现代控制理论-于长官

第二章：状态方程和输出方程

§2.1系统状态空间描述的概念例:RLC网络系统的状态空间模型:线性连续定常系统的状态空间模型为其中为输入向量;为输出向量;为状态向量.为恰当维数的实矩阵.编辑ppt

分别称为状态矩阵,输入矩阵和输出矩阵.系统状态空间描述的特点:系统的状态变量的个数=系统中包含的独立储能元件的个数=等于系统的阶数(该阶数与经典控制论中概念一致)对于给定的系统,状态变量的选择不是唯一的,但各种选择的状态变量的个数都是相同的.编辑ppt3)一般来说,状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量,也可能是纯数学的量,没物理上的意义.建立系统状态空间模型的步骤;1)选择适宜的状态变量.2)根据系统物理机理或其他方面的机理列写微分方程,化成一阶微分方程组.3)写成矩阵形式,得到状态空间模型.编辑ppt§2.2系统的一般时域模型化为状态空间模型同一系统的各种模型间可以互相转化讨论系统的常微分方程模型化为系统的状态空间模型分以下两种情况:1)常微分方程模型中不含输入函数的导数.2)常微分方程模型中含输入函数的导数.编辑ppt选择状态变量:其中参数由下式决定编辑ppt即:编辑ppt§2.3系统的频域描述化为状态空间描述控制系统的传递函数为按其极点情况,用局局部式法可得与之相应的状态空间模型.一,控制系统传递函数的极点两两相异时.编辑ppt其中是系统两两相异的极点.按下式计算二,控制系统传递函数的极点为重根.1)传递函数的极点为一个重根.其中是系统的重极点.按下式计算编辑ppt2)传递函数的极点为个重根.此时系统的状态空间模型由个1)中的系统并联而成.三,传递函数的极点既有单极点,又有重极点.此时系统的状态空间模型由所有的单极点系统和所有的重极点系统并联而成.系统的状态矩阵为约当标准型.编辑ppt§2.4据状态变量图列写状态空间描述一,状态变量图的概念所谓状态变量图,是由积分器,放大器和加法器构成的控制系统图形表示.状态变量图是系统相应方块图拉氏反变换的图形.在选择系统的状态变量时,一种方法是选择系统中的独立储能元件的储能变量作为状态变量,表达在编辑ppt状态变量图中,就是选择积分器的输出作为状态变量,进而导出系统的状态空间模型.列写状态空间描述的步骤:1,对传递函数进行处理.2,画系统对应的方块图.3,画系统的状态变量图.4,依据状态变量图,列写出系统状态方程与输出方程.编辑ppt二,一阶系统的状态空间描述三,阶系统的状态空间描述设阶系统的传递函数为编辑ppt令或可得根据上式,可得系统的方块图,继而得系统的变量图.编辑ppt§2.5据系统方块图导出状态空间描述一,方块图方法的思路当系统的描述以方块图形式给出时,常常无须求出系统的总传递函数和状态变量图,可以直接由方块图导出其相应的状态空间模型.这主要是基于以下的事实:

事实:系统中二阶以上的环节常常可以化为由惯性环节和积分环节组成.编辑ppt

因此,我们可以以这些惯性环节和积分环节的输出作为状态变量的拉氏变换来导出状态空间模型.基于方块图导出状态空间模型要比基于状态变量图导出状态空间模型简单.二,方块图导出状态空间模型的步骤1)将系统方块图中的每一环节都分解为积分环节和惯性环节的组合.

编辑ppt2)以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量的拉氏变换.3)列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变换关系式.4)对所有3)中的拉氏变换关系式求拉氏反变换得到一阶微分方程组.5)把4)中的一阶微分方程组化成向量矩阵表示的状态方程与积分方程.编辑ppt§2.6据系统状态空间描述导出频域描述设线性连续定常系统的状态空间模型为(1a)(1b)对以上两式分别做拉氏变换,得从以上两式中消去,那么(2)编辑ppt结论:从(2)式可知:系统的极点和系统状态空间模型中状态矩阵的特征值是一致的.问题:对同一个系统,选择不同的状态变量,所得的状态空间模型之间有什么关系?对同一个系统,不同的状态变量之间存在着线性变换关系,这相当于在(1)中做状态变量的可逆线性变换或.那么编辑ppt所以,我们有结论:对同一个系统,可以选择不同的状态变量,但所得到的状态空间模型的状态矩阵是相似的.编辑ppt第三章：系统的运动与离散化

§3.1矩阵指数概念系统的运动:系统动态方程的解.一,线性系统的自由运动先考察一般线性时变系统的自由运动该自由运动的解可表示为

称为系统的状态转移矩阵.编辑ppt线性时变系统的状态转移矩阵,恰为以下矩阵微分方程的解注:状态转移矩阵也常被记作.状态转移矩阵的性质:1)唯一性:线性时变系统的状态转移矩阵是唯一的.

