立体几何题库

1.如图，在三棱柱瓯-他£中，4I4=4B"BC=90"侧

面“幽，底面神

(1)求证：网，平面公吗

(H)若M=5，BC=3,4，B=60",求二面角B—&C—G的

余弦值.

1.解：(I)证明：在侧面“附中，

--A1A=AB

二四边形MB比为菱形，

二对角线倜U】B.

■:侧面底面4B"BC=90。，

二CBJ_侧面Ai'BBi内，

CB±ABi

---ABi1_平面ABC

([[)在Rt&ABC中，AC=^,BC=3,-.AB=4

=600

又菱形“幽中，•••AArAB?

二回加为正三角形.

如图，以菱形中幽的对角线交点。为坐标原点

。外方向为X轴，。”方向为尸轴，过。且与BC平行的

方向为碎由建立如图空间直角坐标系，

贝U4式2,0,0)乃(一2,0,0),C(—2,0,3)4JO,一2b,O)£i(O,一2倔3),

二方=(-2,2V3,O),CX=(2,湄-3,

设a(Q)为平面4m的方向量，贝心黑=2

.I"-2x+2y/3y=0,

[2x+2V3y-3z=0.

令a3,得户(3痣4)为平面Ag的一个法向量.

又西=(0,一2倔。)为平面为BC的一个法向量，

cos卜闲==T

二二面角BTGG的余弦值为F

2.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥产一A6CZ)中，平面P4Q，平面ABC。，PA±PD,

PA=PD,ABLAD,AB=1,AD=2,AC=CD=^.

(1)求证：P。，平面加8：

(2)求直线P3与平面PC。所成角的正弦值.

第19题图

19.(1)证明：因为平面PAD_L平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,AB±AD,

所以AB_L平面PAD,所以AB_LPD.---------------2分

又PAJ_PD,ABDPA=A,所以PD_L平面PAB.---------------4分

(2)解：取AD的中点。，连接PO,CO.---------------6分

因为PA=PD,所以PO_LAD,P。既平面PAD,平面PADJL平面ABCD,

所以POJ_平面ABCD.因为C01平面ABCD,所以P01C0.

因为AC=CD,所以CO_LAD.--------------8分

如图，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得，

A(0,1,0),B(l,1,0),C(2,0,0),D(0,一1,0),P(0,0,1).

设平面PCD的一个法向量为〃=(x,y,z),则

n•雨=0,[-y-z=O,

〈即----------10分

=0,12x-z=0,

令z=2,则x=l,y=-2.所以JI=(1,—2,2).

又成=(1,1,—1),所以cos〈〃，PB)="PB=一坐

\n\\PB\

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为坐.---------12分

19.[2018•济南期末]如图，在三棱柱ABC-A4G中，△A8G为边长为2的等边

三角形，平面_L平面A41G。，四边形A4CC为菱形，NA41G=60°，Ag与

AC相交于点。.

(1)求证：BD1A.C；

（2）求二面角G-AB-C的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）正.

5

【解析】（1）已知侧面44.GC是菱形，。是AC；的中点,

BA=BG，：.BD1AC,,.....2分

因为平面ABC11平面A41cle，且5£>u平面ABC,,

平面ABG0平面A4.C.C=AC,,

二3。_L平面AAGC，BD1A,C.14分

(2)如图,

以。为原点，以DA,DB,。。所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角

坐标系，由已知可得A£=2,AD=\,BD—AiD=DC—V3,BC-\/6,

.•.0(0,0,0),A(l,0,0),40,0,同，q(-1,0,0),C(0,V3,0).•…6分

设平面ABC的一个法向量加=(x,y,z),AB=^-1,0,73j,BC=',6,-6),

由Z瓦，"=0,BCm=0>得<［十°,可得加=(6,1,1)，..........8分

V3y-V3z=0、'

因为平面A80，平面A4.CC，AC,1A.C,

，CDJ_平面A8G，

所以平面ABG的一个法向量是反=（0,6,0），..........10分

cos<wi,BD>=m,...........11分

阿凶5

即二面角G-AB-C的余弦值是好......12分

'5

19.[2018•辽师附中]如图,在直三棱柱A8C-AAG中，E、尸分别为4£、BC

的中点，AB=BC=2,QFA.AB.

