光学第二章衍射

1

光的衍射现象

惠更斯--菲涅耳原理

菲涅耳圆孔衍射和圆屏衍射单缝夫琅和费衍射和矩孔衍射多缝夫琅和费衍射和光栅光栅光谱仪第二章衍射2主要内容2.1惠更斯－菲涅耳原理2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射2.3夫琅禾费单缝衍射2.4夫琅禾费圆孔衍射2.5平面衍射光栅2.6*

晶体对X射线的衍射3以色列

特拉维夫4水波的衍射现象56圆屏的衍射花样光的衍射现象7§2.1.1、光的衍射现象

当一个波在传播中遇到障碍物时，会绕过去继续传播.衍射定义：把这种波遇到障碍物时偏离直线传播，不遵从直线传播规律的绕射现象就是波的衍射。衍射装置：衍射强弱与障碍物尺寸的关系：以上：衍射效应不明显：衍射效应明显：衍射现象极端明显向散射过渡8

当障碍物的尺寸小到与波长可比拟时，衍射现象明显。

光波长很短，因此光波的衍射在障碍物很小时才易于观察到。

小孔的衍射现象9圆孔的衍射花样圆屏的衍射花样刀片的衍射1011衍射现象的特点(1)在什么方向受限制，衍射图样就沿什么方向扩展(2)限制越厉害，衍射越强烈12§2.1.2、惠更斯-菲涅耳原理波面：光场中相位相同的点的轨迹，即等相面。最前面的波面叫做波前。波面波线：从波源沿着波的传播方向画出的带箭头的线叫做波线。它表示波的传播方向波线波面波线平面波：波面是平面的波；球面波：波面是球形的波。平面波的波线是垂直于波面的平行线，球面波波的波线是沿着以波源为中心的半径方向向外的射线。13惠更斯菲涅耳1）光波波面上每一点可看成一个新的次级波源，发出次波；2）下一个时刻的波面为所有次波的共同包络面；3）波的传播方向在次波源与次波前和包络面的切点的连线方向上。惠更斯原理的表述：14vDtv次波构成的平面波波前vS(t)S(t+dt)次波构成的球面波波前15成功之处直线传播规律反射折射规律双折射现象较好的解释光的定性的解释光的衍射现象16折射规律17定性的解释光的衍射现象18不足之处按照惠更斯原理会出现后退波，与事实不符没有考虑到波的时空周期特性,不能解释空间中光波的强度分布19后退波前进波后退波20

菲涅耳在惠更斯原理的基础上，增加了“次波相干叠加”的原理，从而发展成为惠更斯—菲涅耳原理。

通过惠更斯—菲涅耳原理可以解释和描述光束通过各种形状的障碍物时所产生的衍射现象。2.1.3Huygens-Fresnel原理

（2）相干叠加要点：（1）次波

这里次波的叠加是带权重因子的叠加，1)原理的表述：波前上每一个面元都可以看成是新的振动中心，它们发出次波。在空间某一点P的振动是所有这些次波在该点的相干叠加。21图示：Q处面元ds对P点的贡献2）原理的数学表达式：22Q处面元ds处发出的次波对P点的光场的复振幅贡献为dE(P)

对面元dS所发出的各次波的振幅和相位提出下列四个假设

正比于dS的面积,且与倾角因子有关

波面是一个等相位面,因此各点发出的所有次波具有相同的初相位

次波在P点处所引起的振动的振幅与r成反比,

即假定次波是球面波

次波在P点处的相位,由光程nr决定E(P)233）假设：4）菲涅耳衍射积分公式：即：不存在向后倒退的次波是比例系数是球面波情况245）菲涅耳－基尔霍夫衍射公式附加相位差，确保了菲涅耳－基尔霍夫衍射积分公式定量计算的正确性。25光源障碍物接收屏光源障碍物接收屏2.1.4衍射的分类