编辑ppt2)可逆性:3)可分解性:4)传递性:对于线性定常系统,其状态转移矩阵为线性定常系统的自由运动因此为编辑ppt二,矩阵指数的定义一般的指数函数有如下的定义据此定义矩阵指数函数如下:可以证明:线性定常系统的状态转移矩阵为.

编辑ppt§3.2矩阵指数函数的计算方法一,根据矩阵指数函数的定义求解.二,用拉氏反变换求解.三,将化为的有限多项式来求解.利用Cayley-Hamilton定理,将的无限多项式化为有限多项式来计算.即:编辑ppt式中,为的函数.根据的不同特征值情况,由不同的公式给出.编辑ppt(补充材料)Cayley-Hamilton定理:设的特征多项式为那么有Cayley-Hamilton定理说明矩阵的次或超过次以上的幂都可以化为的次多项式来进行计算.编辑pptCayley-Hamilton定理应用举例:,试计算(1)(2)(3)注:的特征多项式为编辑ppt§3.3

线性系统的受控运动动态系统在控制作用下的运动,称为受控运动.假设受控线性状态方程的解存在,那么必具有如下形式上式说明:线性系统的运动由两局部构成,第一局部编辑ppt为起始状态的转移项,第二局部为控制作用下的受控项.上述解公式在线性定常系统时可以给予证明.编辑ppt§3.4线性离散系统的状态空间描述线性时变离散系统的状态空间模型如下:线性定常离散系统的状态空间模型如下:其中各向量各矩阵的含义类似于连续系统的情形.编辑ppt在经典控制理论中,线性定常离散系统的模型用以下的高阶差分方程描述或以下的脉冲传递函数描述一,将差分方程模型化为状态空间模型1)差分方程的输入函数中不包含差分的情形编辑ppt2)差分方程的输入函数中包含差分的情形二,将脉冲传递函数模型化为状态空间模型1)脉冲传递函数的极点两两相异时编辑ppt其中那么:令:那么可得相应的状态空间模型.编辑ppt2)脉冲传递函数的极点为单个重极点其中,令编辑ppt……那么可得相应的状态空间模型.3)传递函数的极点既有单极点,又有重极点.此时,系统的状态空间模型为约当标准型.编辑ppt§3.5线性定常离散系统的受控运动一,迭代法利用计算机迭代求解,且可得如下的解公式从该式可知,在线性定常离散系统中,设其状态转移阵为,那么,编辑ppt是满足以下方程的唯一解,二,Z变换法:编辑ppt§3.6线性连续系统的离散化一,时变系统状态方程的离散化定理:设线性连续时变系统离散化后的状态空间模型为那么两者系数矩阵关系为编辑ppt式中,为连续系统的状态转移矩阵.以上为线性连续时变系统与其离散化后的系统系数矩阵间的精确关系,当采样周期很小时,有下面的近似关系.编辑ppt二,定常系统状态方程的离散化定理:设线性连续定常系统离散化后的状态空间模型为那么两者系数矩阵关系为,编辑ppt第四章：系统的能控性与能观测性

§4.1能控性与能观测性的概念能控性:对于线性系统在时刻的任意初值,总存在一个有限时刻和上的容许控制,使得,那么称系统是状态完全能控的.能控性是检查系统的每一个状态分量能否被所控制.编辑ppt能观性:对于线性系统设输入,对于系统在时刻的任意初始状态,都存在一个有限时刻,使得通过在区间上的输出能唯一地确定系统的初始状态,那么称系统是状态完全能观测的.能观性说明能否通过系统的输出来确定系统的状态.编辑ppt§4.2线性定常系统的能控性判据一,状态能控性判据的第一种形式定理:阶线性定常系统∑,状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵满秩,即:编辑ppt二,状态能控性判据的第二种形式定理:设系统∑具有两两相异的特征值,那么系统状态完全能控的充要条件是:系统经非奇异变换()后的对角线标准型中,不包含元素全为0的行.编辑ppt定理:设系统∑具有不同的重特征值其重数分别为,(),那么系统状态完全能控的充要条件是:系统经非奇异变换()后的约当标准型编辑ppt中,里与每个约当小块的最后一行对应的所有行元素不全为0.三,状态能控性判据的第三种形式定理:线性定常单输入单输出系统∑状态完全能控的充要条件是:其输入----状态的传递函数中无相消因子,即无零极点相消现象.编辑ppt§4.3线性定常系统的能观性判据一,状态能观性判据的第一种形式定理:阶线性定常系统∑,即