（1）求证：平面4龙，平面々BCG；

（2）若直线GF和平面ACGA所成角的正弦值等于巫，求二面角A-BE-C

的平面角的正弦值.

2瓜

【答案】（1）见解析；（2）

~5~

【解析】（1）在直三棱柱中CG_LA6,

又C/1AB,G£GCu平面8。。出，CC,QC.F=C,,

/.AB_L平面BCC|B|,

又；ABu平面E84,平面ABEL平面B/CG.••…5分

（2）由（1）可知AB_LBC,

以8点为坐标原点，BC为X轴正方向，84为F轴正方向，SB1为Z轴正方向,

建立坐标系.设A4,=a,8（0,0,0）,C（2,0,0）,A（0,2,0）,B］（0,0,a）,

£（2,0,a）,4（0,2,a）,E（\,\,a）,尸（1,0,0）,••…6分

直线FG的方向向量a=（l，0，a），平面ACQA的法向量加=（1,1,0），

可知1^=^，"2'••…8分

丽=（0,2,0）,丽=（1,1,2）,前=（2,0,0）,

设平面的法向量〃]=（x,y,z）,

2y=0

I.%=（2,0,-1）,••…10分

x+y+2z=0

设平面CBE的法向量〃2=（x,y,z）,

2x=0

二叼=（（）,2,—1）,••…11分

x+y+2z=0

记二面角A—3E-C的平面角为。，|cos6|=]

..a2指

・・sin。=---,

5

...二面角A-BE-C的平面角的正弦值为乎.••…12分

19.［2018•南宁［中］如图，四棱锥P-A3CD中，△24。为正三角形，AB//CD,

AB=2CD,ZBAD=90°,PALCD,E为棱P8的中点.

（1）求证：平面PA6,平面CDE；

（2）若直线PC与平面PA£＞所成角为45。，求二面角A-DE-C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）-名昼.

19

【解析】（1）取AP中点尸，连接EF,DF.

为P8中点，：.EFIL、AB,又CDCAB,：.CDI1EF,

~2-2一

.•.C。/石为平行四边形，.....2分

：.DFHCE...........3分

又△B4£）为正三角形，.•.PA_L£厉，从而.....4分

又小_LCD,CDCCE=C,平面CDE,............5分

又Q4u平面上山，；.平面PLB_L平面CDE...........6分

（2）AB//CD,PAICD^PAIAB,又PAp\AD=A,r.45_1平

面PAD..•.CZ）_L平面BWnNCP。为PC与平面B4。所成的角，即

ZCPD=45°,:.CD=AD.

/•

以A为原点，建系如图，设A£>=4,则8(8,0,0),尸(0,2,2⑹,D(0,4,0),

£(4,1,⑹,

8分

.•.通=卜,1,6),而=(0,4,0).设〃=(x,y,z)为平面ADE的法向量,

〃,丐4”后=°,令I,得…of

则10分

n-AD=4y=0

由⑴知，衣=2e,1,@为平面CDE的一个法向量.11分

.•.cos</,〃>=总毕=一2叵，即二面角4一。石一。的余弦值为一名巨.……12

|AP|n|1919

分

19.[2018•九江一中]如图,在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=CB=2,

ZABC=60°,平面ACEFJ_平面ABC。，四边形ACE户是菱形，ZCAF=60°.

(1)求证：BF±AE；

(2)求二面角3-砂-。的平面角的正切值.

B

9

【答案】⑴证明见解析；⑵亍

【解析】（1）依题意，在等腰梯形ABC。中，AC=2A/LAB=4,

VBC=2,AAC2+BC2=AB2,BPBCLAC,.........1分

•.•平面ACEEJ_平面ABC。，，5C_L平面ACEF,........2分

而AEu平面ACEF,/.AE±BC.........3分

连接CF,•.•四边形ACE尸是菱形，.尸C,........4分

，AEJ_平面BCE,

「Mu平面3CE,BFLAE..........6分

（2）取EF的中点M,连接MC,因为四边形ACEE是菱形，且NC4/=60。.

