现代控制理论-3

3线性控制系统的能控性和能观测性

3.1能控性和能观测性的概念3.2连续时间线性定常系统的能控性3.3连续时间线性定常系统的能观测性3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性3.5连续时间线性时变系统的能控性和能观测性3.6线性系统能控性与能观测性的对偶关系3.7能控标准形和能观测性标准形3.8传递函数中零极点对消与状态能控性和能观测性的关系3.9线性系统结构按能控性和能观测性的分解1编辑ppt3.1能控性和能观测性的概念能控性系统的当前时刻及其状态，研究是否存在一个容许控制，使得系统在该控制的作用下在有限时间内到达希望的特定状态。能观测性系统及其在某时间段上的输出，研究可否依据这一时间段上的输出确定系统这一时间段上的状态。能控性和能观测性是现代控制理论中两个根底性概念，由卡尔曼〔R.E.Kalman〕于1960年首次提出。u(t)能否引起x(t)的变化？

y(t)能否反映x(t)的变化？

2编辑ppt3.1能控性和能观测性的概念一个RC网络。图中RC网络的输入端是电流源i，输出端开路。取电容C1和C2上的电压v1和v2为该系统的两个状态变量。v1是能控的v2是不能控的V2是能观测的v1是不能观测的3编辑ppt3.1能控性和能观测性的概念在最优控制问题中，其任务是寻求输入u(t)使状态轨迹达到最优，那么要求状态能控。但状态x(t)的值通常是难以直接测量的，往往需要从测得的输出y(t)中估计出来。4编辑ppt3.1能控性和能观测性的概念例分析如下系统的能控性和能观测性解将其表示为标量方程组的形式说明系统的状态是不能控和不能观测的。输入u不能控制状态变量x1，故x1是不能控的输出y不能反映状态变量x2，故x2是不能观测的5编辑ppt3.1能控性和能观测性的概念例分析如下系统的能控性和能观测性解将其表示为标量方程组的形式实际上，系统的状态既不是完全能控的，也不是完全能观测的。

所有状态变量都是能控和能观测的？6编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内使得系统的某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态x(tf)，那么称初始状态x(t0)是能控的。假设系统的所有状态都是能控的，那么称此系统是状态完全能控的，或简称是能控的。状态平面中点P能在u(t)作用下被驱动到任一指定状态P1,P2,∙∙∙,Pn，那么点P是能控的状态。假设“能控状态〞充满整个状态空间,那么该系统是状态完全能控的。由此可看出，系统中某一状态能控和系统状态完全能控在含义上是不同的。3.2.1状态能控性定义定义对于连续时间线性定常系统7编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性能控性和能达性问题

(1)能控性定义：对于给定连续时间线性定常系统假设存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，将系统从任一初始状态x(t0)转移到原点，即x(tf)＝0，那么称系统是状态完全能控的。(2)能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统假设存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，将状态x(t)从原点转移到任一指定的终端〔目标〕状态x(tf)，那么称系统是能达的。对线性定常系统，能控性和能达性是完全等价的。

分析状态能控性问题时Σ(A,B)

简记为8编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性3.2.2状态能控性的判别准那么定理3.1对于n阶连续时间线性定常系统Σ(A,B)，其状态完全能控的充分条件时由A，B阵所构成的能控性判别矩阵

满秩，即证明(1)能控性判别准那么一因为根据能控性定义，在终态时刻t1，有x(t1)=0所以9编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性对于任意给定的x(0)，能够唯一解出bi〔或u〕的条件是：满秩，即10编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性例试判别如下连续时间线性定常系统的能控性。解构造能控性判别矩阵这是一个奇异阵，即所以该系统不是状态完全能控的，即系统状态不能控。解系统的能控性判别矩阵为所以该系统是状态完全能控的。例试判别如下连续时间线性定常系统的能控性。因为，所以11编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性解该系统的能控性判别矩阵为因为rank[Qc]

