------+(P2+P2m-J.l°g2--------------+…+(Pm+P,“+1).1°g2-----------------------

Pl+Pin,Pi+%”TPm+Pm+l

,I,1,1,1

=Pi-log?----------+Pi-log,-------------+•••+p2„,,rlog2-------------+p2m-log2-----------由于

Pl+Pin,Pl+Plm-XPi+Pz“IP|+Pi,n

.、11,1,1

化>0(i=l,2,…,2机)，所以一>---------,所以log,—>log,---------------)

PiP,+P2m+~PiPi+

,1,1

所以log?—>P；-log--------------,

Pi2P,+P2„m-i

所以“(x)>”(y),所以D选项错误.

故选：AC

【点睛】

本小题主要考查对新定义“信息焙”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及

对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

13.也

2

【分析】

首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.

【详解】

由题意可得：ab=lxlxcos45=>

2

由向量垂直的充分必要条件可得：=

即：kxa-a，b=k-^~=Q,解得：k-.

22

故答案为：也.

2

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考

查学生的转化能力和计算求解能力.

14.36

【分析】

根据题意，有且只有.2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计

数原理得解.

【详解】

・♦,4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排

答案第8页，共19页

1名同学

・••先取2名同学看作一组，选法有：耨=6

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：国=6

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36种

故答案为：36.

【点睛】

本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查

了分析能力和计算能力，属于中档题.

15.①③④

【分析】

利用两交线直线确定一个平面可判断命题Pi的真假；利用三点共线可判断命题P，的真假；

利用异面直线可判断命题外的真假，利用线面垂直的定义可判断命题P,的真假.再利用复合

命题的真假可得出结论.

【详解】

对于命题B，可设4与4相交，这两条直线确定的平面为a;

若4与4相交，则交点A在平面a内，

同理，％与4的交点8也在平面a内，

所以，ABcza,即gua,命题p1为真命题；

对于命题P2,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个,

命题为假命题；

对于命题外，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

答案第9页，共19页

对于命题P4，若直线加，平面a,

则加垂直于平面a内所有直线，

,•,直线/u平面二直线"7」直线/,

命题P4为真命题.

综上可知，p$为真命题，[%,/A为假命题，

POP4为真命题，POP2为假命题，

VP)为真命题，-必V以为真命题.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能

力，属于中等题.

16.10有

【分析】

根据条件得PC，A3,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.

【详解】

QPA=PB:.PCLAB

设圆心C到直线A3距离为d,则|A用=2>36-d2,|PC\=J-+-=1

V44

所以SVPAB<g-2^36—屋3+])=J(36--)(d+l)2

令y=(36-d2)(d+1)2(0<J<6)/=2(d+1)(一2/-d+36)=0..d=4(负值舍去)

当(Kd<4时，/>0；当4Wd<6时，y<0,因此当d=4时，>取最大值，即S/AB取最大

值为10下,

故答案为：104

【点睛】

本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

17.(1)甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4,乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；

(2)选甲分厂，理由见解析.

答案第10页，共19页

【分析】

(1)根据两个频数分布表即可求出；

(2)根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出

选择.

【详解】

,40

(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为而=0.4,乙厂加工出来的一

件产品为A级品的概率为需=0.28；

(2)甲分厂加工100件产品的总利涧为

40x(90-25)+20x(50-25)+20x(20-25)-20x(50+25)=1500ye,

所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；

乙分厂加工100件产品的总利润为

28x(90-20)+17x(50-20)+34x(20-20)-21x(50+20)=1000%,

所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件.

故厂家选择甲分厂承接加工任务.

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属

于基础题.

18.(1)sinC=；(2)tanZ.DAC=—.

511

【分析】

(1)利用余弦定理求得6,利用正弦定理求得sinC.

(2)根据cosZADC的值，求得sinNADC的值，由(1)求得cosC的值，从而求得

sinND4C,cosZDAC的值，进而求得tan/D4c的值.

【详解】

(1)由余弦定理得。2=/+c2-2accosB=9+2-2x3x0x立=5,所以匕=有.

2

由正弦定理得，=/一=sinC=/*=且.

sinCsinBb5

(2)由于cosZAOC=-g,■，)J,所以sinNADC=-cos?NADC=|.

答案第11页，共19页

由于NAOCc怎7，所以Ce[。,5],所以cosC=J1-sin?C

5

所以sinZDAC=sin()一ZDAC)=sin(ZADC+ZC)

32\[^

=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=」x-----+

555525

由于“4?£(0段,所以cosNZMC=Jl-sin：NZMC=

/〜厂sinZDAC2

所以tanZ.DAC=-------------=一

cos"AC11

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.

19.(1)证明见解析；(2)叵.

7

【分析】

(1)连接CE、GF,证明出四边形4EC/为平行四边形，进而可证得点G在平面AEF内;

(2)以点q为坐标原点，GR、C,B,.C。所在直线分别为X、y、z轴建立空间直角坐

标系G-孙z,利用空间向量法可计算出二面角4-E尸-4的余弦值，进而可求得二面角

A-EF-A的正弦值.

