中国石油大学高等数学(2-1)2006-2010期末试题

./Ａ卷2006—2007学年第一学期Ａ卷《本科高等数学<上>》试卷专业班级姓名学号开课系室考试日期页号一二三四五六总分得分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页.2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸.3.答案必须写在该题后的横线上,解题过程写在下方空白处,不得写在草稿纸中,否则答案无效.一、填空题<本题共10小题,每小题2分,共20分.>1.设,则.2.设函数连续,则,.3．极限.4．设,且在连续,则=.5．设方程确定函数,则=.6．设,则=.7．抛物线在其顶点处的曲率为.8．设可导,,则.9．.10．微分方程的通解是.二、单项选择题〔本题共10小题,每小题2分,共20分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.1."数列极限存在"是"数列有界"的〔<A>充分必要条件；<B>充分但非必要条件；<C>必要但非充分条件；<D>既非充分条件,也非必要条件.2．极限〔<A>2;<B>3;<C>;<D>5;3．设常数,则函数在内零点的个数为〔<A>3个;<B>2个;<C>1个;<D>0个.4．设,则是的<>.<A>连续点;<B>可去间断点;<C>跳跃间断点;<D>无穷间断点.5．设函数二阶可导,且,令,当时,则<>.<A><B><C><D>6．若,在内,,则在内<>.<A><B><C><D>7．设在处二阶可导,且,则<>.<A>是的极大值点;<B>是的极小值点;<C>是曲线的拐点;<D>以上都不是.8．下列等式中正确的结果是<>.<A><B><C><D>9．下列广义积分收敛的是<>.<A><B><C><D>10．设在的某个领域内有定义,则在处可导的一个充分条件是<>.<A><B><C><D>三、计算题：〔本题共3小题,每小题5分,共15分.1.求不定积分2.计算定积分3．求微分方程的通解.四．解答题：〔本题共6小题,共37分.1．〔本题5分求摆线在处的切线的方程.2.〔本题6分求曲线的渐进线.3．〔本题6分求由曲线及直线,所围成图形面积.4．〔本题6分证明：对任意实数,恒有5.〔本题6分设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作多少功?6.〔本题8分设对任意实数五．〔本题8分设函数在闭区间[0,2]上连续,在开区间〔0,2内可导,且满足条件,证明：．Ａ卷2007—2008学年第一学期《高等数学》〔上期末试卷专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期2008年1月7日页码一二三四五六总分得分阅卷人说明：1本试卷正文共页.2封面及题目所在页背面及附页为草稿纸.3答案必须写在题后的横线上,计算题解题过程写在题下空白处,写在草稿纸上无效.一、填空题<本题共6小题,每小题3分,共18分>.1.=.2.设函数,其中在内可导,则=.3.设,则=____________.4.=__________.5.=__________.6.微分方程的通解是.二、选择题<本题共4小题,每小题3分,共12分>.1．设为可导的奇函数,且,则〔.<A>；<B>；<C>；<D>.2.设函数在点的某邻域有定义,则在点处可导的充要条件是〔.〔A； 〔B；〔C；〔D函数在点处连续.3.下图中三条曲线给出了三个函数的图形,一条是汽车的位移函数,一条是汽车的速度函数,一条是汽车的加速度函数,则〔.abctyO〔A曲线是的图形,曲线abctyO的图形,曲线是的图形；〔B曲线是的图形,曲线是的图形,曲线是的图形；〔C曲线是的图形,曲线是的图形,曲线是的图形；〔D曲线是的图形,曲线是的图形,曲线是的图形.4.设是内的可导函数,、是内任意两点,则<>.〔A,其中为内任意一点；〔B至少存在一点,使；〔C恰有一点,使;〔D至少存在一点,使.三、计算题〔本题共4小题,每小题6分,共24分.2.求极限.求定积分.求广义积分.四、解答题〔本题共4小题,每小题6分,共24分.1.设函数是由方程所确定的函数,求.2．设函数,求的原函数.3．求微分方程的通解．4．判断曲线的凸性与拐点.五、应用题〔本题共3小题,每小题6分,共18分.1.曲线,及轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转而成的立体的体积.2.求曲线位于第一象限部分的一条切线,使该切线与曲线以及两坐标轴所围图形的面积最小.3．有一半径为的半圆形薄板,垂直地沉入水中,直径在上,且水平置于距水面的地方,求薄板一侧所受的水压力.六、证明题〔本题4分.证明方程在内必有唯一实根,并求.2008—2009学年第一学期《高等数学》期末考试试卷<理工科类>专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期2009年1月5日页码一二三四五六总分得分阅卷人说明：1本试卷正文共6页.2封面及题目所在页背面及附页为草稿纸.3答案必须写在题后的横线上,计算题解题过程写在题下空白处,写在草稿纸上无效.一、填空题<本题共5小题,每小题4分,共20分>.〔1=________________.〔2曲线上与直线平行的切线方程为_________________.〔3已知,且,则_____________.〔4曲线的斜渐近线方程为______________.〔5微分方程的通解为___________________.二、选择题<本题共5小题,每小题4分,共20分>.〔1下列积分结果正确的是〔<A><B><C><D>〔2函数在内有定义,其导数的图形如图1-1所示,则〔.<A>都是极值点.<B>都是拐点.<C>是极值点.,是拐点.<D>是拐点,是极值点.〔3函数满足的一个微分方程是〔.〔A〔B〔C〔D〔4设在处可导,则为〔.<A>.<B>.<C>0.<D>不存在.〔5下列等式中正确的结果是〔.<A><B><C><D>三、计算题〔本题共4小题,每小题6分,共24分.1．求极限.2.方程确定为的函数,求与.3.计算不定积分.4.计算定积分.四、解答题〔本题共4小题,共29分.1．〔本题6分解微分方程.2．〔本题7分一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为,水的密度为,计算桶的一端面上所受的压力．3.〔本题8分设在上有连续的导数,,且,试求.4.〔本题8分过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形D.求D的面积A;求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.五、证明题〔本题共1小题,共7分.1.证明对于任意的实数,.答案一、填空题<本题共5小题,每小题4分,共20分>.〔1=_____________.