导数的定义完整版本

第二章导数与微分第一节导数的概念一、引例二、导数的定义四、导数的几何意义三、导函数五、可导与连续的关系六、单侧导数1/25/202411.变速直线运动的瞬时速度如果物体作直线运动，在直线上选取坐标系，该物体所处的位置坐标s是时间t的函数，记为

s=s(t)，则从时刻t0到t0+

t

的时间间隔内它的平均速度为一、引例1/25/20242在匀速运动中，这个比值是常量，但在变速运动中，它不仅与t0

有关，而且与

t

也有关，很小时，与在t0

时刻的速度相近似.如果当

t

趋于0时，平均速度的极限存在，则将这个极限值记作

v

(t0)，叫做物体在t0时刻的瞬时速度，简称速度，即当

t1/25/202432.曲线切线的斜率定义

设点

P0

是曲线

L

上的一个定点，

点

P

是曲线

L

上的动点，TP0Px0x0+

xyOx

N

当点

P

沿曲线

L趋向于点

P0

时，如果割线

PP0

的极限位置

P0T

存在，

则称直线

P0T

为曲线

L在点

P0

处的切线.

设曲线方程为y=f(x).

在点P0(x0,y0)处的附近取一点P(x0

+

x,y0+

y).那么割线P0P

的斜率为L

x

yy=f(x)1/25/20244如果当点P

沿曲线趋向于点P0

时，割线P0P的极限位置存在，即点P0处的切线存在，此刻

x0，

，割线斜率

tan

趋向切线P0T的斜率tan

，即TP0Px0x0+

xyOx

N

L

x

yy=f(x)1/25/20245

定义

设函数

y=f(x)在点

x0的一个邻域内有定义.

在

x0

处给

x以增量

x(x0+

x仍在上述邻域内)，函数

y相应地有增量

y=f(x0

+

x)-f(x0)，二、导数的定义1/25/20246则称此极限值为函数y=f(x)在点x0

处的导数.即此时也称函数

f(x)在点

x0

处可导.如果上述极限不存在，则称

f(x)

在

x0

处不可导.1/25/20247例

1

求函数

f(x)=x2在x0=1处的导数，即f

(1).解第一步求

y：

y=f(1+

x)-

f(1)=

(1+

x)2-12=

2

x+(

x)2.第三步求极限：所以，f

(1)=2.第二步求：1/25/20248

例

3求函数y=x2

在任意点x0

(,)处的导数.解

y=f(x0+

x)-

f(x0)=

(x0+

x)2-

x02=

2x0

x+(

x)2.三、导函数第二步求：求法与例

1一样.第一步求

y：1/25/20249第三步取极限：即有了上式，求具体某一点，如x0=1处导数，就很容易了，只要将x0=1代入即得1/25/202410例

3

表明，给定了

x0

就对应有函数f(x)=x2的导数值,这样就形成了一个新的函数，f(x)=x2

的导函数，它的表达式就是(x2)

=2x.一般地，函数f(x)的导函数记作f

(x)，它的计算公式是：叫做函数1/25/202411类似例

3，我们可以得

xn

(n为整数)

的导函数，当n为任意实数

时，上式仍成立，即(xn)

=nxn-1.(x

)

=

x

-1.1/25/202412例

4求f(x)=sinx

的导函数

(x

(

，)).解即(sinx)

=cos

x.(cos

x)

=-sinx.类似可得1/25/202413例

5求f(x)=ln

x(x

(0,))

的导函数.解即类似可得1/25/202414解例

6求f(x)=ex

(x

(-,))的导函数

.即(ex)

=ex.类似可得(ax)

=axlna

.1/25/202415函数

y=f(x)在点

x0

处的导数的几何意义就是曲线

y=f(x)在点

(x0

，f(x0))处的切线的斜率,即tan

=f

(x0).yOxy=f(x)

x0P四、导数的几何意义1/25/202416法线方程为其中y0=f(x0).y

-

y0=f

(x0)(x-

x0).由此可知曲线

y=

f(x)上点P0

处的切线方程为1/25/202417

例

2求曲线y=x2

在点(1,1)

处的切线和法线方程.

解从例

1知(x2)

|x=1=2,即点(1,1)

处的切线斜率为

2，所以,切线方程为y–1=2(x-1).即y=2x-1.法线方程为即1/25/202418

定理

如果函数

y=f(x)在点

x0处可导,则

f(x)在点

x0

处连续，其逆不真.证其中

y=f(x0+

x)-

f(x0)，所以五、可导与连续的关系即函数f(x)在点x0处连续.但其逆不真，即函数f(

x

)在点x0

处连续，而函数f(

x

)在点x0处不一定可导.1/25/202419

例7

讨论函数y=

|x|在点x0=0

处的连续性与可导性.解

y=f(0

+

x)

-f(0)=

|0+

x|-|0|=|

x|，1/25/202420即f(

x

)=

|x|在x0=0

处连续，存在，在x0=0

处左、右导数不相等，所以在x

=0处函数y=

|x|不可导.因为1/25/202421在点的某个右

邻域内六、单侧导数若极限则称此极限值为在

处的右

导数,记作即(左)(左)例如,在

x=0处有定义2.

设函数有定义,存在,1/25/202422定理2.函数在点且存在简写为若函数与都存在

,则称显然:在闭区间

[a,b]上可导在开区间