所以由平面几何易知MC_LAC,•.•平面ACEEJ,平面43CD,二MCJ_平面

ABCD.

故此可以C4、CB、CM分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，各点的坐标

依次为:C（0,0,0）,A（260,0）,8（020）,。（石,-1,0）,E（—6,0,3）,

F（73,03）.……7分

设平面3EF和平面OEF的法向量分别为=（《，4，q）,n2=（4也,G），

,乔=（G，-2,3）,EF=（2V3,0,0）.

,BF-n,-0\[3a,-2b.+3c.=0fa.=Q.„,

...由―1='>1nJ。，令b、=3,则

EFnt=02岛1=0124=3。|

%=（0,3,2）,“9分同理，求得〃2=（03-1）.........10分

.•.8$6=甯\=—=,故二面角3-£尸一。的平面角的正切值为2.••…12

同佃|V1307

分

19.[2018•天-大联考]棱台ABC。-A8CQ的三视图与直观图如图所示•

（1）求证：平面ACC,4，平面BDD】B\；

（2）在线段。。上是否存在一点Q,使CQ与平面BOQ4所成的角的正弦值为

半？若存在，指出点。的位置，若不存在，说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）点Q在。0的中点位置，理由见解析.

【解析】（1）根据三视图可知AAJ•平面ABC。，A3CD为正方形，

所以AC_L8D.........1分

因为BOu平面ABC。，所以A411BD,........2分

又因为AAnAC=A,所以6O_L平面4CCM.4分

因为BDu平面BDD4，所以平面ACGAJ•平面BOQ4.........5分

（2）以A为坐标原点，AB,AD,所在直线分别为x,y,z轴建立空间

直角坐标系，

如图所示，

根据三视图可知A3CD为边长为2的正方形，A4G2为边长为I的正方形,

4Al，平面A3CD,且41t=1.

所以4（1,0,1）,"（0,1,1）,8（2,0,0）,0（0,2,0）,C（2,2,0）.

因为Q在。.上，所以可设而=4西（0W/IW1）.

因为西=（0,-1,1）,

所以而=而+而=而+4西=（0,2,0）+/1（0,-1,1）=（0,2-4/1）.

所以Q（0,2-4/1）,•…•…7分

函=(—2,—4")........8分

设平面8。"用的法向量为〃=(x,y,z),

根据卜・丽=0,0卜y,z)-(-2,2,0)=0,

令x=l,可得y=z=l,所以〃=(1,1,1)........9分

设CQ与平面BD。鸟所成的角为。，

所以

sin^=1cos<CQ.n>1国,,M

一2-丸+/12276

V3x^(-2)2+(-/l)2+/l2-V3XV4+2/L2-9,

所以2=即点Q在。0的中点位置.…・•…12分

19.[2018•海南期末]如图，是一个半圆柱与多面体A8BMC构成的几何体，平面

A8C与半圆柱的下底面共面，且AC_LBC,P为弧4瓦上(不与4，瓦重合)

的动点.

(1)证明：出，平面P网；

(2)若四边形A88M为正方形，且AC=BC,/2瓦4=2,求二面角「一44一。

的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)-乎.

【解析】（1）在半圆柱中，Bq_L平面PAB「所以84，巴4.2分

因为A耳是上底面对应圆的直径,所以PA-L尸.....4分

因为PqnBq=4，Pgu平面「阴，BB\UPBB\,

所以尸4,平面PBB-.....5分

（2）以C为坐标原点，以C4,CB为x,y轴，过C作与平面ABC垂直的直线

为z轴，建立空间直角坐标系C-孙z.如图所示，

设CB=1,则8(1,0,0),4(0,1,0),4,(0,l,V2),B,(1,0,VI),P(1,1,⑹.-6

分

所以西=仅,1,&),西=(1,0,四).

