2023年海南省琼海市高考数学模拟试卷

2023年海南省琼海市高考数学模拟试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.（i+O=（）

A.2+2OiB.2-2>T3iC.-2+D.-2-2/^i

2.已知集合4={x[a<x<a2+1,aeZ},B={x|2<x<6},若AnB=4,贝ija=（）

B2c3D4

>

B1c3D

9-V93

4.如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第

1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是（）

5.小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每

天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（）

A.19903元B.19913元C.20103元D.20113元

6.如图，已知4B=4C,^BAC=I，分别以4B,AC为直径作

O

半圆弧，。是半圆弧的中点，E为半圆弧上靠近点C的三等分点,

则向量荏在向量而上的投影向量为（）

B.匚^而

o

C.话口而

D.小口前

4

7.当x,ye（0,+8）时，绦黯停晨,亘成立，则加的取值范围是（）

A.（25,+8）B.（26,+oo）C.贫,+8）D.（27,+8）

8.已知&,尸2分别是双曲线C：★一马=1（。>0）>0）的左、右焦点，斜率为：的直线，过&,

交C的右支于点B,交y轴于点4,且NBAF2=乙48尸2，则C的离心率为（）

A亨B.亨C"D.门

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知（3%—2）2023=%+%%+g/_j-----1.。2023%2023,贝|J（）

A.a0=22023

B.Qo++。2-------。2023=1

52023+1

a1+Q3+Q5d---------FCL2023=--2------

Cc1al1a2,a3,,02023_1

D.劭+守+铲+乒+…+一-1

10.己知函数/'（久）=cos（cox+9）（0<0）<10,0<（p<兀）图象的一个对称中心是4质0）,点

8（0,好）在/。）的图象上，贝！1（）

A./（%）=cos（2x+JB.直线x=”是/Q）图象的一条对称轴

VO

C.f（x）在［勺,等］上单调递减DJQ+制是奇函数

OOO

11.若与y轴相切的圆C与直线Ly=?x也相切，且圆C经过点P（2,C），则圆C的直径可

能为（）

A.2B.C.\D当

12.若函数y=fO）在定义域内给定区间［a,b］上存在x（）（a<<b）,使得/'（即）="二:⑷,

则称函数y=/（x）是区间口句上的“平均值函数”，而是它的平均值点•若函数'=卷+根在

区间［0,2］上有两个不同的平均值点，则小的取值不可能是（）

BC•一言D

e?-

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在全国第七次人口普查中，山东省16个城市的人口数(单位：万)如表所示，则该组数据

中的70%分位数为万.

名称青岛济南泰安烟台临沂日照聊城威海济宁德州淄博滨州东营潍坊枣庄荷泽

人口数/万10079205477101102297595291836561470393219939386880

14.已知抛物线C：y2=4光的顶点为0,经过点4且F为抛物线C的焦点，若|4F|=3|OF|,

则4。4尸的面积为.

15.定义在R上的奇函数f(x)满足VxeR,f(x)+f(4-x)=0,且当0<x<2时，f(x)=

X2~2X,贝比瞥3"Q)|=.

16.在四面体4BCD中，AB1AD,AB1BC,向量点与前的夹角为全若4B=4,BC=AD=

3,则该四面体外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

33

已知数列｛%t｝,｛5｝满足乃=3bn+(n+l)-n,bn+1=4bn,ax=19.

(1)求数列｛九｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的前n项和5.

18.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-4BC。的底面是等腰梯形,AD//BC,BC=2AB=24。=2,PC=PC1

底面ABCD,M为棱4P上的一点.

(1)证明：AB1CM；

(2)若二面角4一DC—M的余弦值为守，求翳的值.

19.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c是公差为2的等差数列.

⑴若2sinC=3sinA,求AABC的面积.

(2)是否存在正整数b,使得△ABC的外心在△48C的外部？若存在，求b的取值集合；若不存

在，请说明理由.

