近五年20172021高考数学真题分类汇编11立体几何含解析2

H、立体几何

一、多项选择题

1.（2021•全国高考真题）在正三棱柱ABC-A4G中，A6=A4,=1，点P满足

BP=ABC+/.iBB],其中；那么0

A.当4=1时，△AB/的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸一ABC的体积为定值

C.当2时，有且仅有一个点P,使得

D.当〃时，有且仅有一个点P,使得A#J.平面48/

二、单项选择题

2.（2021•浙江高考真题）如图正方体A8CO-A4GA,M,N分别是4。，。田的

中点，那么0

A.直线AQ与直线。/垂直，直线MN//平面ABCD

B.直线4。与直线。田平行，直线MN_L平面

C.直线AQ与直线。田相交，直线MN//平面A8CD

D.直线AQ与直线。出异面，直线MNL平面8DD百

3.（2021.浙江高考真题）某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是（）

3Q71

A.-B.3C.D.3亚

4.（2021.全国高考真题（理））已如4,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，

且AC，BC,AC=BC=1,那么三棱锥O-ABC的体积为0

AV2百及百

121244

5.（2021.全国高考真题（文）〕在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,

F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如下图，那

么相应的侧视图是0

A.B.

6.（2021•全国高考真题（理））在正方体ABC。—A4G2中，尸为四。的中点，那么

直线PB与所成的角为0

7.（2021.全国高考真题）圆锥的底面半径为、口，其侧面展开图为一个半圆，那么该圆

锥的母线长为0

A.2B.272C.4D.472

8.（2021•天津高考真题）假设棱长为2G的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球

的外表积为0

A.12万B.24%C.36〃D.144）

9.（2021•北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如下图，该三棱柱的

外表积为（）.

A.6+V3B.6+20C.12+MD.12+2百

10.（2021.浙江高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如下图，那么该几何体的体

积（单位：cm3）是（）

714

A.—B.—C.3D.6

33

11.（2021•海南高考真题）日号是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的号

针投射到唇面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点4的纬

度是指0A与地球赤道所在平面所成角，点4处的水平面是指过点A且与OA垂直的平

面.在点A处放置一个日皆，假设唇面与赤道所在平面平行，点4处的纬度为北纬40。,

那么唇针与点A处的水平面所成角为0

A.20°B.40°

C.50°D.90°

12.（2021.全国高考真题（文））以下图为某几何体的三视图，那么该几何体的外表积

是0

A.6+40B.4+40C.6+273D.4+273

13.（2021•全国高考真题（理））A,8,C为球。的球面上的三个点，为，,ABC的

外接圆，假设O的面积为4兀，AB=BC=AC=00,,那么球。的外表积为（）

A.64兀B.48KC.36兀D.32兀

14.（2021.全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状

可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角

形的面积，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为0

AV5-1R-75-1+1ny/5+1

4242

15.（2021•全国高考真题（理））△ABC是面积为也的等边三角形，且其顶点都在球

4

。的球面上.假设球。的外表积为16兀，那么。到平面ABC的距离为U

A.J3B.-C.1D.迫

22

16.（2021.全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一

个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,那么该端点在侧视图中

对应的点为0

A.EB.FC.GD.H

17.（2021•浙江高考真题）祖地是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“嘉势既同，

那么积不容异”称为祖胞原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式■柱体=S/z,其中S

是柱体的底面积，〃是柱体的高.假设某柱体的三视图如下图（单位：cm）,那么该柱

体的体积（单位：cnP）是

A.158B.162

C.182D.324

18.（2021•全国高考真题〔理））如图，点N为正方形A8CD的中心，AECD为正三

角形，平面EC。_L平面ABC。,"是线段的中点，那么

A.BM=EN，且直线是相交直线

B.BM丰EN,且直线是相交直线

C.BM=EN,且直线是异面直线

D.BM手EN,且直线8M,EN是异面直线

19.（2021.浙江高考真题）祖随是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“基势既同，

那么积不容易”称为祖晅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式％体=S/?,其中S是

柱体的底面积，〃是柱体的高，假设某柱体的三视图如下图，那么该柱体的体积是

A.158B.162

C.182D.32

20.（2021•浙江高考真题）设三棱锥V—A5C的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是

棱依上的点（不含端点），记直线PB与直线4c所成角为a,直线尸6与平面ABC所

成角为二面角P—AC—8的平面角为/,那么

A.（3<y,a<yB.P<a,f3<y

C.（3<a,y<aD.a<P，y<（3

21.（2021•全国高考真题（理））三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，以=PB=PC,

