基础A卷-2021-2022学年人教A版高二数学上学期期末达标测试题及答案（理）

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2021-2022学年人教A版高二数学上学期

期末达标测试卷（理）

学校:姓名:班级:考号:

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答

案正确填写在答题卡上

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

L若命题“玉（）£R,片+2〃a0+m+2<0”为假命题，则m的取值范围是（）

A.（―00,—1）kj[2,+co）B.（—00,—1）kj（2,4-oo）

C.[-1,2]D.（-1,2）

2.“x+^W4”是“xW，”的（）

x2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.某公司由于改进了经营模式，经济效益与日俱增.统计了2018年10月到2019年4月的纯收益y

（单位：万元）的数据，如下表：

月份1011121234

月份代号t3456789

纯收益y66697381899091

已知y关于t的经验回归方程为$=4.75~51.36,请估计该公司2019年6月的纯收益为（）

A.94.11万元B.9886万元C.10361万元D.108.36万元

4.执行如图所示的程序框图，若输出的S=30,则判断框中可填（）

A.z>5?B.z>6?C.z>6?I).z>7?

5.十字绣是一种古老的刺绣，起源于我国唐代，拥有悠久的历史.如图是一幅绣有小鹿图案的正方

形十字绣，其中正方形的边长为90cm,现向此正方形内撤2500粒芝麻，其中452粒落在小鹿图

案中，则小鹿图案的面积大约是()

A.1332cm2B.1359cm2C.1464cm2D.1500cm2

6.设x,ywR,向量a=(x,l,l),Z>=(1,j,l),c=(2,-4,2),且aJLc,bile,则x+y的值为()

A.-lB.1C.2D.3

7.某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层随机抽样的方法从这些班中

抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则

抽取的2个班均来自高一的概率是()

8.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据

整理得到如下频率分布直方图：

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

9.若F为双曲线C：£-f=l的左焦点，过原点的直线1与双曲线C的左、右两支分别交于A,B

45

两点，则一!----i的取值范围是（）

|M|\FB\

AA.「I"BD.「——11]C—.——J,0「D.「——1I

_45j55」I4」L45_

10.已知F是椭圆工+《=13>6>0）的一个焦点，若直线y与椭圆相交于A,B两点，且

a2b2

ZAFB=120。，则椭圆离心率的取值范围是（）

A-Bfo后

D.0,——

22

11.已知抛物线Uy?=4x,过其焦点F的直线1交抛物线C于A,B两点，若A户=3万,则A4QF

的面积（0为坐标原点）为（）

A.—B.73C.—D.26

33

12.如图所示,五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1,AE_L平面ABC,COPAE,且C£）=』AE.

2

设。£与平面人8£所成角的大小为区4£=%伏>0）,若工,二],则当k取最大值时，平面BDE

64

与平面ABC所成角的正切值为（）

E

A.—B.1C.72D.V3

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若命题“存在xeR,++4x+“4O”为假命题，则实数a的取值范围是.

14.某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,

从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.若下面是尚未完

成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），则0+2的值为.

%y

分组频数频率

[50,60)80.16

[60,70)a■

[70,80)200.40

[80,90)■0.08

[90,100]2b

合计■1

22

15.已知双曲线A-2=l(a>0力>0)与方向向量为人=(6,6)的直线交于A,B两点，线段AB的中

a~b'

点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是.

16.在棱长为2的正方体ABC。-中，E,F分别为棱9，的中点，G为棱A#上的一

点，且AG=〃O</1<2),则点G到平面REF的距离为.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量y(单位：万件)

的统计表:

月份代码

1234567

t

销售量y/

%?6

万件

但其中数据污损不清，经查证£%=9.32,£//=40.17,a=0.55.

i=\/=!Vi=l

(1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t之间有很强的线性相关关系；

(2)求y关于t的线性回归方程(结果中b保留两位小数)；

(3)公司经营期间的广告宣传费(单位：万元)匕="(i=l,2,L),每件产品的销售价为10元，

预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由(毛利润=销售金额-广告宣传费).

力4-7乂％-，)

参考公式及数据：«=2.65,夜仪1.41,相关系数力=晨1T“，当|川>0.75时认

一(—『£(%-刃?

VZ=1z=l

E0/-F)(x-y)

为两个变量有很强的线性相关关系，线性回归方程是？=R+b=^-------------,a=y-bT.