20.(本小题12.0分)

某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”,参

赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，

每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰

.“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失

败者则被淘汰.已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为今

获得第三名、第四名的概率均为士甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为最

(1)求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率.

(2)“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答

错得0分.若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有一3道题甲不能正确回答，记

甲在“挑战答题”中累计得分为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

21.(本小题12.0分)

已知M,N分别为椭圆E：务'=l(a>b>0)的左，右顶点,尸为其右焦点，|FM|=3\FN\,

且点P(14)在椭圆E上.

(1)求椭圆E的标准方程;

12

(2)若过F的直线，与椭圆E交于4B两点，且1与以MN为直径的圆交于C,。两点，证明：曲+

皿为定值.

4

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(X)=y+Inx.

(1)求曲线f(x)在X=1处的切线方程；

(2)写出一个适当的正整数a,使得/0)>(2。+1)m工+3恒成立，并证明.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：(1+Gi)2=1-3+=-2+2ct.

故选：C.

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：当a=l时，集合4={x[l<x<2},不满足4ClB=4故A错误；

当a=2时，集合A={x|2<x<5},满足4nB=4,故8正确；

当a=3时，集合4={制3<尤<10},不满足4nB=4,故C错误；

当a=4时，集合2={x|4<x<17},不满足4nB=力，故。错误.

故选：B.

根据已知条件，结合交集的定义，并代入选项验证，即可求解.

本题主要考查并集及其运算，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：(詈严+3=£1严+3=(3f-3严+3=3(口-3)(f+3)=3-2=1.

故选：B.

利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.

本题主要考查了有理数指数基的运算性质，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：根据题意，由图①可知，“同心圆”和“圆”相对，“加号”和“箭头”相对，“心

形”和“星星”相对.

由图②可得，小正方体从如图②所示的位置翻到第1格时正面朝上的图案是“同心圆”，

第2格时正面朝上的图案是“加号”，

第3格时正面朝上的图案是“星星”，

第4格时正面朝上的图案是“圆”，

第5格时正面朝上的图案是“箭头”，

第6格时正面朝上的图案是“心形”.

故选：C.

根据题意，结合正方体展开图的性质，分析可得答案.

本题考查正方体的展开图，注意培养学生的空间想象能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：4月1日至必月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，

则小方存钱203天(4月1日为第1天)的储蓄总额为1x3+200x]+2。。*(聋-1)义】=20103元.

故选：C.

根据已知条件，分析该存钱模型，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解.

本题主要考查数列的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析1解：设4B=AC=a,贝ij4E=¥a，AD=^/a，^DAE=

•••向量荏在向量同上的投影为：|AE|cos4ZME=x生口=受々a，

•••向量荏在向量而上的投影向量为：且产。乂需=平而.

故选：C.

由平面几何知识求出向量荏和向量而的模与夹角，再由投影向量的知识求出投影向量.

本题考查平面向量的数量积的几何意义和投影向量，还考查了计算能力，属中档题.

7.【答案】A

【解析】当X,ye(0,+8)时，4x?”；2y+?2=(4/+y)(x2尸y)式(痉+要；＞=生,

x4+2x2y+y2(x2+y)2-(x2+y)24

当且仅当4无2+y=X2+4y,即y=%2时，等号成立，

所以竺缪交学的最大值为今

所以：＞箕解得m＞25,

44

即m的取值范围是(25,+8).

故选：A.

将左侧分式的分子因式分解成(4/+y)(x2+4y)的形式，再利用基本不等式的结论进行计算即可

以得到结果.

本题主要考查不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解:如图，由题可知|AFi|=\AF2\=\BF2\,

又因为|BFI|—伊尸2|=2a,所以|4B|=2a,

因为直线I的斜率为"，所以|40|=1,1^1=冷，

设M为ZB的中点，连接MF?，易知△AOFis/kFzMFi，

所以号号=盟，则卷=卓，解得。=萼。，

2

所以双曲线C的离心率为亨.