△ABC是边长为2的正三角形，E,尸分别是以，AB的中点，NCEF=90。,那么球O

的体积为

A.8正兀B.4娓兀C.2瓜九D.瓜兀

22.（2021•全国高考真题（文））设a,Q为两个平面，那么a〃夕的充要条件是

A.a内有无数条直线与£平行

B.a内有两条相交直线与“平行

C.a,£平行于同一条直线

D.a,4垂直于同一平面

23.（2021・上海高考真题）平面。、6、/两两垂直，直线a、b、c满足：

aja,bq/3,cjy,那么直线a、h、C不可能满足以下哪种关系

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

24.（2021•浙江高考真题）直线相，”和平面a,"ua,那么“加//〃”是的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

25.（2021・上海高考真题）？九章算术?中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱

锥为阳马，设A4是正六棱柱的一条侧棱,如图，假设阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、

以AA为底面矩形的一边，那么这样的阳马的个数是（）

A.4B.8C.12D.16

26.（2021•浙江高考真题）四棱锥S-A8CD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线

段A3上的点（不含端点），设SE与所成的角为4，SE与平面ABCD所成的角

为。2,二面角S-AB-C的平面角为4,那么

A.44名403B,Oy<O2—C.4444名D.02-^3—

27.（2021•全国高考真题（文））在长方体中，AB=3C=2,AC,

与平面所成的角为30，那么该长方体的体积为

A.8B.6丘C.872D.

28.（2021•北京高考真题（理））某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直

角三角形的个数为

A.1B.2

C.3D.4

29.（2021•全国高考真题（文））某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图，

圆柱外表上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱外表上的点N在左视图上的对应点

为B,那么在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

A.2yfnB.2小C.3D.2

30.（2021•全国高考真题（理））设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，

A5c为等边三角形且其面积为9百，那么三棱锥D-A3C体积的最大值为

A.12百B.1873C.24百D.54百

31.（2021•全国高考真题（理））中国古建筑借助梯卯将木构件连接起来，构件的凸出

局部叫桦头，凹进局部叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是桦头.假设如图摆放的木

构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A.：B.

32.（2021.浙江高考真题）某几何体的三视图如下图（单位：cm）,那么该几何体的体

积（单位：cm3）是

A.2B.4C.6D.8

33.（2021•全国高考真题（文））在正方体ABCD-A耳中，E为棱CQ的中点,

那么异面直线AE与CD所成角的正切值为

A.立B."C.@D.立

2222

34.（2021•全国高考真题（文））圆柱的上、下底面的中心分别为。「。2,过直线日。2

的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为

A.12V2nB.12KC.8及兀D.10K

35.（2021•全国高考真题（理））在长方体48co-4旦。。|中，AB=BC=1,

那么异面直线A"与。鸟所成角的余弦值为

A1R下「石nV2

5652

36.（2021.全国高考真题（理））正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角

都相等，那么a截此正方体所得截面面积的最大值为

A3百R2百「3&nV3

4342

37.（2021.全国高考真题（文））如图，在以下四个正方体中，A、8为正方体的两个

顶点，M、N、。为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直线A6与平面“VQ

不平行的是（）

未命名

三、解答题

38.(2021•全国高考真题)如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面BCD,

AB=AD，。为BO的中点.

(1)证明：OA1CD,

(2)假设cOC£＞是边长为1的等边三角形，点E在棱AO匕DE=2EA，且二面角

的大小为45°,求三棱锥A-38的体积.

39.(2021•全国高考真题(文))如图，四棱锥P—4BCD的底面是矩形，PD_L底面

ABCD,M为8c的中点，且依_LA〃.

(1)证明：平面上4M_L平面P8D;

(2)假设尸£)=OC=1,求四棱锥P-ABC。的体积.

40.(2021•浙江高考真题)如图，在四棱锥P—ABQD中，底面A8CO是平行四边形，

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15，M,N分别为BC,PC的中点，

PD±DC,PM1MD.

(1)证明：ABLPM-.

(2)求直线AN与平面PDW所成角的正弦值.