1=1

18.(12分)某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行

情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照［50,60），

［60,70），…［90,100］分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

（1）求图中X的值；

（2）求这组数据的平均数；

（3）已知满意度评分值在［50,60）内的男生数与女生数的比为3：2,若在满意度评分值为［50,60）的

人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率.

19.（12分）如图（1）,AD是△BCD中BC边上的高，S.AB=2AD=2AC,将△38沿AD翻折,

使得平面A8_L平面ABD,如图（2）所示.

（1）求证：AB1CD.

（2）在图（2）中，E是BD上一点，连接AE,CE,当AE与底面ABC所成角的正切值为［时，求直

2

线AE与平面BCE所成角的正弦值.

f2

20.（12分）已知椭圆。:=+当v=1（。>>>0）的一个顶点恰好是抛物线。:/=4y的焦点，其离心

a~h

率与双曲线二-9=1的离心率互为倒数.

4

（1）求椭圆C的标淮方程;

（2）若过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线1交椭圆C于A,B两点，设点A关于x轴的对

称点为P,当直线1绕着点F转动时，是否存在定点Q,使得B,P,Q三点共线?若存在，求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（12分）如图，在四棱锥P-ABCZ）中，底面ABCD为直角梯形，BCPAD,AB^BC,

ZADC=45°,平面ABCD,AB=AP=\,4）=3.

（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（2）求点D到平面PBC的距离.

22.（12分）设抛物线£:>2=2夕苫5>0）的焦点为「，准线为1,A为E上一点，已知以F为圆心,

FA为半径的圆F交1于B,D两点.

（1）若N3FD=60。，△3FD的面积为迪，求P的值及圆F的方程；

3

（2）若点A在第一象限，且A,B,F三点在同一直线《上，直线人与抛物线E的另一个交点记为C,

且丽=4福，求实数A的值.

答案以及解析

1.答案：C

解析：命题的否定是“VxeR，x2+2mx+m+2>0"，该命题为真命题，所以

A=4/n2-4(w+2)<0,解得.故选C.

2.答案：B

解析：当x+3N4时，得x>0,充分性不成立；当xN4时，由基本不等式可得》+3*2、［耳=4,

当且仅当x=2时取等号，必要性成立.故“犬+刍24”是“xN，”的必要不充分条件.故选B.

x2

3.答案：C

解析：将2019年6月的月份代号f=ll代入经验回归方程，得9=4.75x11+51.36=103.61.故选C.

4.答案：B

解析：模拟执行程序框图，5=0,1=1,此时条件不成立，得到S=2xl=2,i=2；此时条件不成

立，得至llS=2+2x2=6,i=3；此时条件不成立，得至US=6+2x3=12,i=4；此时条件不成立，得

到S=12+2x4=20,i=5；此时条件不成立，得到S=20+2x5=30,i=6；此时条件成立，输出S=30.

结合选项可知判断框中可填“后6?”，故选B.

5.答案：C

解析：设小鹿图案的面积为S,则最q5。盆45?，所以SR464cm2.

6.答案：A

解析：Qa±c,:.a-c=2x-4+2=O,解得x=1,又b//c,—=—=—,解得y=-2,则x+y=-1,

2-42

故选A.

7.答案：A

解析：高一、高二、高三的班级个数之比为21:14:7=3:2:1,根据分层随机抽样的性质可知所抽

取的6个班中，高一、高二、高三的班级个数分别为3,2,1,设抽取的高一的3个班级分别为A1,

A2,A3,高二的2个班级为Bl,B2,高三的1个班级为C1,从这6个班中再随机抽取2个班的可

能情况为(A1,A2),(A1,A3),(Al,Bl),(41,32),(Al,Cl),(A2,A3),(A2,B1),(A2,32),(A2,C1),

(A3,Bl),(A3,82),(A3,Cl),(81,82),(Bl,Cl),(32,Cl),共15个，抽取的2个班级均来自高

一的可能情况为(A1,A2),(Al,A3),(A2,A3),共3个，所以所求的概率为

8.答案：C

解析：本题考查频率分布直方图、均值等统计图表及统计量的基础知识.