故选：A.

根据题意画出图形，利用双曲线定义求出|4B|=2Q,再利用三角形相似，即可求解.

本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】BCD

2x2023

【解析】解：v(3%-2尸°23=劭+arx+a2x+…+a2023»

.,.令x=0,可得％)=-22023,故A错误；

再令％=1,可得劭+%+。2^----HQ2023=l①，故3正确；

再令％=—1,可得得+---。2023=-52023②，

2023

把①—②，并除以2,可得出+03+即+・・・+02023=匕y，故。正确；

在所给的等式中，令％=＜，可得的+?+•+翳+…+翳舄=一1，故。正确.

3°aDj

故选：BCD.

由题意，在所给的等式中，分别令x=0,1,-1,I，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结

论.

本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数

值代入，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解:因为点B(0,殍)在/(x)的图象上，

所以/(°)=cos(p=又0<s<兀，

所以8=2

因为/(x)图象的一个对称中心是4/,0),

所以等+3=与+左耳k€Z,则3=2+8/C,kEZ,

又。<3<10,所以<=2,则/(x)=cos(2x+JA正确；

/的=cos与=0,则直线％=如詈生不是图象的一条对称轴，B不正确；

当xe年，岩］时，2%+旌［2兀,3兀］,单调递减，C正确；

/(x+=cos(2x+^)=-sin2x,是奇函数,。正确.

故选：ACD.

由f(0)=号可得卬=也对称中心460),即可求得3=2,从而得到函数/⑶的解析式，再根

据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可.

本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.

11.【答案】AB

【解析】解：因为直线Ly=的倾斜角为30。，

所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y=上.

设圆心C(a,Ua),则圆C的方程为(欠—a)24-(y—y/~3d)2=a2,

将点P(2,V~?)的坐标代入，得(2—a)2+—V~~3a)2=a2，解得a=1或a=

故圆C的直径为2或号.

故选：AB.

由分析知，圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y=Cx上，设圆心C(a,/2a)，即可表示出圆

C的方程，又因为圆C经过点P(2,，三)，代入解得a即可得出答案.

本题考查直线与圆的位置关系，方程思想，属中档题.

12.【答案】AD

【解析】解：因为函数y在区间［0,2］上有

两个不同的平均值点，

则用)=»巾=*=壹磬=最有两

个不同的根，

整理埠->叽

构建g(x)=~2~^'xe(0,2),则原题意等价于g(x)与y=m有两个不同的交点,

因为g'(x)=3,令g'(x)<。，解得0<x<l；令g'(x)>0,解得l<x<2；

则gQ)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，

且。(0)=也，9(1)=去一占9(2)=7,

所以义―工<小<一之，

庆1%1,11,3,。，1

因为---<---<-V-----T-<---

ee2eLeLeL

所以m的取值不可能是-;,一小

故选：AD.

根据题意分析可得原题意等价于g(x)=a一芯,xe(0,2)与y=m有两个不同的交点，求导，利用

导数判断单调性，结合图象分析判断.

本题考查函数单调性以及恒成立相关知识，属于中档题.

13.【答案】880

【解析】解:由题意,将16个城市的人口数从小到大排序:219,291,297,386,393,470,547,

561,595,710,836,880,920,939,1007,1102,

因为16x70%=11.2,所以该组数据的70%分位数是第12个数，即为880,

所以该组数据的70%分位数为880.

故答案为:880.

将16个城市的人口数从小到大排序，根据百分位数的计算方法，即可求解.

本题主要考查百分数的计算方法，属于基础题.

14.【答案】＜7

【解析】解：设4(x(),yo)，

由［4/|=3|0尸］,尸(1,0),

可得%o+1=3,所以殉=2,

则据=8,即仇|=2y/~2,

所以△04F的面积为gx1x2y/~2=

故答案为：＞/~2-

根据抛物线焦半径的求解可得殉=2,进而得|为|=2，讶，由面积公式即可求解.