41.(2021•全国高考真题(文))直三棱柱ABC-4与G中，侧面为正方形，

AB=BC=2,E,F分别为AC和CG的中点，BF

(1)求三棱锥b―EBC的体积；

(2)。为棱A4上的点，证明：BF上DE.

42.(2021•全国高考真题(理))直三棱柱ABC-44G中，侧面为正方形，

AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，。为棱人耳上的点.BFLA.B,

(1)证明：BFYDE-.

(2)当月。为何值时，面与面。bE所成的二面角的正弦值最小？

43.(2021.全国高考真题(理))如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，PDJ_底面

ABCD,PD=DC=1,A7为BC的中点，且

(1)求BC；

(2)求二面角A—PM—8的正弦值.

44.(2021海南高考真题)如图，四棱锥尸-ABC。的底面为正方形，底面ABCO.设

平面PAD与平面PBC的交线为/.

(1)证明：/_L平面尸DC；

(2)PD=AD=\,。为/上的点，QB=O,求PB与平面QCD所成角的正弦值.

45.(2021•天津高考真题)如图，在三棱柱ABC-44G中，CG，平面

ABC,AC1BC,AC=BC^2,。0=3,点。，七分别在棱A4和棱cq上，且

")=1CE=2,M为棱4g的中点.

(I)求证：C,M±B,D；

(II)求二面角8一4后一。的正弦值；

(III)求直线与平面。与E所成角的正弦值.

46.(2021•北京高考真题)如图，在正方体ABC。—中，E为8片的中点.

(I)求证：8G〃平面AQE；

(II)求直线A4与平面A0E所成角的正弦值.

47.(2021•浙江高考真题)如图，三棱台ABC—OM中，平面ACFD，平面A8C,

ZACB=ZACD=45°,DC=2BC.

(I)证明：EFLDB；

(II)求。尸与面08c所成角的正弦值.

48.(2021.海南高考真题)如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，PZ)_L底面48CD.设

平面PAD与平面PBC的交线为/.

(1)证明：平面POC；

(2)PD=AD=\,Q为/上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

49.(2021•江苏高考真题)在三棱锥A—BCD中，CB=CD=亚,BD=2,。为2。的中点,

40_1平面BC。，A0=2,E为4c的中点.

(1)求直线AB与OE所成角的余弦值；

(2)假设点尸在8c上，满足BF=LBC,设二面角JOE—C的大小为仇求sin。的

4

值.

50.(2021・江苏高考真题)在三棱柱ABC-4B6中，AB1AC,8CJ_平面4BC,E,F

分别是AC,BC的中点.

(1)求证：EF〃平面ABiG；

(2)求证：平面ABC平面ABB.

51.(2021♦全国高考真题(理))如图，在长方体ABC£)—AB|G。中，点E,E分别在

棱DD],BB]上,且2DE=ED1,BF=2FB].

(1)证明：点a在平面AEE内；

(2)假设A3=2，A£>=1，44,=3,求二面角A-EF-A的正弦值.

52.(2021•全国高考真题(文))如图，在长方体ABC。一A4GA中，点E，尸分别

在棱。R,上，且2£>E=ED，BF=2FB-证明：

(1)当=时，EF1AC；

(2)点G在平面A"内.

53.(2021•全国高考真题(文))如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，ABC

是底面的内接正三角形，P为DO上一点,N4PC=90。.

(1)证明：平面出平面必。；

(2)设。。=后，圆锥的侧面积为百几，求三棱锥尸-A8C的体积.

54.(2021•全国高考真题(理))如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为

底面直径，AE=AD...A6C是底面的内接正三角形，尸为。。上一点，PO=^DO.

6

(1)证明：B4_L平面P8C；

(2)求二面角PC-E的余弦值.

55.(2021•全国高考真题(文))如图，三棱柱ABC-4SG的底面是正三角形，侧面

B5GC是矩形，M,N分别为BC,的中点，P为AM上一点.过8G和P的平面

交AB于E,交AC于F.

(1)证明：AAi//MN,且平面Ai4MN_L平面EBiGR

(2)设。为的中心，假设A0=AB=6,40〃平面EBiGF,且/MPN=乌，求

3

四棱锥B-EBiG尸的体积.