状态完全能观测的充要条件是其能观性矩阵满秩,即:编辑ppt这里,编辑ppt二,状态能观性判据的第二种形式定理:设系统∑具有两两相异的特征值,那么系统状态完全能观的充要条件是:系统经非奇异变换()后的对角线标准型中,不包含元素全为0的列.编辑ppt定理:设系统∑具有不同的重特征值其重数分别为,(),那么系统状态完全能观的充要条件是:系统经非奇异变换()后的约当标准型编辑ppt中,里与每个约当小块的首行对应的所有列元素不全为0.三,状态能观性判据的第三种形式定理:线性定常单输入单输出系统∑状态完全能观的充要条件是:其状态----输出的传递函数中无相消因子,即无零极点相消现象.编辑ppt定理:线性定常单输入单输出系统∑状态完全能控能观的充要条件是:其输入----输出的传递函数中无相消因子,即无零极点相消现象.编辑ppt§4.4线性离散定常系统的

能控性与能观性判据一,线性离散定常系统的能控性判据线性离散定常系统的能控性能观性定义和线性连续定常系统的能控性能观性的定义类似.定理:阶线性离散定常系统∑的状态完全能控的充要条件为其能控性矩阵满足.编辑ppt其中,

二,线性离散定常系统的能观性判据定理:阶线性离散定常系统∑的状态完全能观的充要条件为其能观性矩阵满足这里,编辑ppt注:原来状态完全能控(能观)的线性定常连续系统离散化后,假设采样周期选择不当,离散化后的定常系统有可能变得不能控(能观)的.编辑ppt§4.5能控标准型和能观标准型能控标准型或能观标准型实际上是状态完全能控或状态完全能观的线性系统在特殊的状态变量选择下所得到的特殊的具有简单形式的状态空间模型.考察如下的SISO线性系统:(1)编辑ppt其中,一,SISO系统的能控标准型:定理:设SISO线性系统(1)状态完全能控,那么一定存在非奇异变换或,将线性系统(1)化为如下的能控标准型.编辑ppt其中,而为任意的矩阵.其中的变换阵可由下式表达:编辑ppt这里的含义实际上是取的最后一行.编辑ppt二,SISO系统的能观标准型:定理:设SISO线性系统(1)状态完全能观,那么一定存在非奇异变换或,将线性系统(1)化为如下的能观标准型.其中,编辑ppt而为任意的矩阵.其中的变换阵可由下式表达:编辑ppt这里的含义实际上是取的最后一列.编辑ppt§4.6系统能控性和能观性的对偶原理考察以下的两个系统:∑1:∑2:注意如下的符号表达:∑1:∑2:关系:系统∑1的能控阵=系统∑2的能观阵,系统∑1的能观阵=系统∑2的能控阵.编辑ppt所以,系统∑1状态能控等价于系统∑2状态能观,系统∑1状态能观等价于系统∑2状态能控.

系统∑1和系统∑2的以上这些关系称为系统能控性和能观性的对偶特性.

编辑ppt第五章：状态反响与状态观测器

§5.1状态反响与输出反响状态反响和输出反响是反响控制系统反响的两种根本形式:1,状态反响设受控系统模型为

对其施加状态反响律编辑ppt那么闭环系统的状态空间模型为闭环传递函数为2,状态反响对前面的受控系统施加输出反响律那么闭环系统的状态空间模型为编辑ppt闭环传递函数为3,对两种反响形式的讨论a)两种反响引入后,所得闭环系统和原开环系统具有相同的阶数.编辑pptb)两种反响闭环系统均能保持原系统的能控性;状态反响后的闭环系统不一定保持原系统的能观性;输出反响后的闭环系统一定保持原系统的能观性.c)状态反响的实现需要系统状态的信息,当系统的状态不能直接得到时,需要构造观测器(估计器)来对其进行估计.d)状态反响与输出反响相比,具有更好的特性.编辑ppt§5.2SISO状态反响系统的极点配置法采用上节的状态反响律,所得闭环系统为