平面「481的一个法向量勺=(0,0,1)......8分

y=-y/2

设平面C44的一个法向量〃,=(x,y,2),则卜+?z=°，令z=i4ij<

x-—>/2,

x+v2z=0

z=1

所以可取〃2=卜3，-3，1），.....1。分

所以COS<〃|,=—^-==^-.......11分

-1x755

由图可知二面角P--。为钝角，

所以所求二面角的余弦值为-乎......12分

19.[2018♦烟台期末]已知四棱锥S-ABC。，SAL平面ABC。，底面ABCO为直

角梯形，AB//DC,ZZMB=90°,AB=2DC,AD<DC,例是SB中点.

(1)求证：CM〃平面夕⑦；

(2)若直线QM与平面所成角的正切值为正，尸是SC的中点，求二面角

2

。一4尸一。的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)也.

13

【解析】(1)证明：取SA中点N,连接MN,DN,

在中，MN//AB,MN=-AB,NM//DC,NM=DC,

2

.•・四边形COMW为平行四边形.....2分

CM//DN,....3分

又•.•CMU平面&W,DNu平面S4),

.•.CM〃平面&W.....4分

(2)由已知得：AB,AD,A5两两垂直，以A8,AD,AS所在直线分别为x

轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.....5分

•/AD15?1,AD±AB,SAC\AB=A,二ADJ_平面5AB,

NDM4就是DM与平面SA5所成的角.

在RtAAMZ）中，tanZAMD=—,即丝=走,

7分

2AM2

设AB=2,则49=6DC=1,：.AM=2；

中，M为斜边S3中点，：.SB=4,

：.AS=^2-22=273.

则A（0,0,0）,8（2,0,0）,C（l,V3,0）,D（0,®0）,5（0,0,2^）,F,73

（22

所以而=（0,G,0）,AC=（l,V3,0）,AF=.

设机=(X，X，zJ是平面ACE的一个法向量，则

玉+也义-0

m-AC=0

；玉+平X+6z|=0

m-Af=Q

、乙乙

令M=l，得加=(-6,1,0).....9分

设〃=(W，%,Z2)是平面尸的一个法向量，则

n-AD=0回=。

_____n<

n-AF=0—尤2+~~~%+~0

、22

令Z2=l,/.n=^-2\/3,0,l）•....11分

m-n_6_3>/13

/.cos<mn>-

y同V13-213

二面角C-AF-E的余弦值为3叵.....12分

13

19.[2018•周口期末]如图，已知△£>£1?与人钻。分别是边长为1与2的正三角

形，AC//DF,四边形BC0E为直角梯形，SLDE//BC,BCJ_8,点G为"BC

的重心，N为A8中点，AG_L平面3CDE,M为线段A尸上靠近点尸的三等分

点.

(1)求证：GM〃平面。KV；

(2)若二面角3C-。的余弦值为立，试求异面直线MN与C。所成角的

余弦值.

【答案】⑴见解析；⑵乎.

【解析】(1)解：在ZXABC中，连AG延长交5C于。，因为点G为八45。的重

心

所以49=2,且。为BC中点，又㈤彳=2而，

A033

所以迫=些=2,所以GM〃竹；....2分

AOAF3

又N为AB中点、,所以NO〃AC,又AC〃/5E,

所以可。〃。/，

所以O,D,F,N四点共面，....4分

又OFu平面DFN,GW平面。下N,

所以GM〃平面OKV..........5分

(2)由题意，AGJ•平面BCOE,所以A0_LBC,平面ABCJ_平面BCDE,且

交线为BC,

因为5C_LCQ,所以CO,平面ABC,

又四边形BCDE为直角梯形，BC=2,DE=1,所以0石〃CD,所以OE_L平面

ABC

因为AC〃。歹，DE//BC,所以平面ABC//平面。£/，

又△£>•与AABC分别是边长为1与2的正三角形，

故以。为原点，0C为x轴，0E为y轴，04为z轴建立空间直角坐标系，

设C£）=根，则C（1,O,O）,D（1,/«,O）,A（0,0,V3）,

因为丽y=2而，所以加工1,上2二m2百42m2为、

,5C=（2,0,0）,BM=

33'333万，亍,

BC=0„/厂\八

设平面MBC的法向量〃=(a,0,c),则＜___,取〃=（0,6,-加），8分

BM=0'7

平面BCD的法向量D=(0,0,1),.........9分

所以二面角M—3C-。的余弦值85。=附=下2==也，

|n|-HV3W4

19.[2018•德州期末]已知四棱锥P—ABCD中，/%_!_平面ABQD,底面ABC。为

菱形，NABC=60。，石是5c中点，M是尸。的中点，尸是PC上的点.