56.(2021•全国高考真题(理))如图,三棱柱A8C-A闰Ci的底面是正三角形，侧面CiC

是矩形，M,N分别为BC,的中点，P为AM上一点，过8G和P的平面交A8

于E,交4c于E

(1)证明：AAi//MN,且平面44WN_LEBCiF；

(2)设。为的中心，假设AO〃平面EBiGF,且AO=AB,求直线BE与平

面AiAMN所成角的正弦值.

57.(2021•江苏高考真题)如图，在直三棱柱A8C-A181cl中，D,E分别为BC,AC

的中点,AB=BC.

求证：［1)ABi〃平面DEC”

(2)BEIGE.

58.(2021•天津高考真题(理))如图，A£J_平面ABC。，CF//AE,AD//BC,

AD±AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求证：3F〃平面ADE；

(II)求直线CE与平面8DE所成角的正弦值；

(III)假设二面角七一BD—月的余弦值为g，求线段b的长.

59.(2021.全国高考真题(理))图1是由矩形AOEB,RtAABC和菱形BFGC组成的

一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,NFBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与

BF重合,连结。G,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面A8CL平面BCGE；

(2)求图2中的二面角8-CG-4的大小.

60.(2021•全国高考真题(文))如图，直四棱柱ABCAABG。/的底面是菱形，AA/=4,

AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分别是BC,BBi,A/O的中点.

(1)证明：MN〃平面C/OE；

(2)求点C到平面C/£>E的距离.

61.(2021•全国高考真题(理))

如图，长方体A8CD-A出GQi的底面ABCD是正方形，点E在棱A4i上，

(1)证明：BE,平面E3G；

(2)假设求二面角B-EC-G的正弦值.

62.(2021・上海高考真题)如图，在正三棱锥P—ABC中,

PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=6

(1)假设PB的中点为M，BC的中点为N,求AC与MN的夹角；

(2)求P-ABC的体积.

63.(2021•上海高考真题)圆锥的顶点为P,底面圆心为。，半径为2.

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；

(2)设PO=4,OA、OB是底面半径，且NAO3=90°,M为线段A8的中点，

如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.

64.(2021.江苏高考真题)在平行六面体ABC。-A用G2中，AA,=AB,ABt±B.C,.

求证：(1)45//平面4与。；

(2)平面AB44J.平面ABC.

65.(2021•江苏高考真题)如图，在正三棱柱ABC-A由Ci中，AB=AA>=2,点P,。分

别为AS,8c的中点.

(1)求异面直线B尸与AC所成角的余弦值；

(2)求直线CG与平面AQG所成角的正弦值.

66.(2021•全国高考真题(文))如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧C。所在平面垂

直，M是CO上异于C,。的点.

(1)证明：平面AMD,平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点尸，使得〃平面7W?说明理由.

67.(2021.北京高考真题(理))如图，在三棱柱ABC-AgG中，平面4BC,

D,E,F,G分别为AA1,AC,AG，台片的中点，AB=BC=逐，AC=AAt=2.

(1)求证：AC_L平面BEF；

(2)求二面角B-CD-Ci的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交.

68.(2021.北京高考真题(文))如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A3CD为矩形,

平面以。，平面ABC。，PAA.PD，PA=PD，E、E分别为A£>、P8的中点.

(I)求证：PE1BC；

(II)求证：平面NB_L平面PCD；

(III)求证：EF〃平面PCD.

69.(2021•全国高考真题(理))如图，四边形ABCD为正方形，E,尸分别为4),8。

的中点，以。尸为折痕把△OEC折起，使点C到达点尸的位置，且PF_LBF.

(1)证明：平面平面A8FD：

(2)求0P与平面A8F。所成角的正弦值.

70.(2021•全国高考真题(理))如图，边长为2的正方形ABC。所在的平面与半圆弧C。

所在平面垂直，Af是C。上异于C,。的点.

(1)证明：平面4WDL平面8MC；

(2)当三棱锥M—ABC体积最大时，求面M43与面所成二面角的正弦值.

71.12021.浙江高考真题)如图，多面体ABC-AiBiC”A\A,BiB,CC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AiA=4,CiC=l,AB=BC=BiB=2.

(I)证明:ABi_L平面AIBICI；

(II)求直线AG与平面ABBi所成的角的正弦值.

72.(2021.全国高考真题(文))如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=2近,

PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面ABC；

(2)假设点Af在棱8c上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.

73.(2021•全国高考真题(文))如图，在平行四边形中，A8=AC=3,

NACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点0的位置，且ABJ.A4.

