【初中数学竞赛】 专题05 几何竞赛综合-35题真题专项训练（全国竞赛专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【初中数学竞赛】专题05几何竞赛综合-35题真题专项训练（全国竞赛专用）一、单选题1．（2015·全国·九年级竞赛）矩形中，，，、分别为矩形外的两点，，，则（

）A． B．15 C． D．【答案】C【详解】易知，，∴.延长，交于点.∵，，∴，且，∴，，∴，，∴.2．（2013·全国·九年级竞赛）已知是圆的直径，为圆上一点，，的平分线交圆于点，若，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【详解】连接，作于点，则可得，所以，所以．3．（2013·全国·九年级竞赛）矩形的边长，，为的中点，在线段上，且，分别与，交于点，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】易知，所以，所以．延长，交于点，则，所以，所以．因此．4．（2018·全国·九年级竞赛）已知点，分别在正方形的边，上，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】不妨设，则，．设，则，．作于点．因为，，公共，所以，所以．由得，解得．所以，．5．（2018·全国·九年级竞赛）如图，在矩形中，的平分线交于点，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】延长交于点，过点作的垂线，垂足为．由已知得，，．设，则，．因为，所以，解得．所以．6．（2017·全国·九年级竞赛）设是以为直径的圆上的一点，于点，点在线段上，点在延长线上，满足．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图，因为，所以，即．又因为，故．而，，所以，所以，．从而．7．（2021·全国·九年级竞赛）如图，已知的边长分别为，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点画，使得，相似比为，那么k的不同值共有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】作图知与相似的三角形，而相似比不同的三角形只有如图所示的三种，故选C．二、填空题8．（2016·全国·九年级竞赛）已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，，则__________．【答案】2【详解】依题意得，，故．（1）若时，如答案图1所示，，∴，又平分，∴，在中，即，∴，从而，．在中，，．在中，．（2）若时，如答案图2所示．同理可得．综上所述，．9．（2016·全国·九年级竞赛）在四边形中，，平分，为对角线的交点，，，则__________．【答案】【详解】设，，∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，解得，，∴，∴，∴，故．10．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，正方形的边长为，点E在边的延长线上且，点P在边上运动，与的交点为F．设，与四边形的面积和为，那么y与x之间的函数关系式是________．【答案】【详解】解

由得．又，即，所以．故应填．11．（2014·全国·九年级竞赛）已知为等腰内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则_____．【答案】【详解】由题意可得，而所以从而可得又，所以，从而．所以，，所以．12．（2015·全国·九年级竞赛）、两点在以为直径的半圆周上，平分，，，则的长为__________．【答案】4【详解】连接，，作于，于.∵平分，∴.又，∴，∴，∴.设，则，在中，由勾股定理得.在中，，即，解得.∴.13．（2015·全国·九年级竞赛）已知锐角的外心为，交于，、分别为、的外心，若，，则__________.【答案】【详解】作于点，于点，于点.∵、分别为、的外心，∴、分别为、的中点.又，∴，∴.又，，∴.又，∴.14．（2018·全国·九年级竞赛）如图，在平行四边形中，，于，为的中点，若，则______．【答案】【详解】设的中点为，连接交于，由题设条件知为菱形．由及为的中点，知为的中点．又，所以，所以垂直平分，故．所以．15．（2017·全国·九年级竞赛）设是锐角三角形的外心，，分别为线段，的中点，，，则__________．【答案】10【详解】如图，设，则，，，，所以，，所以，所以，从而可得．16．（2021·全国·九年级竞赛）某广场地面铺满了边长为的正六边形地砖，现向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________．【答案】【详解】解

