适用于新教材2023版高中数学课时素养检测十二离散型随机变量的方差新人教A版选择性必修第三册

PAGE十二离散型随机变量的方差(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2022·临沂高二检测)已知离散型随机变量X的方差为1,则D(3X-1)= ()A.2 B.3 C.8 D.9【解析】选D.由题意,离散型随机变量X的方差为1,即DX=1,则D(3X-1)=32×DX=9×1=9.2.已知随机变量ξ的分布列如表,则ξ的标准差为 ()ξ135P0.40.1xA.3.56 B.3.2C.3.2 D.3.56【解析】选D.由分布列的性质得0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,所以Eξ=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,所以Dξ=1-3.22×0.4+3-3.22×0.1+所以ξ的标准差为Dξ=3.563.随机变量ξ的分布列如下表,且E(ξ)=1.1,则D(ξ)= ()ξ01xP1p3A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.684【解析】选C.先由随机变量分布列的性质求得p=12.由E(ξ)=0×15+1×12+310x=1.1,得x=2,所以D(ξ)=(0-1.1)2×15+(1-1.1)2×12+(2-1.1)24.设随机变量X的概率分布为PX=i=13,i=1,2,3,则DX等于A.13 B.23【解析】选B.因为P(X=i)=13,i所以E(X)=1×13+2×13+3×13=2,D(X)=13×(1-2)2+13×(2-2)2+15.(2022·太湖高级中学高二检测)已知随机变量X满足E2X-1=2,D2X-A.EX=2,DX=5B.EX=32,DX=C.EX=32,DXD.EX=2,DX=1【解析】选C.E2X-1=2EX-1=2,得EX=32,D2X-1=46.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有 ()A.E(X)=2 B.D(X)=2.4C.E(Y)=5 D.D(Y)=14【解析】选AC.由已知q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,得q=0.1,所以E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2×2+1=5,D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=4×1.8=7.2.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2021·莆田高二检测)随机变量ξ的分布列如下表:ξ-101Pa1b且E(ξ)=13,则D(ξ)=【解析】因为E(ξ)=-a+b=13又a+b+12=1,所以a=112,b=512,D(ξ)=-1-132×112+0-132×12+1-132×512=718.答案:78.若随机变量X的分布列如表,且EX=2,则D(2X-3)的值为.

X02aP1p1【解析】由题意可得:16+p+13=1,解得p=12,因为E(X)=2,所以0×16+2×12+a×1所以D(X)=(0-2)2×16+(2-2)2×12+(3-2)2×1所以D(2X-3)=4D(X)=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知X的分布列如下:X-101P11a(1)求X2的分布列;(2)计算X的方差.【解析】(1)由分布列的性质,知12+14+a=1,故a=14,所以X201P13(2)由(1)知a=14,所以E(X)=(-1)×12+0×14+1×1故D(X)=-1+142×12+0+142×14+1+142×14=111610.已知随机变量X的分布列为X01xP11p若EX=23(1)求DX的值;(2)若Y=3X-2,求DY的值.【解析】(1)由题意可得12+13+p=1,得p=又EX=0×12+1×13+x×16解得x=2.所以DX=0-232×12+1-232×13+(2)因为Y=3X-2,所以DY=D3X-2=9DX=9×【补偿训练】根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(1)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率;(2)工期延误天数Y的均值与方差.【解析】(1)由题意可得PX≥300=1-P(X<300)=1-0.3=0X≥300且工期延误不超过6天的概率为PX≥300,Y≤6=P300≤X<900=P(X<900)-PX<300=0.9-0.3=0.6,PY≤6X≥300=P(2)由题意可知PX<300=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0P700≤X<900=PX<900-P(X<700)=0PX≥900=1-PX<900=1-0.所以,随机变量Y的分布列如表所示:Y02610P0.30.40.20.1所以EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,DY=0-32×0.3+2-32×0.4+6-32×0所以,工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.11.(2022·滨海高二检测)在1,2,3,…,8这8个自然数中,任取3个数字.(1)求这3个数中恰有1个偶数的概率;(2)设X为所取的3个数中奇数的个数,求随机变量X的分布列及方差.【解析】(1)这3个数中恰有1个偶数,则剩余2个数为奇数,设这3个数中恰有1个偶数为事件A,则P(A)=C41C(2)X的可能取值为0,1,2,3,PX=0=C40C43C83=114,PX=1=C41C42C所以随机变量X的概率分布列为X0123P1331期望为EX=0×114+1×37+2×37+3×1方差为DX=0-322×114+1-322×37+(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知ξ的分布列为ξ-101P111下列各式:①E(ξ)=-13;②D(ξ)=23③P(ξ=0)=13.其中正确的个数是 (A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.由题意,根据随机变量的分布列的期望与方差的计算公式可得:Eξ=(-1)×12+0×13+1×16=-13,所以①正确;Dξ=-1+131+132×16=59,所以②不正确;又由分布列可知P(ξ=0)=12.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【解析】选B.ξ1可能的取值为0,1,2;ξ2可能的取值为0,1,Pξ1=0=Pξ1=2=19,Pξ1=1=1-49-19=49,故E(ξ1)=23,D(ξ1)=02×49+22×Pξ2=0=2×13×2=13,Pξ2=1=2×1×23×2=23,故E(ξ2)=2故E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2).3.(2021·丽水高二检测)已知随机变量ξ的分布列如下:ξ132Pnm2m-n则D(ξ)的最大值为 ()A.136 B.118 C.16【解析】选C.由已知,m+n+2m-n=1,即m=13所以E(ξ)=n+32×13+2×23-n=116-D(ξ)=n-562×n+n-132×13+n+162×23-n=-n2+23n+118=-n-132+16,因为n>0,23-n>0,所以0<n<2所以由二次函数性质得,当n=13时,D(ξ)的最大值为14.(多选题)随机变量ξ的分布列为ξ012Pabb其中ab≠0,下列说法正确的是 ()A.a+b=1B.E(ξ)=3C.D(ξ)随b的增大而减小D.D(ξ)有最大值【解析】选ABD.由已知a+b2+b2=1,即a+b=1,所以A正确;E(ξ)=0×a+1×b2+2×b2=3b2,所以B正确;D(ξ)=a0-3b22+b21-3b22+b22-3b22=-94b2+52b,b∈(0,1),所以在0,59上函数是增函数,在59,1上函数是减函数,所以D(ξ)先增大后减小、有最大值,当b=5二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知随机变量ξ的分布列为ξ123P0.5xy若E(ξ)=158,则D(ξ)=【解析】由E(ξ)=1×0.5+2x+3y=158,整理得2x+3y=118,又由0.5+x+y=1,即x+y=所以x=18,y=38,D(ξ)=1-1582×0.5+2-158答案:556.已知不透明口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球,现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球).记换好后袋中的白球个数为X,则X的数学期望E(X)=,方差D(X)=.

