高考数学 正弦定理、余弦定理的应用举例课后作业 文 新人教A版

课后作业(二十三)正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题图3－8－101．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－10)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，BA．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m图3－8－112．某班设计了一个八边形的班徽(如图3－8－11)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为()A．2sinα－2cosα＋2B．sinα－eq\r(3)cosα＋3C．3sinα－eq\r(3)cosα＋1D．2sinα－cosα＋13．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里 B．5eq\r(3)海里 C．10海里 D．10eq\r(3)海里图3－8－124．(2013·长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(2)海里 D．20eq\r(3)海里图3－8－135．(2013·陕西西北九校联考)如图3－8－13所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为()A.eq\f(\r(21),7) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(5\r(7),14)图3－8－146．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)m(如图3－8－14所示)，则旗杆的高度为()A．10m B．30m C．10eq\r(3)m D．10eq\r(6)m二、填空题7．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．8．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C图3－8－159．(2013·杭州模拟)如图3－8－15，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________．三、解答题图3－8－1610．(2013·济南模拟)如图3－8－16，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离图3－8－1711．如图3－8－17，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01km，eq\r(2)≈1.414，eq\r(6)≈2.449)．图3－8－1812．(2013·石家庄模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－18所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】在△ABC中，由正弦定理eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，AB＝50eq\r(2).【答案】A2．【解析】三角形的底边长为x＝eq\r(1＋1－2×1×1×cosα)＝eq\r(2－2cosα)，∴S＝4S△＋S正方形＝4×eq\f(1,2)×1×1×sinα＋x2＝2sinα＋2－2cosα＝2sinα－2cosα＋2.【答案】A3．【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/小时)．【答案】C4．【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq\f(AB,sin45°)×sin30°＝10eq\r(2).【答案】A5．【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝10eq\r(7)，再由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sinθ)，∴sinθ＝eq\f(\r(21),7).【答案】A6．【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得eq\f(10\r(6),sin30°)＝eq\f(BC,sin45°)，所以BC＝20eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)＝20eq\r(3)(m)，在Rt△CBD中，CD＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(m)．【答案】B二、填空题7．【解析】如图，依题意甲楼高度AB＝20tan60°＝20eq\r(3)米，又CM＝DB＝20米，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·eq\f(1,tan60°)＝eq\f(20\r(3),3)米，所以乙楼的高CD＝20eq\r(3)－eq\f(20\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)米．【答案】eq\f(40\r(3),3)8．【解析】如图，由已知得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°即x2＋2x－5＝0，解得x＝eq\r(6)－1.【答案】eq\r(6)－19．【解析】设AB＝h，在△ABC中tan60°＝eq\f(h,BC)，∴BC＝eq\f(\r(3),3)h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，即eq\f(30,sin135°)＝eq\f(\f(\r(3),3)h,sin30°)，解得h＝15eq\r(6).【答案】15eq\r(6)三、解答题10．【解】在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝eq\f(DB2＋DC2－BC2,2DB·DC)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，所以cos∠ADC＝eq\f(1,7)，sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7)，在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(5\r(3),14)，由正弦定理eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(CD,sinA)，所以AD＝eq\f(21,\f(\r(3),2))×eq\f(5\r(3),14)＝15，故这时此车距离A城15千米．11．【解】在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即AB＝eq\f(ACsin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)，因此，BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)≈0.33km.故B，D间的距离约为0.33km.12．【解】(1)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝162＋102－2·16·10cosC在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2·142cosC②由①②得：142＋142－2·142cosC＝162＋102－2·16·10cosC整理可得，cosC＝eq\f