要使圆碟与地砖的边缘不相交的条件是落地后圆碟的中心到正六边形地砖的任何一边的距离不小于圆的半径，也就是圆碟的中心必落在与地砖同中心且边与地砖边彼此平行、距离为的小正六边形内（图6－1）．作于，交于且，所以，．而，所以，故．设正六边形和的面积分别为和，则所求概率为．故应填．17．（2018·全国·九年级竞赛）已知是内一点，是的中点，，，，，则__________．【答案】4【分析】延长至，使，则有A，F，B，四点共圆，得到△BCF是等腰三角形，利用三线合一可得，进而用勾股定理求出，再利用中位线性质求出．【详解】延长至，使，则且，∴，∴A，F，B，四点共圆，∴，∴，∴，∴．又，∴，∴．故答案为：4【点睛】本题考查了三角形中位线定理，四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是能够构建四点共圆．三、解答题18．（2013·全国·九年级竞赛）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连，若，求的值．【答案】【详解】解：连，因为，为圆的切线，所以．又因为，所以．又因为，所以，所以，所以．又，所以，所以．又，，（为圆的半径），代入可求得，．在中，由勾股定理可求得．所以．19．（2021·全国·九年级竞赛）设是凸五边形，将沿方向平移，使移到得到凸五边形．证明：中至少有两个图形，它们有公共内点．【答案】见解析【详解】证明

如图，以为位似中心，以为相似比作的位似图形M，则M仍为凸五边形且在M内．下面我们证明都在M内，例如先证在M内．设P是内任意一点，它是内的点Q经过平移得到的，于是，故为平行四边形，又R是的两条对角线的交点，因Q和属于，且是凸五边形，故R属于M，而，故P属于M．又P是M，内任意一点，所以包含在M之内，同理都包含在M内，设及M的面积分别为及S，则．于是，由图形重叠原理知，中至少有两个图形，它们有公共内点．20．（2017·全国·九年级竞赛）如图，为四边形内一点，，，，求证．【答案】证明见解析【详解】证明由题设条件可知，又，所以所以，从而又，所以，所以设和交于点，则，所以所以21．（2017·全国·九年级竞赛）如图：中，，，是的外角平分线与的外接圆的交点．点在上且，已知，，求的面积．【答案】【详解】解在上取点，使，连接并延长，交的外接圆于点，由，知是等腰三角形，所以所以，所以，所以又，所以，所以的边上的高，所以，的面积22．（2021·全国·九年级竞赛）已知二次函数的图象与轴的交点分别为、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．（1）证明：与轴的另一个交点为定点．（2）如果恰好为的直径且，求和的值．【答案】（1）见解析；（2），【详解】解（1）易求得点的坐标为，设，，则，．设与轴的另一个交点为，由于、是的两条相交弦，它们的交点为点，所以，则．因为，所以点在轴的负半轴上，从而点在轴的正半轴上，所以点为定点，它的坐标为．（2）因为，如果恰好为的直径，则、关于点对称，所以点的坐标为，即．又，所以，解得．23．（2021·全国·九年级竞赛）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液，现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）．（1）当时，通过计算说明此溶液是否会溢出；（2）现需要倒出不少于的溶液，当等于时，能实现要求吗？通过计算说明理由．【答案】（1）不会溢出，理由见解析；（2）不能实现要求，见解析．【详解】（1）当时，如图a，过C作交所在直线于F．在中，，所以点F在线段上，，此时容器内能容纳的溶液量为．而容器中原有溶液量为．因为，所以当时溶液不会溢出．（2）如图b，当时，过C作交所在直线于F．在中，，，所以点F在线段上，故溶液纵截面为．因，容器内溶液量为，倒出的溶液量为，所以不能实现要求．24．（2013·全国·九年级竞赛）在中，，、分别是的外心和内心，且满足．求证：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】证明（1）作于，于．设，，．易求得，，所以，又恰好是两条平行线，之间的垂线段，所以也是两条平行线，之间的垂线段，所以，所以．（2）由（1）知是矩形，连接，，设（即为的内切圆半径），则．25．（2015·全国·九年级竞赛）如图，圆内接四边形的对角线、交于点，且，．过点作，交的延长线于点，的平分线分别交、于点、．（1）证明：；（2）如果，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】证明