本题考查抛物线的几何性质，属基础题.

15.【答案】1012

【解析】解：根据题意，/(x)为定义域为R的奇函数，则/。)=一/(一无)，

又由VxeR,/(%)+/(4-%)=0,即/(%)=—/(4-x),

则有f(4-x)=f(x),变形可得f(x+4)=/(x),即/(x)是周期为4的周期函数，

当0cx<2时，/(x)=x2-2x,有/⑴=T,

又由VxeR,/(x)+/(4-x)=0,令x=l可得：/(1)+/(3)=0,则”3)=1,

/Q)为定义域为R的奇函数，则f(0)=0,

在/(x)+/(4-％)=0中，令x=0可得：/(0)4-/(4)=0,即/'(4)=0,

令x=2可得：/(2)+/(2)=0,则有/(2)=0,

故1/(1)1+1/(2)|+|/(3)|+|/(4)|=2,

故溜笆")1=505X(|/(1)|+|“2)|+|/(3)|+|/(4)|)+|/(1)|+|/(2)|+|/(3)|=1012.

故答案为:1012.

根据题意，利用函数的对称性分析/(x)的周期，利用特殊值法求出“3)、”2)、/(4)的值，即可

得，⑴I+1/(2)|+|〃3)|+|〃4)|的值,结合周期性分析可得答案.

本题考查函数的奇偶性和对称性，涉及函数值的计算，属于中档题.

16.【答案】287r

【解析】解：如图，过点4作4E〃8c且4E=BC,连DE,

因为AB1BC,所以AB14E,又4BJ.4D,ADC\AE=A,AD,4Eu平

面ADE,

所以4B1平面4DE,

将四面体ABCD补成如图所示的直三棱柱40E-BFC,

则四面体4BCD的外接球即为直三棱柱ADE-BFC的外接球，

因为向量配与前的夹角为全所以“4。=全

又AB=4,BC=AD=3,所以三角形ADE是等边三角形，

设直三棱柱40E-BFC上下底面中心分别为。1，02,连接0］。2，

则由球的截面圆的性质知，球心。为。1。2的中点，

设外接球的半径为R,易知。。2=2,。28=|*亨=门，

所以R=J22+(O=/7，

所以该四面体外接球的表面积为4兀x(，万/=287r.

故答案为：287r.

利用条件，将四面体ABC。补成直三棱柱4DE-BFC,再利用条件和球的截面圆的性质即可求出

外接球的半径，从而求出结果.

本题考查四面体外接球问题，球的表面积公式的应用，化归转化思想，属中档题.

33

17.【答案】解：⑴丫an=3bn+(n+I)-n,

二当n=1时，的=19=3bl+8—1,解得瓦=4,

^n+l=4%，

•・•数列｛%｝是首项为4,公比也为4的等比数列，

n

bn=4；

(2)由(1)得%=4n,则即=3x4n+(n+l)3-n3,

Sn=3x(4+42+…+4n)+23-13+33-23+•••+(n+I)3-n3

=3x4：j4+(九+i)3_/

4*1+5+1)3-5.

【解析】(1)根据等比数列的首项和公比，即可得出答案;

(2)由等比数列的求和公式以及裂项求和，即可得出答案.

本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

18.【答案】(1)证明：过点4作4Nd.BC,垂足为N,在等腰梯形ZBCD中,

因为4D//BC,BC=2AB=2AD=2,所以BN=g,Z-ABC=60°,

在△ABC中，AC=AB2^BC-2AB-BCcosZ-ABC=3,贝ijAB?+=302,则/。，人/,

因为PC1底面ABCD,4Bu底面4BCD,所以PC14B.

因为4CnPC=C,所以平面P2C.

(2)解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令翳=九0<2<1,

则C(0,0,0),71(/3,0,0).河(「尢0,「一/3/1),

则而=(?[,())，丽=(C尢0,二一3/1).