菲涅耳衍射

夫琅和费衍射光源—障碍物—接收屏距离为有限远。（两者之一）光源—障碍物—接收屏距离为无限远。远场衍射近场衍射26

物理上的近场和远场的划分：在衍射物的范围内，入射波和出射波的波面可近似为平面时，为夫琅和费衍射，否则为菲涅耳衍射。272.1.5．干涉与衍射的区别干涉与衍射都是相干叠加，其相同点是主要的。不同点是次要的：1)干涉是离散点源发出的光波的相干叠加，衍射是连续次波源发出的次波的相干叠加。2)干涉的叠加是求和，衍射的叠加是积分求和。衍射与干涉的关系：衍射是无限个子波的叠加干涉。数学上的处理：

干涉有限个波叠加：双光束，多光束

衍射无限个波叠加。28光孔部分的复振幅：光屏部分的复振幅：其它部分的，积分为零基尔霍夫边界条件29菲涅耳衍射积分公式：302.1惠更斯-菲涅耳原理惠更斯原理上节回顾1、波前上每一点可看成一个新的次级波源，发出次波；2、下一个时刻的波面为所有次波的共同包络面；3、波传播方向在次波源与次波前和包络面的切点的连线方向上。31惠更斯-菲涅耳原理上节回顾

正比于dS的面积,且与倾角因子有关

波面是一个等相位面,因此各点发出的所有次波具有相同的初相位

次波在P点处所引起的振动的振幅与r成反比,即假定次波是球面波

次波在P点处的相位,由光程nr决定32§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射衍射装置量级量级§2.2.1菲涅耳半波带33实验现象

衍射图样是亮暗相间的同心圆环，中心点可能是亮的，也可能是暗的。

孔径变化，衍射图样中心的亮暗交替变化。移动屏幕，衍射图样中心的亮暗交替变化圆屏的衍射图样也是同心圆环，但衍射图样的中心总是一个亮点。中心强度随的变化很敏感，随距离的变化很迟缓。34采用半波带法要解决的问题求菲涅耳衍射中心场点Po处的光强度。采用近似处理的方法由：求解在实际应用中，通常不易直接计算衍射积分，需要概念清晰，计算简单的方法。

35把波前分割成为一系列环形带，每一个环带光程相差半个波长。称为半波带。波前上的半波带36（1)求出每个半波带的复振幅(2)则P0点的合振幅：则：§2.2.2合振幅的计算37（3）比较各个振幅的大小球冠面积：其中：得：余弦定理环带面积正比于距离38仅随变化，随k的增加缓慢减小，最后趋近于零。则看成半波带面积是一个常量由菲涅耳原理可知：可见：即：39用如下上下交替的矢量来表示P0

点处振幅的叠加A1a2a3a4akAa1

–a2a3

–a4a1a2a3a4akAk为奇数时k为偶数时合成一式P0

点的振幅为第一个波带和最后一个波带所发出次波的振幅相加（减）。4）求露出前k个半波带的圆孔衍射中心场点Po处的合振幅··RSP0or0rkK个完整菲涅耳半波带数R菲涅耳圆孔衍射40§2.2.3圆孔的菲涅耳衍射装置关键是计算出通过圆孔的波面相对于观察点而言可以分成多少半波带41第一个半波带:r0--r0+λ/2第二个半波带:r0+λ/2

--r0+λ第三个半波带:r0+λ

--r0+3/2λ第k个半波带:r0+(k-1)λ/2

--r0+kλ/242若圆孔的半径为Rh,则露出的半波带数目为即+--2:222RhhRR---=202202hrhrrk（（+-=--=)hr)h202222rRRkkRh（（+=+-=Þ)r2)r2h0202RrkRrrkl0043讨论(a)采用平行光照明圆孔,R趋于无穷(b)

P点的合振幅大小取决于露出的带数k44A(P0)=a1/2自由传播时整个波前在场点产生的振幅是第一个半波带的效果的一半。此时功率为I0.自由波场：最后一个半波带k(θk)0,Ak0,(c)若不用光阑（或自由传播）(d)若圆孔的大小刚好对于观察点而言露出第一个半波带,则A(P0)=a1光强为自由传播时的4倍45时，时，，Po点处是亮点，Po点处是暗点（e）若衍射圆孔逐渐增大时，时，Po点处是亮点随包含的半波带数目逐渐增多，中心强度的亮暗交替变化。随着距离r0的变化，中心强度的亮暗也交替变化。46例题:照明光的波长为0.5um,R=1m,b=4m,求前四个和第100个半波带的半径.可得:解利用47作业习题：P111