【解析】依题意可知X的可能取值为1,3,且PX=1=25,PX=3=35X13P23所以EX=1×25+3×35=115,DX=1-1152×2答案:1157.已知随机变量X的分布列为X012Pa2ab当D(X)最大时,E(X)=.

【解析】由题知b=1-3a,所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a,D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a,故当a=316时D(X)最大,此时E(X)=5答案:58.随机变量X的概率分布为P(X=n)=an2+n(n=1,2,3),其中a是常数,则D【解析】由题意得a1×2+=a1-12+12-13+13-14=34a=1,PX=3=19,则E(X)=23+49+13=139,D(X)=1-1392×23所以D(aX)=a2D(X)=608729答案:608三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·丽水高二检测)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动.(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列;(2)求ξ的均值,方差.【解析】(1)由题意得ξ可能取值为0,1,2,所以Pξ=0=C43C63=15,Pξ=1=C42所以ξ的分布列为ξ012P131(2)由(1)知,Eξ=0×15+1×35+2×Dξ=0-12×15+1-12×310.(2022·广州高二检测)甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13,3(1)求第三次由乙投篮的概率;(2)在前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,求ξ的分布列;(3)求ξ的期望及标准差.【解析】(1)因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中,所以P=13×23+23×3(2)由题意,ξ可取0,1,2.P(ξ=0)=13×13=19;P(ξ=1)=13×23+23×14=718;P(故ξ的分布列为ξ012P171(3)由(2)有E(ξ)=0×19+1×718+2×12D(ξ)=0-25182×19+1-25182×718+2【补偿训练】1.(2022·温州高二检测)某运动队拟派出甲、乙两人去参加自由式滑雪比赛.比赛分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为12;乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和1-p,其中0<p<1(1)甲、乙两人中,谁进入决赛的可能性大?(2)若甲、乙两人中恰有1人进入决赛的概率为1336,设进入决赛的人数为ξ,试比较ξ的方差与12【解析】(1)记甲、乙两人进入决赛的概率分别为P1,P2,则P1=12×12=14,P2=p1-p<p+1-p22=14所以,甲进决赛的可能性大.(2)由题知,14×1-p1-p+34p1-p解得p=13所以P2=p1-p=13×2所以P(ξ=0)=34×79=2136,P(ξ=1)=14×79+34×29=1336,P(ξ的分布列为ξ012P21132所以Eξ=0×2136+1×1336+2×236Eξ2=1336+836Dξ=Eξ2-Eξ2=2136-17362.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.20.30.30.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为300元;分4期或5期付款,其利润为400元,η表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率PA;(2)求η的分布列、期望和方差.【解析】(1)购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”,知A表