=1<n，所以该系统不是状态完全能控的。该系统是由两个结构上完全相同，且又不是相互独立的一阶系统组成的。显然，只有在其初始状态x1(t0)和x2(t0)相同的条件下，才存在某一u(t)，将x1(t0)和x2(t0)在有限时间内转移到状态空间原点。否那么是不可能的。例试判别连续时间线性定常系统的状态能控性。12编辑ppt而|Qc|≠0表示矩阵Qc=[b

Ab…An-1b]有且仅有n个线性无关的列，也就是Qc的秩为n，即必须是非奇异矩阵，换句话说，矩阵Qc的逆存在，即3.2连续时间线性定常系统的能控性推论对于单输入情况，假设可求得到相应的控制作用u，使状态变量从任意x0转移到原点，那么矩阵因此，可以把|Qc|≠0作为单输入情况下的能控性判据。对于多输入情况，Qc不是方阵，不能用此结论。但有因此，可以把|QcQcT|≠0作为多输入系统的能控性判据。13编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性例试判别三阶双输入系统的状态能控性。观察Qc第一行和第三行完全相同，显见所以该系统是不能控的。解首先构造能控性判别矩阵容易得到14编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性线性非奇异变换不改变系统的能控性通过线性变换把矩阵A化成约当标准形，然后根据这一标准形来判别系统的能控性。证明系统Σ(A,B)的能控性判断阵为系统的能控性判断阵为因是P-1满秩的，所以的秩与Qc的秩相同。(2)能控性判别准那么二15编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性定理3.2假设系统Σ(A,B)具有互异的特征值，那么其状态完全能控的充分必要条件是经线性变换后的对角标准形阵中不包含元素全为零的行。定理3.3假设系统Σ(A,B)具有互异的重特征值，那么系统状态完全能控的充分必要条件，是经线性变换的约当标准形与每个约当块Ji对应的i的最后一行的元素不全为零。其中16编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性例试判别以下连续时间线性定常系统的能控性。解

A阵具有互不相同的特征值。系统(I)和(III)是能控的。

其特征值相同，尽管b阵的元素不为零，但系统状态不能控。注意：特征值互不相同条件。某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线标准形。因为rank[Qc]

=1<n17编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性例试判断以下连续时间线性定常系统的能控性。解系统(I)和(III)是状态完全能控的，而系统(II)和(IV)因对应约当小块最后一行存在元素为零的行，故状态不完全能控。注意：特征值互不相同条件第一行与第三行成比例18编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性定理3.3〔附〕假设系统Σ(A,B)具有相同的重特征值，那么系统状态完全能控的充分必要条件，是经线性变换的约当标准形相同特征值下的约当块Ji对应的i的最后一行线性无关。其中例试判断以下连续时间线性定常系统的能控性。J1J2B2B1B1和B2的最后一行成比例，不是线性无关的，所以不能控。19编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性具有相同特征值的线性变换举例特征值为l1=2时任选l2=1时任选任选20编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性假设存在一分段连续的输入信号u(t)，在有限时间[t0,tf]内，能把任一给定的初始输出y(t0)转移到任意指定的最终输出y(tf)，那么称系统输出是完全能控的。3.2.3输出能控性定义及判别准那么输出的能控性是指系统的输入能否控制系统的输出定义对于n阶连续时间线性定常系统定理3.4对于n阶连续时间线性定常系统输出完全能控的充要条件，是21编辑ppt3.2连续时间线性定常系统的能控性例

试分析系统的输出能控性和状态能控性。解故输出能控性判别矩阵为说明系统是输出完全能控的。再来分析系统的状态能控性说明系统状态是不完全能控的。状态能控性与输出能控性无关22编辑ppt3.3 连续时间线性定常系统的能观测性问题：能否通过对输出的有限时间的测量识别出系统的状态

定义设连续时间线性定常系统的状态方程和输出方程是如果对任意给定的输入u，存在一有限观测时间tf>t0，使得根据[t0,tf]期间的输出y(t)能唯一地确定系统的初态x(t0)，那么称状态x(t0)是能观测的。假设系统的每一个状态都是能观测的，那么称系统是状态完全能观测的，或简称能观测的。简记为