选项正误原因

AJ由图可知，组距是1,前2个小矩形的面积和是0.06

BJ最后4个小矩形的面积和是0.10

可以求得平均值是

CX(3+12+13+14)x0.02+(4+11)x0.04+

(5+9+10)x0.10+6x0.14+(7+8)x0.20=7.68

DJ4.5至8.5之间小矩形的面积和是0.64

9.答案：D

解析：设双曲线的右焦点为G,连接BG,则|E4|=|3G|,因此|EB|-|E4|=|EB|-13Gl=2a=4,于

是」44

\FA\|FB|\BG\\FB\

4

为物TBGD

\BG\|FB|4-

(\FB\14\BG\AJFB\1_____4______-

则-+-5

llBG||FBI广18Gl|E4j|Fi?r|BGr|FBr4V7

\FB\_4+|BG|4og..14_11

|BG|>C-6Z=1,所以，C(1,5],因此f+—w4,—故----------£

丽二18Glt5\FA\|FB|4'5

10.答案：C

解析：连接A,B与左右焦点F,P的连线，由NA必=120。，

由椭圆及直线的对称性知：四边形A7加广为平行四边形，且NE4尸=60。，

在AAFF'中，FF,2=AF2+AF,2-2AF-AFrcosZE4F=(AF+AFf)2-3AF-A—，

ooAF+AF'oi

2222

(AF+AF')-FF'=3AF-AF'<3("产了,可得_L(47+AF'y<FF'，即『44c，则

24

e=£z!，.,.椭圆的离心率ee-,lL

a2L2J

故选：C.

11.答案：B

解析：如图所示，过点A作AA,!.4用，过点B作B4_LAB1为准线)，过点B作8WJ.AA,.

因为标=3方，设BF=k,则AF=3Z,BBt=A,M=k,所以4W=2%.在RtzvWA/中，

AM所以NABM=30。，则NAFM=60。.由点E(l,0),得直线AF的方程为)，=1),

联立卜「向X-D，消去y并整理，得3d—10x+3=0,所以与+为=儿，所以

3

AB=xi+x2+p=—+2=—,A尸=。48=4.在中，AW=AFsin60°=2>/5,所以

12.答案：C

解析：结合题意，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,

UUU

0,0,-I,E(O,1J),所以c2=(0,l㈤,

(S3、uuirfJ33

则M—,-,0,则平面ABE的一个法向量为CM=—,-,0

4444

uuuuuu厂

由题意得sina=Gllr=一/3_,

\CE\\CM\241+公

Xae[-,-L所以「瓢ina=f也，解得立刑t夜或-例出一巫（舍去），

164」225/T7F222

所以k的最大值为夜.

_uunUUD

当々=&时，BEDE=o.i,

2

设平面BDE的一个法向量为〃=(x,y,z),

uun72

n-DE=y+—z=0,

2

则

nBE=-—x+-y+yJ2z=0,

22

令y=l,得X=-Bz=_近,所以〃=(—6,1,-应)，易知平面ABC的一个法向量为机=(0,0,1),

设平面BDE与平面ABC所成的角为/，易知夕为锐角，

所以cos夕=|cos〈〃，M|="""=—,所以siny?=—,所以lan夕=0,故选C.

In||m|33

13.答案：(2,E)

解析：因为命题“存在x€R,++4x+a40”的否定是“对任意xeR,/+4x+a>0”，且原命

题是假命题，所以原命题的否定是真命题，则(“>0'2所以。>2.

[16-4/<0,

14.答案：510

解析：设样本量为N,则N=—=50,所以［80,90)的频数为50x0.08=4,

0.40

16

2罚004

^=50-8-20-4-2=16,/?=—=0.04,x=*=0.032,y=-^=0.004,

501010

所以@+2=510.

xy

15.答案：y=±—x

2

2222

解析：设4(片方)，则与一封=1且学一普=1,

a~b~a~b~

因为线段AB的中点为(4,1),所以之二&=绊文&=

%一片4-(%+x)a

由题意可得直线AB的斜率为1,所以咎=1,即2

a1a2

故双曲线的渐近线方程为y=士;x.

16.答案：巫

5

解析：由题意得A4//EF，A8|仁平面Q|EF,EFu平面所以4片〃平面"EF,则点G

到平面D.EF的距离等于点人到平面D、EF的距离.以D为原点，DA,DC,OQ所在直线分别为x

轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则"(0,0,2),E(2,0,l),F(2,2,1),A(2,0,2),所以

UUUUUU1UUU

Dl£=(2,0,-l),。尸=(2,2,-1),AE=(0,0,T).