2,4482.1惠更斯-菲涅耳原理惠更斯原理上节回顾1、波前上每一点可看成一个新的次级波源，发出次波；2、下一个时刻的波面为所有次波的共同包络面；3、波传播方向在次波源与次波前和包络面的切点的连线方向上。49惠更斯-菲涅耳原理上节回顾

正比于dS的面积,且与倾角因子有关

波面是一个等相位面,因此各点发出的所有次波具有相同的初相位

次波在P点处所引起的振动的振幅与r成反比,即假定次波是球面波

次波在P点处的相位,由光程nr决定50求遮住前n个半波带的圆屏衍射中心场点Po处的合振幅不管圆屏的位置和大小怎样，圆屏几何影子的中心永远有光（泊松点）。2.2.4圆屏的菲涅耳衍射51不论圆屏的大小和位置怎样，圆屏几何影子的中心永远有光；圆屏衍射的特点：常数）2A1=1k+圆屏的作用能使点光源成实像，它和一块汇聚透镜相当）2）点是暗点（同几何光学时，3）PRh>>orrR52例题：波带片的孔径内有20个半波带，遮挡偶数个半波带，求轴上场点P0处的光强？解：波带片相当于透镜，可以会聚光强。532.2.5菲涅耳波带片定义：将偶数个或奇数个半波带遮挡住，就形成菲涅耳波带片。54成像公式：由得：令：焦距公式：主焦距55次焦距：

原来的1个半波带可分成3个振幅降为原来的

原来的1个半波带可分成5个振幅降为原来的

次焦距：f/7、f/9、f/11……568）波带片和薄透镜的异同相同点：都能会聚光能量不同点：（1）透镜只有一个会聚焦点，波带片有许多会聚焦点。（2）透镜具有物像等光程性，波带片的相邻露出波带间相差一个波长的光程差。（3）波带片具有面积大、轻便、可折叠等透镜不具备的优点。57制作：①照相②摄取牛顿环③镀膜光刻

形状：

①同心环带②长条形③方形582.2.6直线传播和衍射的联系光的传播总是按照惠更斯-菲涅耳原理进行若波面完全不遮蔽时,所有次波在任何观察点叠加的结果就形成直线传播.若波面的某些部分受到遮挡,以致这些部分所发出的次波不能到达观察点,叠加时缺少了这些部分次波的参加,便发生了衍射现象.59作业习题：P1122、4、6602.3.1实验装置和实验现象§2.3夫琅和费单缝衍射夫琅禾费单缝衍射6162p·光源透镜L1透镜L2A衍射屏接收屏P0B*实验现象：在接收屏上出现明暗相间的衍射花样。实验装置θ63夫琅禾费矩孔衍射中光源、衍射屏和衍射图样的对应64特征二：缝宽b越小，条纹越宽（即衍射越厉害）单缝衍射花样的主要特征：单缝衍射花样照片特征一：中央有一特别明亮的亮纹，两侧有一些强度较小的亮纹，中央亮纹宽度是其他亮纹宽度的两倍；其他亮纹的宽度相同；亮度逐级下降特征三：波长

越大，条纹越宽。屏幕屏幕652.3.2单缝衍射的强度公式设：整个狭缝所发出的次波在θ=0方向上的合振幅xdx单位宽度振幅Δ66假设各次波到达P点具有相同的振幅6768