（1）求证：平面A£F1平面尸AD；

（2）当尸是PC中点，且钻=”时，求二面角/一AE-M的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）等.

【解析】（1）连接AC,

•.•底面ABC。为菱形，ZABC=60°,

，△ABC是正三角形，

OE是8c中点,AAELBC,

5LAD//BC,：.AE1AD,......1分

：Q4，平面ABCD,他匚平面48。£）,APA1AE,.....3分

又尸AfW=A,：.AE1^PAD,.....4分

又A£u平面

，平面AEF1平面PAD.....5分

（2）解：由（1）得AE,AD,AP两两垂直,

以AE,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系;

不妨设AB="=2,则AE=5

则A（0,0,0）,C（V3,1,O）,£>（0,2,0）,P（0,0,2）,£（73,0,0）,

（出i、

F^,-,1,M（0,1,1）,..........7分

kJ

.,.AE=（73,0,0）,AF^—,-,l,初=（0,1,1）,

122,

设/n=（x,y,z）是平面AEF的一个法向量，

m•AE=\/3x=0

则1_、八1，取z=l,得根=（0,-2,1）,...........9分

m•AF=尤+—y+z=0

22」

同理可求，平面AME的个法向量，n=（O,-l,l）,..........10分

ml3屈

则cos</n,n>=।一r-j-r

\m\-\n\10

观察可知，二面角的平面角为锐角,

二面角F-AE-M的平面角的余弦值为明.

12分

18.(本小题满分12分)四棱锥尸-58CD中,底面工BCD是边长为2的菱形，侧面EAZ)_L

底面工aCZ),NBCD=60，PA=PD=^2t£是8c中点，点。在侧棱FC上.

(I)求证：ADLPB-

(ID若Q是尸。中点，求二面角/-QQ-c的余弦值；

FQ

cm)是否存在Q,使以〃平面Q微？若存在，求出PC的值;若不存在，说明理由.

Din

18.(I)见解析；(ID—.(Ill)A=-.

73

解析：

(I)取AO中点。，连接OP,OB,50.

因为Q4=7Y),所以PO_LAO.

因为菱形ABC。中，ZBC£>=60,所以AB=BD.

所以80LAZ).

因为BOcPO=O,且BO,POu平面POB,所以AD_L平面POB.

所以ADJ.FE.

（II）由（I）可知I,BO±AD,PO±AD,

因为侧面PAD_L底面ABC。,且平面Q4T>c底面ABCD=AD,所以P。，底面ABCD.

以。为坐标原点，如图建立空间直角坐标系。-肛z.

则。（一1,0,0）,且一1,6,0）,P（0,0,1）,c（—2,6,0）,因为Q为PC中点，所以

Q-1,T，2?

所以历=（0,6,0）,风=，所以平面OEQ的法向量为1=（1,0,0）.

0,4，g],设平面OQC的法向量为元=(x,y,z),

因为双=(—1,6,0),迎=

寸一一x+岛=0

则｛竺勺=°，即(省1

DQn-1—0-——•yH——z=0

2-2

令x=6,则y=l,z=-百，即〃2=(6,1,—6).

V21

所以cos(T石)=

历

由图可知,二面角E-OQ-C为锐角，所以余弦值为当一.

(III)设迎=2前(0W/IW1)

由(H)可知定=卜2,6,-1),丽=(1,0,—1).