Σ(A,C)②如果m＝n，且C非奇异，则：，显然这不需要观测时间。但是一般m<n。为了能唯一求出n个状态变量，需要多个时刻输出的测量值：y(t0)，y(t1)，∙∙∙，y(tf)。因此需要定义观测时间tf>t0。简要说明①因为能观测性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u＝0。3.3.1线性定常系统能观测性的定义23编辑ppt3.3 连续时间线性定常系统的能观测性定理3.5n阶连续时间线性定常系统Σ(A,C)状态完全能观测的充分必要条件是其能观测判别矩阵3.3.2能观测性判别准那么同样有秩判据和约当标准形判据满秩，即rank[Qo]

=n或(1)能观测性判别准那么一24编辑ppt3.3 连续时间线性定常系统的能观测性证明对于任意给定的x(0)，有由上式，根据得到的y(t)，可以唯一地确定x(0)的条件是满秩，即rank[Qo]

=n25编辑ppt3.3 连续时间线性定常系统的能观测性例试判别连续时间线性定常系统的能观测性。解构造能观测性判别矩阵因为rank[Qo]＝2=n，所以系统是能观测的。26编辑ppt3.3 连续时间线性定常系统的能观测性例试判别系统的能观测性。解构成的能观测性判别矩阵 rank[Qo]=1<n是奇异阵，所以系统状态是不能观测的。从输出方程看，y中既含有x1又含有x2，似乎能通过对y的观测获得x1和x2的信息，但是系统状态是不能观测的。从该系统的状态变量图看，这是一个由两个结构完全相同的一阶系统并联起来的系统，当其初始状态x10=–x20，由它们所激励的系统输出为显然，对于这种情况，系统的初始状态x10和x20是不能观测的。

27编辑ppt3.3 连续时间线性定常系统的能观测性推论对单输出系统，状态能观测的充分必要条件为Qo是非奇异矩阵。换句话说|Qo|≠0是系统能观测的充分必要条件。|Qo|≠0表示了矩阵Qo有且仅有n个行向量是线性独立的，即rank[Qo]=n。对于多输出系统，Qo是nm×n阵不是方阵，但有如下关系：因此，可把作为多输出系统的能观测性判据。rank[Qo]=rank[QToQo]|QToQo|≠028编辑ppt3.3 连续时间线性定常系统的能观测性例试判断以下连续时间线性定常系统的能观测性。显然，系统(I)是能观测的，系统(II)是不能观测的。