【详解】

(1)在棱CG上取点G,使得GG=(CG,连接OG、FG、QE、G尸，

答案第12页，共19页

cB

在长方体48CC-ABCR中，AO〃3c且4)=BC,BB^CC、旦BB、=CC,,

1?2

­：C.G=-CG,BF=2FB、,:.CG=-CC.=-BB.=BFS.CG=BF,

233

所以，四边形3CGF为平行四边形，则A尸〃DG且A尸=ZX7,

同理可证四边形DECfi为平行四边形，；.GE//DG且C,£=DG,

0E//4尸且C£=4F,则四边形AEQF为平行四边形，

因此，点G在平面AE5内；

(2)以点G为坐标原点，4口、通GC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示

的空间直角坐标系Q-xyz,

则A(2,l,3)、A(2,1,0)、£(2,0,2),尸(0,1,1),

AE=(O,-l,-l),AF=(-2,0,-2),A^E=(0,-1,2),=(-2,0,1),

设平面AEF的法向量为m=&,y,4),

m-AE=0f-y,-z.=0.

由｛-----，得｛、c八取Z|=T,得X|=%=1,则a=

m-AF=0[-2xl-2z,=0

设平面\EF的法向量为[(々，必用)，

/?•AE=0\-y2+2z2=0一..

由，得，'八，取z?=2,得々=1,%=4,则”=(1,4,2,

n-AtF=0[-2X2+Z2=0

答案第13页，共19页

---mn3J7

cos<m,n>=pq-pr=-f=~,

MH"V3XN217

2

设二面角A-EF-A］的平面角为6,则|cose|=^^,sin0=Vl-cos0

因此，二面角A-EF-A的正弦值为画.

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【点睛】

本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计

算能力，属于中等题.

20.(1)q,=2"；(2)兀0=480.

【分析】

Q)利用基本元的思想，将已知条件转化为4M的形式，求解出4M,由此求得数列｛%｝的

通项公式.

(2)通过分析数列｛〃“｝的规律,由此求得数列他“｝的前100项和5必.

【详解】

(1)由于数列｛凡｝是公比大于1的等比数列，设首项为勾，公比为4,依题意有

一“：”20,解得解得％=2应=2,或％=32,q=?(舍)，

axq~=82

答案第14页，共19页

所以%=2"，所以数列｛〃“｝的通项公式为q=2”.

(2)由于7=2,2?=4,2'=8,2"=16,25=32,2$=64,2’=128,所以

々对应的区间为：(05，贝1」伪=0;

打也对应的区间分别为：(0,2],(0,3],则4=4=1,即有2个1；

么也也,仿对应的区间分别为：(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则仇="="=&=2,即有2?个2；

4也，…也对应的区间分别为:(0,8],(0,9],-,(0,15],则4……=1=3,即有23个3；

>，配，…4对应的区间分别为：(0,16],(0,17],…,(0,31],则猿=%=…=%=4,即有2,个

4；

a2也3,…也3对应的区间分别为：(0,32],(0,33],…,(0,63],则为=%=L=%=5,即有2$

个5；

%,%,L8侬对应的区间分别为：(0,64],(0,65]广.,(0,100],则氏=%=1=3)o=6,即有37

个6.

所以S“x)=1x2+2x22+3x23+4x2++5x2,+6x37=480.

【点睛】

本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，属于中档题.

2

21.(1)—(2)[1,+co)

e-1

【分析】

(1)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴

交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；

(2)解法一:利用导数研究，得到函数/(x)得导函数/'(X)的单调递增，当a=l时由广⑴=0

得/(力“而=/(1)=1,符合题意；当a>l时，可证/'(：)/'⑴<0,从而尸(x)存在零点%>0,

使得尸(%)=四"一’=0,得到/(NM,利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，

玉)

利用基本不等式可以证得(x)Nl恒成立；当0<a<l时，研究f⑴.即可得到不符合题意.综合

可得。的取值范围.

答案第15页，共19页

解法二：利用指数对数的运算可将/(x)Zl转化为e”“+i+/w+x-12*+/nr,

令g(x)=/+x,上述不等式等价于g(痴+x-l)2g(/nr),注意到g(x)的单调性，进一步等价

转化为松之法7+1,令人(力=浓-x+1,利用导数求得秋冷…，进而根据不等式恒成立的

意义得到关于。的对数不等式，解得。的取值范围.

【详解】

(1)Q/(x)=e*-lnx+1,f\x)=ex--,:.k=f'(y)=e-\.

X

Q.f(l)=e+1,.•.切点坐标为(1,1+e),

•••函数f(x)在点(1网)处的切线方程为y—e—l=(e—1)(x-l),即y=(e-l)x+2,

・••切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二J,0),

e-\

1-?2

・・・所求三角形面积为5X2刈了1|二』；

(2)解法一：Q/(x)=aex~'-Inx+In,

・•/'(x)=a，-—,且a>0.

x

设g(x)=r(x),则g'(x)=3+!>o,

X

・・・g(x)在(o,+oo)上单调递增，即/«)在(o,+oo)上单调递增，

当。=1时，八1)=0,・・・/(%)-=/⑴=1,・：〃力N1成立.

1I11.1

当。>1时,-<1,♦111，.•/(一)/'⑴=a(e〃-l)(a-l)<0,

ae1a

.•.存在唯一%>0,使得/'5。)=。/7--5~=0,且当xe(0,x0)时/'(x)<0,当xe(x°,+8)时

X()

_.1

f\x)>0,ciex=—,lna+x()-l=-lnxo，

xo

因此f(x)min=/Uo)=ae&T-In/+Ina

=----Flna+x。-1+lnaN21ntz-1+2I—,=2Ina+1>1,

%Vxo

.：/(x)>l,恒成立；

当0<a<l时，/(l)=a+lna<a<l,.,.f(l)<l,/(x)Wl不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是［1,+◎.

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解法二：