设。(x,y,z),则①=(x,y,z-l),

x=-2%

又因为用=2定=(一246/1,—/1),所以｛y=^3A，即。(一2464一/1+1).

z=-A+1

所以在平面DEQ中，D£=(0,V3,0),Dg=(l-2A,V3A,1-A),

所以平面。EQ的.法向量为1=(1—4,0,24-1),

又因为P4//平面。EQ,所以⑸n=0,

即(1一几)+(—1)(2/1—1)=0,解得＞1=(.

2

所以当4=§时，/%//平面。七。.

21.如图，已知多面体EA8C。尸的底面A8CO是边长为2的正方形，£A_L底面

ABCD,FD//EA,且尸O=，£A=1.

2

(1)记线段BC的中点为K,在平面A8C£＞内过点K作一条直线与平面EC户平行，要求

保留作图痕迹，并写出该直线与b所成角的余弦值.但不要求证和解答过程.

(2)求直线笈8与平面ECR所成角的正弦值.

21.(1)取线段CQ的中点，连接K。，直线K。即所求，余弦值为平，如图所示:

(2)以点为原点，AB所在直线为x轴，AO所在的直线为y轴，AE所在的直线为z轴

建立空间直角坐标系，如图，由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),3(2,0,0),C(2,2。)，尸(0,2,1),

;.£1"=(2,2,-2),

扇=(2,0,-2),=(0,2-1),

(I

f12x+2y—2z=0,

设平面ECF的法向量为〃=(羽乂z),得《.取y=l,得平面EC尸的一个

2y-z=0,

-V3

法向量为n=(1,1,2),设直线£3与平面ECR所成的角的正弦值为—.

6

18.如图，在四棱锥P—A3CD中，四边形ABCO为正方形，％，平面ABC。，PA=AB,

M是PC上一点，且8M_LPC.

(1)求证：「。，平面儿"。；

(2)求直线依与平面"8。所成角的正弦值.

18.(1)证明：连接AC,由PAJ_平面ABC。，8。0平面ABC。得BOJ_Q4,

又BDLAC,PAflAC=A,

平面PAC,得PC工BD,

又PC工BM,BDC\BC=B,

：.PC_L平面MB。.

(2)由(1)知尸CL平面MB。，即是直线P3与平面“30所成角，易证

PBLBC,而5MLPC,

不妨设94=1,则8C=1,PC=超,尸6=0,

在Rt\PBC中，由射影定理得PM:MC=PB2:BC2=2:1,

可得「加=2尸。=述，所以sin/P3M=W=逅，

33PB3

故直线PB与平面所成角的正弦值为好.

3

p

法2：取A为原点，直线MB,MD,MP分别为x,y,z轴，建立坐标系4—肛z,不

妨设B4=AB=1,则RO,0,1),3(1,0,0),C(l,l,0),

由(1)知平面得法向量定而而=(1,0,—1),

cos<PB,PC>^驳?圣心=".

V2.V33

故直线PB与平面M3。所成角的正弦值为理.

法3：设A月=Q,AD=b,AP-c,|^|=1^1=|c|=1,

a'b=b-c=c-a=Q,

则尸8=。-c,

由（1）知平面M8D得法向量定=£+石一"，

・・・两定=（力）.0+12）=@+£不一£”工.力.石+同=2,

|PB|=V2,|PC|=V3,

:.cos<PB,PC>=—T=—产=——'.

叵忑3

故直线PB与平面所成角的正弦值为直.

3

19.如图，。是4c的中点，四边形尸是菱形，平面平面ABC,

NEBO=60,ABLBC,AB=BC=4i.

(1)若点M是线段BE的中点，证明：3F_L平面AMC；

(2)求平面AEF与平面8cb所成的锐二面角的余弦值.

19.解：(1)连接MD,FD.

•四边形8。£尸为菱形，且NFB£>=60,

:.ADBF为等边三角形.

•.•“为^^的中点，，。^，^/7.

■：AB1BC,AB=BC=C,又。是AC的中点，

BDA.AC.

•••平面89砂0平面4?。=3。，平面ABC_L平面6。£万，ACu平面ABC,

AC上平面BDEF.

又BFu平面BDEF,：.ACtBF.

由短MLBE,ACrBF,DMC\AC=D,

：.3尸_1_平面AMC.