(2)能观测判别准那么二定理3.6若n阶连续时间线性定常系统Σ(A,C)具有互异的特征值，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准形阵中不含有元素全为零的列。29编辑ppt3.3 连续时间线性定常系统的能观测性其中与每个约当块Ji对应的i的首列的元素不全为零。例试判断下面两个连续时间线性定常系统的状态能观测性。解根据上述定理，(I)是能观测的，(II)是不能观测的。定理3.7若n阶连续时间线性定常系统Σ(A,C)具有互异的重特征值，则系统能观测的充分必要条件是经线性非奇异变换后的约当标准型30编辑ppt定理3.7〔附〕假设系统Σ(A,B)具有相同的重特征值，那么系统状态完全能观测的充要条件是经线性变换的约当标准形例试判断以下连续时间线性定常系统的能控性。J1J2C2C1C1和C2的首列成比例，不是线性无关的，所以不能观测。3.3 连续时间线性定常系统的能观测性相同特征值下的约当块Ji对应的的首列线性无关。31编辑ppt3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性3.4.1能控性定义与判据若存在控制序列{u(0),u(1),∙∙∙,u(l-1)}（l≤n）能将某个初始状态x(0)在第l步上到达零状态，即x(l)=0，则称初始状态x(0)是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是状态能控的。(1)能控性定义定义对于n阶离散时间线性定常系统例设离散时间线性定常系统的状态方程为试分析能否找到控制作用u(0),u(1),u(2),将初始状态转移到零状态。32编辑ppt3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性解利用递推方法为检验系统能否在第一步使x(0)转移到零，对上式令x(1)=0，倘假设能够解出u(0)，那么表示在第一步就可以把给定初始状态转移到零，且控制作用即为u(0)。为此令x(1)=0，那么有计算说明对该系统假设取u(0)=-3，那么能将x0=[211]T在第一步转移到零。33编辑ppt3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性例假设上例系统初始状态为解由递推公式，有显然，对于上式假设令x(1)=0，解不出u(0)，这说明对于本例初始状态是不能在第一步转移到零，再递推一步。能否找到控制序列，将其转移到零状态。34编辑ppt3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性假设令x(2)=0，仍无法解出u(0)、u(1)，再递推一步。假设令x(3)=0，上式是一个含有三个未知量的线性齐次方程，有唯一解：35编辑ppt(2)能控性判别准那么3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵满秩。即解构造能控性判别矩阵显然rank[Qc]＝1<n，所以系统是不能控的。例试判别系统能控性。离散系统状态方程的G、h为定理3.8对于n阶离散时间线性定常系统36编辑ppt从前三列可以看出rank[Qc]=3所以系统是能控的。3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性解 首先计算 于是需要指出，多输入系统能控判别矩阵是一个n×nr阶矩阵。有时并不需要对整个Qc阵检验其秩，只需要从Qc阵中构成一个n×n阵检验其秩，就可用于判断状态能控性。例试判别系统状态的能控性。设离散系统G、H为37编辑ppt假设能够根据在有限个采样瞬间上测量到的y(k)，即y(0)，y(1)，…，y(l–1)，可以唯一地确定出系统的任意初始状态x(0)=x0，那么称系统是状态完全能观测的，或简称是能观测的。定义对于n阶离散时间线性定常系统3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性状态完全能观测的充分必要条件是能观测性判别矩阵的秩为n，即rank[Qo]=n定理3.9对于n阶离散时间线性定常系统3.4.2能观测性定义与判据(1)能观测性定义(2)能观测性判别准那么38编辑ppt3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性例设离散时间线性定常系统的G、C为解该系统能观测性判别矩阵为所以rank[Qo]=3，故该系统状态是能观测的。试判别其状态能观测性。取前三行39编辑ppt3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性显然，该连续时间系统是能控且能观测的。3.4.3采样周期对离散时间线性系统能控性和能观测性的影响一个连续时间线性系统在其离散化后其能控性和能观测性是否发生改变？例设连续时间系统的状态方程和输出方程为解其能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵分别为试确定使离散时间线性系统能控、能观测的采样周期。40编辑ppt3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性取采样周期为T，将上述系统离散化，因于是离散时间线性定常系统的能控性判别矩阵41编辑ppt3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性若则有则离散化后的系统ΣT(G,H,C)也必不能控(不能观测)①若系统Σ(A,B,C)不能控(不能观测)②则离散化后的系统ΣT(G,H,C)不一定能控(能观测)，与T有关若系统Σ(A,B,C)能控(能观测)说明假设欲使离散时间系统是能控及能观测的，采样周期应满足42编辑ppt3.5连续时间线性时变系统的能控性与能观测性3.5.1能控性定义与判别准那么对于初始时刻t0的某给定初始状态x(t0)=x0，存在另一个有限时刻tf，tf>t0和定义在时间区间[t0,tf]上容许控制u，使得系统在这个控制作用下，从x0出发的轨线在tf时刻到达零状态即x(tf)=0，那么称x0在t0时刻是系统的一个能控状态。如果状态空间上的所有状态在t0时刻都是能控的，那么称系统在t0时刻是状态完全能控的。(1)能控性定义定义假设连续时间线性时变系统可以看出，时变系统的能控性定义和定常系统的能控性定义根本相同，但考虑到A(t)、B(t)是时变矩阵，其状态向量的转移与起始时刻t0的选取有关，所以时变系统的能控性与所选择的初始时刻t0有关。43编辑ppt3.5连续时间线性时变系统的能控性与能观测性则系统在时刻完全能控的充分条件为，存在一个有限时刻，使定理3.10对n阶连续时间线性时变系统设A(t)和B(t)对t为(n-1)阶连续可微，定义如下一组矩阵：(2)能控性判别准那么44编辑ppt对于初始时刻t0，存在另一时刻tf>t0,使得根据时间区间[t0,tf]上输出y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)=x0，那么称x0为在t0时刻能观测状态。假设系统在t0时刻的所有状态都是能观测的，那么称系统是状态完全能观测的，简称系统是能观测的。3.5连续时间线性时变系统的能控性与能观测性那么称x0为t0时刻不能观测的状态，系统在t0时刻是不能观测的。(1)能观测性定义定义对于连续时间线性时变系统3.5.2能观测性定义与判据反之，如果在t0时刻的初始状态x(t0)=x0，所引起的系统输出y(t)恒等于零，即45编辑ppt3.5连续时间线性时变系统的能控性与能观测性则系统在时刻完全能观测的充分条件为，存在一个有限时刻，使定理3.11对于n阶连续时间线性时变系统设A(t)和C(t)对t(n-1)阶连续可微，定义如下一组矩阵(2)能观测性判别准那么46编辑ppt3.6线性系统能控性与能观测性的对偶关系一个系统的能观测性等价于其对偶系统的能控性