（1）在上取一点，使得，则，∴.又，∴，∴，∴，∴.（2）设，则，，，在上截取，连接，则.又，∴，又，∴，∴.又∵，∴，∴，∴.又，，∴，∴，又，∴.∵平分，∴，∴.∴，∴.26．（2021·全国·九年级竞赛）证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖．【答案】见解析．【详解】设正方形的边长为5，先放置一个边长为4的正方形，其中为原正方形的一个顶点，在边上，在正方形内，在边上．连，再放置第二个边长为4的正方形，其中是原正方形的一个顶点，且使在射线上（如图），由勾股定理有：．故在线段内，且．设与交于，则，故在线段内，从而被正方形覆盖．又，即在内，且，故也被正方形覆盖，这就证明了梯形可以被一个边长为4的正方形所覆盖．同理，梯形也可以被一个边长为4的正方形所覆盖，于是正方形可被3个边长为4的正方形所覆盖．27．（2015·全国·九年级竞赛）如图，圆内接四边形的对角线、交于点，且，.过点作，交的延长线于点，的平分线分别交、于点、．（1）证明：；（2）如果，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】证明

（1）在上取一点，使得，则，∴.又，∴，∴，∴，∴.（2）设，则，.∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵平分，∴.在上截取，连接，则.又∵，，∴，∴，∴，∴.又∵，∴.又∵，，∴，∴.∴.28．（2021·全国·九年级竞赛）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．【答案】【详解】解

设其中两条线段的长为，则第3条线段的长为，于是的取值范围是

①要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长度都小于，即

②将视为平面直角坐标系的坐标，则满足条件①的点在以为顶点的内．而满足条件②的点在以为顶点的内，故所求概率为．答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为．29．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）．【答案】0.879．【详解】设自当天零时算起，甲、乙两船到达码头的时刻分别是和，则必须．我们视为平面直角坐标系内的点，于是点落在一个面积为的正方形的内部或边界上（如下图）．如果轮船不需要等候码头空出，那么当船甲先到时，船乙应迟来1个小时以上，即，即；当船乙先到时，船甲应迟来2个小时以上，即，即，即点应在直线的上方且在直线的下方，也就是点应在如图所示的两个三角形和中某一个的内部或边界上，故所求概率．而，所以．答：两船中任何一艘都不需要等候码头空出的概率为0.879．30．（2021·全国·九年级竞赛）平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于．【答案】见解析．【详解】从给定圆中选出半径最大的圆，其半径为，面积为，则与圆有重叠的圆连同圆一起覆盖的面积，即．然后去掉与圆重叠的圆，再从剩下的圆（圆除外）选出半径最大的圆，其半径为，并将与圆有重叠的圆去掉．这样经过有限步可得有限个两两不重叠的圆，，…，它们覆盖的面积为．31．（2014·全国·九年级竞赛）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足，的延长线与的外接圆交于点.证明：．【答案】证明见解析【详解】证明

由是平行四边形及已知条件知.又、、、四点共圆，所以，所以，所以.又，所以，故.32．（2018·全国·九年级竞赛）如图，点在四边形的边上，和都是等腰直角三角形，，．（1）证明：；（2）设与交于点，如果，求．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解（1）由题意知，，，所以，，所以，故，所以，所以．

（2）设，因为，可得，，．因为，，所以，故可得．

又，，于是可得，．

所以．33．（2016·全国·九年级竞赛）（A）如图，点在以为直径的上，于点，点在上，，四边形是正方形，的延长线与交于点．证明：．（B）已知：，，．求的值．【答案】（A）证明见解析；（B）625【详解】【证明】连接、．∵为的直径，于点，∴，∵，，∴，∴，∴，由四边形是正方形及于点可知：点在上，，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，以点为圆心、为半径作，与直线交于另一点，则与切于点，即是的切线，直线是的割线，故由切割线定理得，∴，即点与点重合，点在上，∴．（注：上述最后一段得证明用了“同一法”）（B）．由已知得，由恒等式得，，∴，又，同理可得，，∴原式．【注：恒等式】34．（2016·全国·九年级竞赛）（A）已知正实数，，满足：，且．（1）求的值．（2）证明：．（B）如图，在