高考数学总复习 第六章第6课时 直接证明与间接证明课时闯关（含解析）

一、选择题1．(2012·洛阳调研)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：选B.自然数a，b，c中为偶数的情况为：a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．2．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()A．ac2<bc2B．a2>ab>b2C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D.eq\f(b,a)>eq\f(a,b)解析：选B.a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都不大于－2 B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2解析：选C.因为a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≤－6，所以三者不能都大于－2.4．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.eq\f(a,b)<eq\f(a＋1,b＋1)解析：选B.在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．5．若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.二、填空题6．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个非负数，即a，b，c，d全是负数”．答案：a，b，c，d全是负数7．(2012·黄冈质检)在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足________．解析：由余弦定理cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.答案：a2>b2＋c28．设a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，则a，b的大小关系为________．解析：a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，显然eq\r(6)<eq\r(7).∴a<b.答案：a<b三、解答题9．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a.证明：要证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，只需证b2－ac<3a2，∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，显然成立．故原不等式成立．10．已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝eq\r(2)，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD，∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面SBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点．若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：eq\f(1,a)是函数f(x)的一个零点；(2)试比较eq\f(1,a)与c的大小．解：(1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝eq\f(c,a)，∴x2＝eq\f(1,a)(eq\f(1,a)≠c)，∴eq\f(1,a)是f(x)＝0的一个根．即eq\f(1,a)是函数f(x)的一个零点．(2)假设eq\f(