由（1）单缝衍射中央最大值的位置：

(2)单缝衍射最小值的位置：sinu=0

sin

0

=02.3.3衍射图样的光强分布69次最大的位置和强度令：得：对应次极强次极强处在超越方程根的位置处70即：对应：

次最大的强度：

次极强弱得多，绝大部分能量集中在零级斑。71令：Ｉ０＝A０２＝1则可由得：

A12＝0.0451A22＝0.0162

A32＝0.0083A42＝0.0050

A52＝0.0034A62＝0.0024

A72＝0.0018

72夫琅和费单缝衍射上节回顾p·光源透镜L1透镜L2A衍射屏接收屏P0B*屏幕屏幕73夫琅和费单缝衍射上节回顾最小值的位置：次最大值的位置：742.3.4单缝衍射图样的特点（1）条纹最大值光强不相等，中央最大、其余皆小75（2）角宽度线宽度中心条纹：两侧条纹：76（3）最小值等间距，次最大不是等间距（4）白光作光源：中央白，边缘为彩色（5）（6）772.3.5矩孔衍射781．单缝夫琅和费衍射实验装置如图所示，L为透镜，EF为屏幕；当把单缝S稍微上移时，衍射的图样将[]

（A）向上平移（B）向下平移（C）不动（D）消失

2．在如图所示的单缝夫琅和费衍射实验中，将单缝K沿与光的入射方向（图中的方向）稍微平移，则［］（Ａ）衍射条纹移动，条纹宽度不变（Ｂ）衍射条纹移动，条纹宽度变动（Ｃ）衍射条纹不动，条纹宽度不变（Ｄ）衍射条纹中心不动，条纹变窄CC79例题.波长为

=600nm的激光垂直地投射到缝宽

b=0.02mm的狭缝上。现有一焦距

f‘

=20cm的凸透镜置于狭缝后面，试求：

(1)由中央亮条纹的中心到第一级暗纹的角距离为多少？

(2)在透镜的焦平面上所观察到的中央亮条纹的线宽度是多少？80解：(1)根据单缝衍射的各最小值位置公式

令

k=1，将已知条件代入上式，得由于

1很小，可以认为零级斑的半角宽81(2)由于

1

十分小，故第一级暗条纹到中央亮条纹中心的距离y

为

因此中央亮条纹的宽度为零级斑的半线宽8283解：设该条纹对应的衍射角为设该条纹为第k级明纹：8485作业习题：P1127、8、9862.4夫琅禾费圆孔衍射2.4.1装置：87d爱里斑直径衍射图样：882.4.2光强分布：正入射情况下,圆孔的夫琅禾费衍射其强度分布公式为：I0为θ=0方向上的合振动强度(中心强度)J1（x）为一阶贝塞尔（bessel）函数，是随x作振荡变化的函数，其数值可查数学手册8990（1）中央最大值位置：（2）最小值位置：

（3）次最大的位置；

中央亮斑的光强占总光强的84%,其余光强共占16％．

91fDlqqd光强0r爱里斑r半径直径d圆孔直径D半径Rq2q2讨论：①艾里斑（中央亮斑）的半角宽度：92

②艾里斑的线半径：

③当即时,衍射现象可略去→几何光学衍射现象越显著。这和单缝衍射时很相似。93

双圆孔衍射

—杨氏干涉。④圆孔的衍射花样只取决于圆孔的直径，而与圆孔的位置是否偏离主轴无关。⑤可用圆孔衍射检验透镜质量。94例题若氦氖激光（）出射窗口的直径为1mm，求激光束衍射的发散角？解：在10km处光斑直径可达7.7m注:由于衍射效应,截面有限而又绝对平行的光束是不可能存在的.95夫琅和费圆孔衍射上节回顾96夫琅和费圆孔衍射上节回顾最小值的位置：次最大值的位置：fDlqqd光强0r爱里斑r半径直径d圆孔直径D半径Rq2q2艾里斑（中央亮斑）的半角宽度：艾里斑的线半径：夫琅和费圆孔衍射上节回顾98夫琅和费单缝衍射上节回顾p·光源透镜L1透镜L2A衍射屏接收屏P0B*屏幕屏幕99夫琅和费单缝衍射上节回顾最小值的位置：次最大值的位置：100角宽度线宽度中心条纹：两侧条纹：上节回顾夫琅和费单缝衍射101§2.5平面衍射光栅光栅的概念闪耀光栅三维光栅透射光栅反射光栅平面光栅任何具有周期性的空间结构或光学性能的衍射屏都可叫作光栅。透明不透明abd通常为1023~10mm数量级光柵常数:ab()+d透射光栅x1xP