所谓极点配置法,就是通过状态反响阵的选取,使以上闭环系统的极点,即的特征值恰好处于所希望的一组极点的位置上.编辑ppt一,极点配置定理定理:对SISO系统∑0,给定任意个极点(实数或共轭虚数).以这个极点为零根的特征多项式为那么存在矩阵,使闭环系统∑K以为极点,即编辑ppt的充要条件为受控系统∑0是完全能控的.该定理即:SISO系统可通过状态反响任意配置极点的充要条件为该受控系统是状态完全能控的.注1:该定理的证明是构造性的,即证明的过程也给出了利用状态反响进行极点配置的方法.注2:对状态完全能控的SISO系统,引入状态反响可编辑ppt以任意配置极点,但不改变原系统的零点.注3:对于维SISO受控系统,利用状态反响配置极点时,可以调节的参数有个,但利用根本型的输出反响配置极点时,可供调节的参数只有一个.注4:完全能控能观的SISO系统,引入状态反响后还能保持状态完全能观测的充要条件.注5:关于带有输入变换的状态反响系统.编辑ppt二,极点配置的方法选择1,当时,采用能控标准型方法.即先将原系统化为能控标准型,然后在此根底上配置极点.2,当时,采用特征值不变性原理方法.此时,不通过能控标准型求状态反响阵,而直接利用下面的方程求反响阵,即编辑ppt解关于的方程编辑ppt§5.3状态重构问题一,状态观测器的根本思想1,状态重构的可能性所谓状态重构(估计)问题,即能否用系统的可量测参量(输出和输入)来重新构造一个状态,使之在一定的指标下和系统的真实状态等价.首先,当线性定常系统的状态完全能观测时,利用其输出和输入重构出其真实状态是可能的.编辑ppt2,状态重构的等价性指标实现状态重构的一个直观想法就是人为地构造另一个动态系统,以原系统的输入和输出作为它的输入量,而它的状态就作为原系统状态的重构状态,使之在渐进的的意义上等价.即编辑ppt3,状态观测器的定义定义:设线性定常系统∑0的状态是不能直接量测的,如果另一个动态系统以∑0的输入和输出作为它的输入量,的输出满足如下的等价性指标那么称动态系统为∑0的状态观测器.编辑ppt4,状态观测器的结构模型设原系统的状态空间模型为那么所构造的状态观测器的结构形式为设计状态观测器,实际上是设计上式中的编辑ppt二,状态观测器的存在性定理1:对于状态完全能观测的线性定常系统,其观测器总是存在的.定理1只是状态观测器存在的充分条件,而非必要条件.引理:任一线性定常系统经过非奇异线性变换总能化为如下的能观结构形式.编辑ppt式中,为能观测状态;为不能观测状态;为系统的能观测局部(子系统).定理2:线性定常系统的状态观测器存在的充要条件是:其不能观测的局部是渐进稳定的.编辑ppt§5.4状态观测器的极点配置一,状态观测器的极点配置定理定理:对SISO线性定常系统∑0,其观测器∑可以任意配置极点,即具有任意逼近速度的充要条件为系统∑0状态完全能观测.该定理是线性状态反响系统∑K编辑ppt极点配置定理的对偶形式,证明类似.该定理构造性证明给出的状态观测器设计算法如下:先将原系统∑0通过状态变换化为能观标准型.设为能观标准型特征多项式的系数;是期望特征多项式的系数,得反响阵编辑ppt3)那么所求的观测器系数矩阵为.二,状态观测器极点配置的方法选择1,当时,采用能观标准型方法.即先将原系统化为能观标准型,然后在此根底上编辑ppt配置极点.2,当时,采用特征值不变性原理方法.此时,不通过能观标准型求状态反响阵,而直接利用下面的方程求反响阵,即式中,为观测器系统希望极点组成的特征多项式.编辑ppt§5.5带观测器状态反响闭环系统一,闭环系统的等价性设原阶系统的状态方程和输出方程为且该系统状态完全能控能观,当其状态不能直接量测时,需要构造以下形式的观测器编辑ppt此时的状态反响作用为因此,带有观测器的状态反响闭环系统的阶数为.该闭环系统(复合系统)可表示为:编辑ppt结论:带状态观测器的状态反响闭环系统和不带状态观测器的状态反响闭环系统的传递函数相同,即等价.二,别离原理带状态观测器的状态反响闭环系统特征多项式