设平面COM的法向量为记=(%y,z),则7n_,一2x2y，令x=l,得沆=

jin•CM=3Ax+—y/~3X)z=0

(L-Vy-占)，

由图可知，记=(0,0,1)是平面ADC的一个法向量.

E〜_H__4Z

因为二面角4-DC-M的余弦值为三，所以|cos(沆，">।一|沅|•同一]4；：2—17,解得

J(1-A)2

11

故当二面角力一DC—"的余弦值为守时，瑞=最

【解析】⑴过点/作4N1BC,垂足为N,由题意可得AC1AB,PC14B.进而可证4B，平面PAC,

可证结论；

占E

⑵以C为坐标原点建立空间直角坐标系，令翳=AO<A<1,利用向量法可得一「丁=~rT,

Jg百

求解即可.

本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值问题，属中档题.

19.【答案】解:(1)v2sinC=3sin4,・，•由正弦定理得2c=3a,

•・,a,b,c是公差为2的等差数列，.•・a=力-2,c=b+2,

・•・2(匕+2)=3(b—2),・•.b=10,，Q=8,c=12,

「a2+b2-c264+100-1441

・•,COSC=F^=2X8X10=£

vC6(O,TT),且sin?。+cos2c=1,・•.sinC=

8

故^ABC的面积为2x8x10x*=15/7.

LO

(2)假设存在正整数b,使得△力BC的外心在△ABC的外部，则AABC为钝角三角形，

222

依题意可知c>b>a,则C为钝角，则cosC=(7)”f+2)=之鼻<0,

2b(o—2)2(o-2)

(/?-8)(b-2)<0,解得2<b<8,

b+b-2>b+2,二b>4,

1•14<b<8,

・•.存在正整数b,使得△ABC的外心在△ABC的外部，此时整数b的取值集合为{5,6,7}.

【解析】(1)由2sinC=3s讥4结合正弦定理可得到2c=3a,结合等差数列可求出a,b,c的值，

然后用余弦定理求出cosC,继而求出sinC,即可求得面积；

(2)先假设存在，由题意可得△ABC是钝角三角形，而通过c>b>a可得cosC<0,再结合两边之

和大于第三边即求出4<b<8,即可求解.

本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为

则甲在“四人赛”中累计得分不低于（6分）包含了f=9或6=8或f=7或f=6.

3

==

(f9)

11

C22X

=-3-=-

8)39

1

“==+XX

6-

P(^=6)=^x|xixl4-(1)3+Cjxix(l)2=llI

所以甲在“四人赛”中累计得分不低于6分的概率Pi=/+5+2+招=奈

故甲能进入“挑战答题”活动的概率P=Pix|=^x|=^；

3Z/Dol

（2）根据题意可知X=3,4,5,

又P(X=2)=警=2P(X=3)=鬻予

。('=4)=警P-5)备参

所以X的分布列如下表所示:

X2345

1551

P

12121212

所以E(X)=2X^4-3X^+4X^+5X-^=^.

【解析】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为f,由题意确定下的可能取值，求出每个值对应的概

率，即可得答案.

（2）确定随机变量X的所有可能取值，求得每个值对应概率，可得分布列，即可求得数学期望.

本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属

中档题.

21.【答案】解：(1)由|FM|=3|FN|,可得a+c=3(a-c),解得a=

又&2=匕2+©2,所以b=«^c，

qi9

因为点p(l，3在椭圆E上，所以之+马=1，

2a2bZ

解得a=2,b=，g,c=l,所以椭圆E的标准方程为5+^=1.

(2)证明：当，与x轴重合时，|4B|=|CD|=4,所以羔+粤=7,

当]不与％轴重合时，设4(%1，%)，BO2,%)，直线，的方程为％=my+1，

*2y2

曲彳■+T=L整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,

x=my+1,

则乃+力=襦，力旷2=品,

故|AB|=J(1+=2)[(