SdGP0L1L2ab光栅常数与光栅单位长度的刻痕数N的关系：d=1/N。103一、

实验装置和衍射图样P0Sd多缝夫琅禾费衍射的实验装置104衍射花样N=1N=2N=20N=6N=5N=3特征4、强度分布中保留了单缝衍射的痕迹，即曲线的包络与单缝衍射强度曲线的形状一样。特征2、主极大的位置与缝数N无关，宽度随N的增加而减小,强度正比于N2。特征3、相邻主极大之间有N-1条暗纹和N-2个次极大。特征1、与单缝衍射花样相比，多缝衍射花样中出现了一系列新的光强极大值和极小值，其中较亮的亮线叫主极大，较弱的亮线叫次极大。N=3N=5106P0Sd由图,沿某一方向θ的各衍射线中,有的来自不同的狭缝,有的来自同一狭缝的不同部分,他们经物镜会聚后交于幕上一点P

θ,即这一点的振动是所有这些衍射线相干叠加的结果.二、

N缝衍射的振幅分布和强度分布107光线经平面光栅衍射时,P点处的合振动为:取其中任一项的积分1081、单缝上下移动时,衍射花样不变,即各缝形成的衍射图样完全一样.2、各缝之间有相位差,是相干的,因而多缝衍射图样与单缝不一样,衍射条纹的强度发生了重新分布。109最后得合振动为:110合振动的振幅单缝衍射因子缝间干涉因子111缝间干涉因子112单缝衍射因子最小值的位置：次最大值的位置：113缝间干涉因子1、主最大值：缝间干涉因子2、最小值：3、次最大值：两主最大值之间有N-1个最小值，N-2个次最大值。N=6时,主极大、次极大、极小的位置如图所示：缝间干涉因子0两主最大值之间有N-1个最小值，N-2个次最大值。

单缝中央主最大光强

单缝衍射因子缝间干涉因子多缝衍射强度分布图：-66543210-1-2-3-4-5缝间干涉(

/d)01-12-2单缝衍射(

/b)-66543210-1-2-3-4-5(

/d)三、光栅衍射的缺级若θ角方向既是多光束干涉的某一级主极大，又是单缝衍射光强为零的方向，则光栅衍射光谱中缺少这一级亮条纹，称为缺级现象。IN2I0048-4-8sin

/(

/d)单缝衍射轮廓线缺级的级数为：缺级时满足：IN2I0048-4-8sin

/(

/d)单缝衍射轮廓线衍射极小干涉主最大120透射光栅衍射：现象上节回顾P0SdN=3N=5N=1121透射光栅衍射：衍射积分上节回顾单缝衍射因子缝间干涉因子-66543210-1-2-3-4-5缝间干涉(

/d)01-12-2单缝衍射(

/b)-66543210-1-2-3-4-5(

/d)透射光栅衍射：光强分布上节回顾缺级的级数为：缺级时满足：IN2I0048-4-8sin

/(

/d)单缝衍射轮廓线衍射极小干涉主极大透射光栅衍射：缺级上节回顾124平行光垂直入射时：四、光栅方程oP焦距

f缝平面G观察屏透镜L

dsin

d

N=20主极大的位置和半角宽度光栅谱线125斜入射时的光栅方程：相邻狭缝间的光程差入射光线和衍射光线在法线同侧时入射光线和衍射光线在法线异侧时入射光线和衍射光线在同侧取正，异侧取负光栅方程例题用每毫米500条栅纹的光栅，观察钠光谱线（=5900Å）问：（1）光线垂直入射；（2）光线以入射角30°入射时，最多能看到几级条纹？解：

（1）j最大取j

max=3（2）j最大取j

=-1128五、

谱线的宽度：半角宽半角宽度：以两侧的暗线为界，其中心到邻近的暗线之间的角距离。主极大的半角宽度Δθ与Nd成反比，Nd愈大