一个系统的能控性

等价于其对偶系统的能观测性定义对于定常系统Σ1和Σ2其状态空间描述分别为那么称系统Σ1和Σ2是互为对偶的。其中，x与x*为n维状态向量，u为r维，y为m维，u*为m维，y*为r维。假设系统Σ1和Σ2满足以下关系3.6.1对偶系统47编辑ppt系统Σ1的传递函数阵为m×r矩阵：3.6线性系统能控性与能观测性的对偶关系对偶系统的示意图对偶系统的特征方程相同：系统Σ2的传递函数阵为：对偶系统的传递函数阵互为转置48编辑ppt定理3.12设Σ1(A,B,C)和Σ2(A*,B*,C*)是互为对偶的两个系统，那么Σ1的能控性等价于Σ2的能观测性；Σ1的能观测性等价于Σ2的能控性。3.6线性系统能控性与能观测性的对偶关系而系统Σ2的能观测性判别矩阵为是完全相同的。同理Σ1的能观测性判别矩阵为而系统Σ2的能控性判别矩阵为也是完全相同的。3.6.2对偶定理证明系统Σ1的能控性判别矩阵为49编辑ppt3.7能控标准形和能观测标准形假设n阶连续时间线性定常系统Σ(A,B)是完全能控的，那么对多输入多输出系统，把(A,B)和(A,C)化为标准形，可以有多种不同的方法。对于单输入单输出系统，其能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵只有唯一的一组线性无关的向量。因此，当(A,B)表为能控标准形和(A,C)表为能观测标准形时，其表示方法是唯一的。所以仅讨论单输入单输出系统。

这说明，能控性矩阵中有且仅有n个列向量是线性无关的。如果取这些线性无关的列向量以某种线性组合，便可导出状态空间描述的能控标准形。能观测问题同样。3.7.1问题的提法50编辑ppt3.7能控标准形和能观测标准形3.7.2能控标准形定理3.13假设连续时间线性定常单输入单输出系统Σ(A,b,c)是状态完全能控的，那么使系统为能控标准形的变换阵为其中，ai为特征多项式的系数。通过线性变换得能控标准形Σ(Ac,bc,cc)：51编辑ppt3.7能控标准形和能观测标准形利用和，可得据凯莱-哈密顿定理有据此，可导出证明〔1〕推证Ac52编辑ppt3.7能控标准形和能观测标准形于是，有将上式左乘，就可证得Ac。53编辑ppt3.7能控标准形和能观测标准形(2)推证bc由，有，即将上式左乘，就可证得bc。(3)推证cc由，有展开即可。54编辑ppt3.7能控标准形和能观测标准形由能控标准形可以求得系统的传递函数55编辑ppt3.7能控标准形和能观测标准形例试将如下状态空间描述变换为能控标准形。解先判别其能控性rank[Qc]=3，所以系统是能控的。再计算系统的特征多项式则a1=0，a2=–9，a3=256编辑ppt3.7能控标准形和能观测标准形变换为能观测标准形(Ao,bo,co)：定理3.14假设n阶线性定常单输入单输出系统Σ(A,b,c)是能观测的，那么存在线性变换其中是特征多项式的各项系数。3.7.3能观测标准形57编辑ppt3.7能控标准形和能观测标准形那么a1=0，a2=–9，a3=2解首先构造能观测性判别矩阵因rank[Qo]=3，所以系统是能观测的。系统的特征式为例试将如下状态空间描述变换为能观测标准形。