E

（2）设线段EF的中点为N,连接。N.易证£>N_L平面48c.以。为坐标原点，DB,

DC,ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则

4(0,-1,0),£(-1,0,y-),F(p0,y-),8(1,0,0),C(0,l,0).

.•.荏=(一(,1,弓)，前=(1,0,0),而=(一；,0,弓)，fiC=(-1,1,0).

设平面AE尸，平面8CF的法向量分别为加=（3，x，Z［）,n=（x2,y2,z2）.

173

AE-m=0n-产+凹+彳4=0

由

EF-m=0

—x=0

,21

解得M=—

取4=-2,/.in=(0,V3,—2).

\BC-n^0+r

又由<_._=>S173解得力=V3Z2.

BF-n^O--x,+—z,=0

II2-2'

取Z2=l,；.〃=(G,石』).

m-n11

cos<m,n>=|_||_i=—>=~T==—.

硼V7-V77

...平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为

7

E

ly

/x

18.在如图所示的几何体中，E4J_平面ABC。，四边形ABC。为等腰梯形，ADIIBC,

(1)证明：ABICF；

(2)当二面角B-EF—O的余弦值为巫时，求线段CE的长.

10

18.解：⑴由题知EA_L平面45CD,

氏4(=平面48。。，

BAA.AE

过点A作A/7L3C于"点，在R/AA3H中，NABH=60°,BH,得A3=l,

2

在A4BC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos60°=3

AB2+AC^BC2

：.A3，AC^.ACnE4=A,

A6_L平面ACFE

又,:C尸u平面ABE

:.AB±CF.

(2)以A为坐标原点，4氏4。,4后分别为乂％2轴，建立空间直角坐标系,

设AE=a(a>0),

cin

则8(1,0,0),E(0,0,a),尸(0,半a),D(--，Y，°)>

...砺=(—1,0,a),丽=(一1,*,a),丽=(g,-*,a),而=(g,0,a)

设〃=(x,y,z)为平面3瓦1的一个法向量,

n-BE=-%+az=0

则4_____百，令X=a得〃=(a,0,l),

n-BF=-x4-——y+az=0

2.

同理可求得平面OE厂的一个法向量蔡=(2。,0,-1)，

m-n2a2—1|=回,

|cos<m,72>1=1H

\m\\n\Ja?+1x,4/+110

化简得4〃4—5/+1=0

解得。=1或4='

2

・•・二面角8—石尸一。为锐二面角，经验证舍去，

2

••。=1•

作EWLAC于M点，则”为AC中点，

.万

CF=^FM2+CM2=—.

2

18.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，zBAD=60°＞四边形BDEF是

矩形，G和H分别是CE和CF的中点.

B

（1）求证：平面BDGHII平面AEF；

（2）若平面BDEFJ■平面ABCD,BF=3,求平面CED与平面CEF所成角的余弦值.

【答案】（D见解析.

⑵叵

4

【解析】分析：（1）连接AC交BD于点O，由三角形中位线定理可得。G〃AE'由线面平行的判定定理

可得OG〃平面AEF,同理BD〃平面AEF'从而可得结论；⑶过点。在平面BDEF中作z轴JLBD,，以

OBQC为X,V轴，建立空间直角坐标系'分别利用向量垂直数量积为零列方程组，求出•平面CDE与平

面CDF法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果•

学+科+网…学+科+网...学+科+网…学+科+网…学+科+网学+科+网…学+科+网.”

详解：（1）连接/C交3D于点0，显然0GiZ平面4即-dEu平面

AEF，可得0G"平面4即，同理的平面/即，OGI又BD,0Gu平

面BDGH,可得：平面EZJGK7平面dEF

（2）过点0在平面BD即中作♦轴显然石轴、OB0C两两垂直，如图所示建

立空间直角坐标

系c（o，衣0）尸QA3）PC-W）国

历■-g.，而设平面CDE与平面CD尸法向量分别为

用=（匕，％马）K■（均,加♦）

尸乃:0设心血_皿伙二俨X。,设号通色

1一$—43yl■0