设平面〃EF的法向量为n=(x,y,z),

2x-z=0,

则

2x+2y-z=0,

令x=l,则y=。，z=2.

所以平面。田尸的一个法向量〃=(1,0,2).

即点G到平面D.EF的距离为乎.

点A到平面尸的距离为

,得7=4,火(—)2=28

17.答案：(

i=l

7_7_7

EU-H(x-y)=TZy=40.17-4X9.32=2.89.

i=l»=1»=1

2.892.89

a0.99,

2A/7X0.552x2.65x0.55

Qr|=0.99>0.75,

.••销售量y与月份代码t之间有很强的线性相关关系.

7

,289

(2)Q》=芋932“1.33八J----------二生”0.10

21)228

i=\

.a=y—bt=1.33—0.10x4=0.93,

关于t的线性回归方程为m=0.10f+0.93.

(3)当r=8时，5=0.10*8+0.93=1.73,

W10x1.73-^^17.3-2x1.41=14.48,

.•.第8个月的毛利润约为14.48万元.

又14.48<15,

第8个月的毛利润不能突破15万元.

18.答案：(1)由(0.005+X+0.02+0.035+0.030)x10=1,解得x=0.01；

(2)这组数据的平均数为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77；

(3)满意度评分值在［50,60)内有100x0.005x10=5人，男生数与女生数的比为3：2,故男生3

人，女生2人，记为4，4,4，稣用，记“满意度评分值为［50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，

恰有1名女生”为事件A,

从5人中抽取2人有：44，AA，4由,44，&&，，42约，

A3B,,A3B2,BYB2,

所以总基本事件个数为io个，A包含的基本事件：44，A4，AiB\'4生，&用，44，共

6个，所以尸⑷=?|.

19.答案：(1)由题图(1)知，在题图(2)中，ACrAD,ABLAD.

•.•平面ACO_L平面ABD,平面ACDCI平面A8Z)=A£),A5u平面ABD,

平面ACD,又C£)u平面ACD,

:.ABLCD.

(2)以A为坐标原点，AC,AB,AD所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨设AC=1,则A(0,0,0),8(020),C(l,0,0),0(0,0,1),AD=(0,0,1),BC=(l,-2,0),

DB=(0,2,-l).

设E(x,y,z),由Z)£=Z£>B(O<A<1),得(x,y,z—1)=(0,2/1,—㈤，得£(0,22,1-A)

AE=(0,22,1-2),

又平面ABC的一个法向量为AZ5=(0,0,1),AE与底面ABC所成角的正切值为1，

2

所以|tan〈,方,硝|=2,于是|cos<AD,AE)\=-^=—,

y/55

即-j===—:=正，解得

7(22)2+(1-/1)252

则£(0,1,；),Z后=(0,1,g),砺=(0,—l,g).

，—•x-2,y=0,

设平面BCE的法向量为〃=(x,y,z),则“上=°’即1

n•BE=0,一y+7z=。，

2

令y=l,得％=2,z=2,则〃=(2,1,2)是平面BCE的一个法向量，

设直线AE与平面BCE所成的角是0,

则sin0=|cos(AE,ri)|=〔—=,

\AE\\n\y/5215

X3

2

故直线AE与平面BCE所成角的正弦值为拽.

X

20.答案：(1)因为抛物线Z):f=4y的焦点为(0,1),

所以b=1.

因为双曲线三-丁=1的离心率为e=好,

42

所以椭圆C的离心率为£=2

a

a=＞/5,

2

所以£解得＜b=1,

a有'

c=2,

。＞0,

故椭圆C的标准方程为反+丁=1.

5'

(2)设直线1的方程为x=ry+2,其中”0,

点A(X1,y),S(x2,y2),则点尸(石,一,)，

=

联立f2消去x并整理，得任+5)/+4<y-l=0,

Ix+—D,

则△=20(*+l)>0,yi+y2=--^L-,yty2

由椭圆的对称性知，若存在定点Q,则点Q必在X轴上，

故假设存在定点Q(q,0),使得p,B,Q三点共线，则即8=即0，即&±近=」_

与-Xq-X1

2t

则q=XM+X2X=仍+2)卫+(O+2)y=2务必+2=一％+2,+2=*

y+%%+必％+%4t22