=58编辑ppt显然，在这种状态变量选择下系统是不能控但是能观测的。从传递函数会发现该系统的传递函数具有零极点对消现象。3.8传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系例3-26试判别系统的状态能控性和能观测性。解定义

于是系统能控性判别矩阵Qc和能观测性判别矩阵Qo分别为以下只讨论单输入-单输出系统的传递函数中零极点对消与状态能控和能观测之间的关系。59编辑ppt证明假定系统是具有相异特征值的n阶单输入-单输出系统，其状态空间描述为Σ(A,b,c)，利用线性变换可将矩阵A对角化，得到等价系统为3.8传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系

定理3.15假设线性定常单输入-单输出系统传递函数中有零极点对消，那么系统将是状态不能控或状态不能观测的，其结果与状态变量选择有关，反之，假设系统中没有零极点对消，那么该系统是完全能控且完全能观测的。由于是对角阵，第i个状态方程是两边取Laplace变换，得

60编辑ppt3.8传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系将代入，则对特征值相异的n阶系统，假定传递函数形式是展成部分分式si为Y(s)/U(s)在s=li处留数状态能控要求≠0，能观测要求≠0

一个即能控又能观测的系统要求si≠0

61编辑ppt3.8传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系解组合系统的传递函数G(s)为由G(s)可以看出，当b=l2时，系统的传递函数发生零极点对消现象，系统不是即能控又能观测的。

为了分析这个不确定性，建立该系统的状态变量图：

例设有一个由前后两个子系统串联组成的组合系统：G1(s)G2(s)试判断串联系统的能控性和能观测性。62编辑ppt3.8传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系当b=l2时〔即G(s)出现零极点对消〕那么该串联系统是不能控但能观测的。系统的状态空间描述为其能控性和能观测性判别矩阵为63编辑ppt3.8传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系例如果将上例系统中两个子系统的位置互换一下，如图。试判断该系统的能控性和能观测性。显见，当b=l2时rank[Qo]=1<2，系统是能控但不能观测的。其能控性和能观测性判别矩阵为解系统的状态空间描述为64编辑ppt3.8传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系从上面讨论可知，由传递函数讨论系统的能控性和能观测性时，假设有零极点对消，系统是能控不能观测，还是能观测而不能控，与系统的结构有关。假设被消去的零点与u发生联系那么系统为不能控的；假设被消去的零点与输出y发生联系那么系统是不能观测的。进一步，假设该零点既与输入u发生联系，又与输出y发生联系，那么该系统是既不能控也不能观测的。状态变量图

串联系统传递函数考虑系统传递函数结构图

Gr(s)

Gp(s)

系统稳定65编辑ppt3.8传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系因此（不能控），（能观测）该系统的能控性和能观测性判别矩阵为建立状态空间描述说明系统有一极点在右半平面，故该系统也是不稳定的。考察该系统的特征多项式66编辑ppt3.9线性系统结构按能控性能观测性的分解能控且能观测子系统不完全能控和不完全能观测系统线性变换能控但不能观测子系统不能控但能观测子系统不能控且不能观测子系统则存在线性变换，可将Σ(A,B,C)变换为定理3.16假设n阶连续时间线性定常系统Σ(A,B,C)是状态不完全能控的，其能控性判别矩阵的秩为3.9.1系统按能控性分解67编辑ppt3.9线性系统结构按能控性能观测性的分解其中nc维子系统是能控的，而(n-nc)维子系统是不能控的。

非奇异变换阵