巧用三角形辅助线

三角形---作辅助线例题讲解一：利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图①中，假设∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，那么△DBC是等腰三角形；如图②中，假设∠ABC＝2∠C，如果延长线CB到D，使BD＝BA，连结AD，那么△ADC是等腰三角形；BCDA①②BCDA③BCDA如图③中，假设∠B＝2∠ACB，如果以BCDA①②BCDA③BCDADCBA1、如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：∠DBC＝∠DCBAABC2、如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠AABC二、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图①中，假设AD平分∠BAC，AD∥EC，那么△ACE是等腰三角形；如图②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，那么△ADE是等腰三角形；如图③中，AD平分∠BAC，CE∥AB，那么△ACE是等腰三角形；①ADCBE②ECBDA①ADCBE②ECBDABACDE③④ABFCDEG3、如图，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F.求证：.AE＝AP.FFBACPEFCDEBA4、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CDFCDEBA求证：EF∥AB.E图1E图1ABCD当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1中，假设AD平分∠BAC，AD⊥DC，那么△AEC是等腰三角形.5、如图2，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D。求证：BF＝2CD.图图2BFDCA四：其他方法总结1．截长补短法ABCDE6、ABCDE求证：AB+BE=AC．2．倍长中线法题中条件假设有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。EABCDF7、EABCDF求证：AC=BFAE8、△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图,求证EF＝2AD。AEFBFBCDCD3．平行线法〔或平移法〕假设题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．ABCPQO9、△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°ABCPQOOABCOABCPQD图〔1〕ABCPQDE图〔2〕O构造全等三角形，即“截长补短法〞．⑵此题利用“平行法〞解法也较多，举例如下：如图〔1〕，过O作OD∥BC交AC于D，那么△ADO≌△ABO来解决．AABCPQ图〔3〕DO如图〔2〕，过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，那么△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．如图〔3〕，过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，那么△APD≌△APC来解决．AABCPQ图〔4〕DO④如图〔4〕，过P作PD∥BQ交AC于D，那么△ABP≌△ADP来解决．ABCDM10、：如图，在△ABC中，ABCDM求证：AM=〔AB+AC〕稳固练习1、〔2023年浙江省绍兴市〕如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．假设，那么等于〔〕A．B．C．D．CDBCDBAABCD2〔2023柳州〕如下图，图中三角形的个数共有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个3、(2023宁夏)如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为．4、(09年达州)长度为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形的概率是______DCBA5、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝ABDCBA6、如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE∥AC，分别交AB、BC于点D、E.试猜测线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的猜测理由.CCABEDO7、〔2023年长沙〕如图，是平行四边形对角线上两点，，求证：．DDCABEF8、AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。9、D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。10、(2023年宁德市)如图〔1〕，正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．〔1〕连接GD，求证：△ADG≌△ABE；〔2〕连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；NMBEACDFG图〔1〕图〔2〕MBE