编辑ppt结论:带状态观测器的状态反响闭环系统中,状态反馈确实定和观测器确实定可相互独立进行.要求理解带观测器的状态反响闭环系统方框图.编辑ppt§5.6降维状态观测器的设计当状态观测器的维数与原系统的维数相同,即要把原系统的个状态都估计出来,这样的观测器称为全维(阶)观测器.当原维系统的个状态中有个可直接量测或通过输出的线性变换可得到,那么只需为剩下的个状态设计维的状态观测器,这样的状态观测器称为降阶观测器.编辑ppt一,别离出个需要估计的状态变量设状态完全能观测系统假设,即有个状态可量测或通过线性变换得到.那么可构造非奇异矩阵

编辑ppt引入非奇异线性变换或那么可得变换后的系统其中,编辑ppt显然,变换后的系统中,可量测,只需对设计观测器即可.二,降维观测器的结构以上经线性变换后的状态方程可化为令:编辑ppt那么可得以为状态向量的维子系统的状态空间模型:针对该子系统设计状态观测器即可.三,降维观测器的状态空间表达式以上子系统的状态观测器形式为编辑ppt即:令:那么可推出:令:编辑ppt那么前面的降维观测器可化为该观测器称为维龙伯格观测器.四,原系统的状态估计变换后的系统的状态估值为编辑ppt那么原系统的状态估值为编辑ppt第六章：李亚普诺夫稳定性

理论与自适应控制§6.1李亚普诺夫第二法概述一,物理根底及有关概念1,平衡状态:系统处于静态时的位置或状态称为平衡状态.设动态系统方程为那么的根称为该系统的平衡状态.编辑ppt

对于孤立的平衡状态,总可以通过坐标变换,将其转移到坐标原点.2,稳定性的一般含义:一个系统受到外部扰动的作用时,偏离了自己的平衡状态,但当外部扰动去除后,系统仍能回到原来的平衡状态的性能称为系统的稳定性.系统的稳定性是针对系统的平衡状态而言的.编辑ppt3,李亚普诺夫第一法:解系统的微分方程式,然后根据解的性质来判断系统的稳定性.4,李亚普诺夫第二法:在不直接求解系统的微分方程式的前提下,通过构造的Lyapnov函数及其对时间的导数的定号性,就可给出系统在平衡状态稳定性的信息.李亚普诺夫第二法适合于所有系统的稳定性判定.编辑ppt二,二次型及其定号性:

1,二次型:关于未知变量的二次齐次多项式称为二次型.任一二次型都可表示为,其中为实对称矩阵,2,二次型正定的定义与判定:(略)编辑ppt§6.2李亚普诺夫稳定性判据一,李亚普诺夫稳定性定义1,空间两点间距离(范数)的定义.设和是空间的两点,那么称下式为该两点间的距离或范数.2,稳定与一致稳定.3,渐进稳定与一致渐进稳定.编辑ppt4,不稳定.二,李亚普诺夫稳定性定理定理1:设系统的状态方程为且满足如果在原点的某一邻域内,存在一标量函数它具有连续的一阶偏导数并且满足以下条件:1)是正定的,2)是负定的,编辑ppt那么系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的.如果随着还有那么系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的.编辑ppt定理2:设系统的状态方程为且满足如果在原点的某一邻域内,存在一标量函数它具有连续的一阶偏导数并且满足以下条件:1)是正定的,2)是半负定的,3)对任意和任意在时不恒等于零.编辑ppt那么系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的.如果随着还有那么系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的.其中表示时从出发的解轨迹.编辑ppt定理3:设系统的状态方程为且满足如果在原点的某一邻域内,存在一标量函数它具有连续的一阶偏导数并且满足以下条件:1)是正定的,2)是半负定的,但在某一非零解轨迹恒为零.那么系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的,但非渐进稳定.编辑ppt定理4:设系统的状态方程为且满足如果在原点的某一邻域内,存在一标量函数它具有连续的一阶偏导数并且满足以下条件:1)是正定的,2)也是正定的,那么系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是不稳定的.编辑ppt§6.3线性定常系统的李亚普诺夫

稳定性分析一,线性定常连续系统的稳定性分析定理:设系统状态方程为其中