〔2曲线上与直线平行的切线方程为_________.〔3已知,且,则___________.〔4曲线的斜渐近线方程为_________〔5微分方程的通解为_________二、选择题<本题共5小题,每小题4分,共20分>.〔1下列积分结果正确的是〔D<A><B><C><D>〔2函数在内有定义,其导数的图形如图1-1所示,则〔D.<A>都是极值点.<B>都是拐点.<C>是极值点.,是拐点.<D>是拐点,是极值点.图1-1〔3函数满足的一个微分方程是〔D.〔A〔B〔C〔D〔4设在处可导,则为〔A.<A>.<B>.<C>0.<D>不存在.〔5下列等式中正确的结果是〔A.<A><B><C><D>三、计算题〔本题共4小题,每小题6分,共24分.1．求极限.解=1分=2分=1分=2分2.方程确定为的函数,求与.解〔3分〔6分计算不定积分.4.计算定积分.解〔3分〔6分〔或令四、解答题〔本题共4小题,共29分.1．〔本题6分解微分方程.2．〔本题7分一个横放着的圆柱形水桶〔如图4-1,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图xyxy3.〔本题8分设在上有连续的导数,,且,试求.4.〔本题8分过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形D.求D的面积A;求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.解：<1>设切点的横坐标为,则曲线在点处的切线方程是1分由该切线过原点知,从而所以该切线的方程为1分平面图形D的面积2分〔2切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为2分曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为,1分因此所求旋转体的体积为1分五、证明题〔本题共1小题,共7分.1.证明对于任意的实数,.解法一：解法二：设则1分因为——————1分当时,单调增加,2分当时,单调增加,2分所以对于任意的实数,即.1分解法三：由微分中值定理得,,其中位于0到x之间.2分当时,,.2分当时,,.2分所以对于任意的实数,.1分A卷2009—2010学年第一学期《高等数学〔2-1》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2010年1月11日页号一二三四五六总分得分阅卷人注意事项1．请在试卷正面答题,反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题,满分100分；试卷本请勿撕开,否则作废.一．填空题〔共5小题,每小题4分,共计20分1．.2．.3．设函数由方程确定,则.4.设可导,且,,则.5．微分方程的通解为.二．选择题〔共4小题,每小题4分,共计16分1．设常数,则函数在内零点的个数为〔.<A>3个;<B>2个;<C>1个;<D>0个.2．微分方程的特解形式为〔.〔A;〔B;〔C;〔D.3．下列结论不一定成立的是〔.〔A若,则必有;〔B若在上可积,则;〔C若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;〔D若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4.设,则是的〔.<A>连续点;<B>可去间断点;<C>跳跃间断点;<D>无穷间断点.三．计算题〔共5小题,每小题6分,共计30分1．计算定积分.2．计算不定积分.3．求摆线在处的切线的方程.4.设,求.5．设,求.四．应用题〔共3小题,每小题9分,共计27分1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.2．设平面图形由与所确定,试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.3.设在内的驻点为问为何值时最小?并求最小值.五．证明题〔7分设函数在上连续,在内可导且试证明至少存在一点,使得答案一．填空题〔每小题4分,5题共20分：1．.2．.3．设函数由方程确定,则.4.设可导,且,,则.5．微分方程的通解为.二．选择题〔每小题4分,4题共16分：1．设常数,则函数在内零点的个数为〔B.<A>3个;<B>2个;<C>1个;<D>0个.2．微分方程的特解形式为〔C〔A；〔B；〔C；〔D3．下列结论不一定成立的是〔A若,则必有;若在上可积,则;若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4.设,则是的〔C.<A>连续点;<B>可去间断点;<C>跳跃间断点;<D>无穷间断点.三．计算题〔每小题6分,5题共30分：1．计算定积分.解：2222．计算不定积分.解：333．求摆线在处的切线的方程.解：切点为22切线方程为即.24.设,则.5．设,求.解：22=2故=四．应用题〔每小题9分,3题共27分1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.解：设切点为,则过原点的切线方程为,由于点在切线上,带入切线方程,解得切点为.3过原点和点的切线方程为3面积=3或2．设平面图形由与所确定,试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：63法二：V=543.设在内的驻点为问为何值时最小?并求最小值.解:332故1五．证明题〔7分设函数在上连续,在内可导且试证明至少存在一点,使得证明：设,在上连续在可导,因,有,2又由,知在上用零点定理,根据,2可知在内至少存在一点,使得,由ROLLE中值定理得至少存在一点使得即,证毕.3A卷2010—2011学年第一学期《高等数学〔2-1》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2011年1月4日页号一二三四五六总分本页满分361212121216本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题,反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题,满分100分；试卷本请勿撕开,否则作废；4.本试卷正文共6页.一．填空题〔共5小题,每小题4分,共计20分1．已知则1.2．定积分.3．函数的图形的拐点是.4.设则.5．曲线的渐近线方程为.二．选择题〔共4小题,每小题4分,共计16分1．设为不恒等于零的奇函数,且存在,则函数<D>.A.在处左极限不存在;B.在处右极限不存在;C.有跳跃间断点;D.有可去间断点.2．设当时,是的<B>.A.等价无穷小;B.同阶但非等价无穷小;C.高阶无穷小;D.低阶无穷小.3.下列广义积分发散的是<A>.A.;B.;C.;D..4.方程的待定特解的形