(1)证明：平面ACD_L平面ABC；

2

(2)Q为线段AO上一点，P为线段上一点，且BP=DQ=§DA,求三棱锥

。一ABP的体积.

74.(2021•山东高考真题(文))由四棱柱ABOAiBiG出截去三棱锥CLBCDI后得

到的儿何体如下图，四边形A8CQ为正方形，。为AC与8。的交点，E为AO的中点，

4E1平面ABCD

(1)证明：A。〃平面BICDI；

(2)设M是。。的中点，证明：平面AEM1平面BO.

四、填空题

75.(2021.全国高考真题(理))以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧

视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，那么所选侧视图和俯视图的编号依次为

(写出符合要求的一组答案即可〕.

76.（2021•全国高考真题（文）〕一个圆锥的底面半径为6,其体积为30%那么该圆锥

的侧面积为.

77.（2021•海南高考真题）正方体A8CD-A山iGU的棱长为2,M、N分别为83、AB

的中点，那么三棱锥A-NM。的体积为

78.（2021海南高考真题）直四棱柱A8CD-4BQDi的棱长均为2,ZBAD=60°.以。।

为球心，下为半径的球面与侧面BCCB的交线长为.

79.（2021•江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成

的.螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,那么此六角螺

帽毛坯的体积是一cm.

80.（2021•全国高考真题（文））圆锥的底面半径为1,母线长为3,那么该圆锥内半径

最大的球的体积为.

81.（2021•全国高考真题（理））设有以下四个命题：

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：假设空间两条直线不相交，那么这两条直线平行.

p4：假设直线/u平面a,直线相，平面a,那么机，/.

那么下述命题中所有真命题的序号是.

①Pl八04②P|AP2③F>2VP3④「小V「P4

82.（2021•江苏高考真题）如图，长方体ABC。-A与G2的体积是120,E为CQ的

中点，那么三棱锥E-8CZ）的体积是.

83.（2021•北京高考真题（理））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三

视图如下图.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.

84.（2021•北京高考真题（理））/,，〃是平面a外的两条不同直线.给出以下三个论断：

®l±m；®m//a.（3）/1a.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：

85.（2021•全国高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如

图，该模型为长方体ABC。-4耳挖去四棱锥O—EFG〃后所得的几何体，其中

。为长方体的中心，瓦凡G,"分别为所在棱的中点，A8=BC=6cm,A41=4cm,

3。打印所用原料密度为0.9g/5？，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

___________g.

86.（2021.天津高考真题（文））四棱锥的底面是边长为力的正方形，侧棱长均为右.

假设圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底

面的中心，那么该圆柱的体积为.

87.（2021•全国高考真题（文））NACB=90。，P为平面ABC外一点，PC=2,点P到/4CB

两边AC,8c的距离均为百，那么P到平面ABC的距离为.

88.（2021•江苏高考真题）如下图，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多

面体的体积为.

89.（2021•全国高考真题（文））圆锥的顶点为S,母线SB互相垂直，SA与圆锥

底面所成角为30。，假设二S48的面积为8,那么该圆锥的体积为.

90.（2021•全国高考真题（理））圆锥的顶点为S,母线SA，S8所成角的余弦值为

一，SA与圆锥底面所成角为45。，假设dS钻的面积为5厉，那么该圆锥的侧面

8

积为.

91.（2021.天津高考真题（理））正方体的棱长为1,除面ABC。外，

该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,"（如图），那么四棱锥M-EFGH的

体积为.

五、双空题

92.（2021•全国高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印

信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半

正多面体"（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多

面体表达了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同

一个正方体的外表上，且此正方体的棱长为1.那么该半正多面体共有个面，

其棱长为.

近五年（2021-2021）高考数学真题分类汇编

十一、立体几何〔答案解析〕

1.BD

【分析】

对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立适宜的直角坐标系来求解P点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立适宜的直角坐标系来求解P点

的个数.

【解析】

易知，点P在矩形内部（含边界）.

对于A,当2=1时，BP=BC+NBB[=BC+KG，即此时Pw线段CG，△ABf周长

不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BB[=BB]+AB}C,,故此时尸点轨迹为线段gG,而

B.CJ/BC,与G〃平面4BC,那么有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，

故B正确.

对于C,当4时，BP=-BC+^iBB],取8C,BC中点分别为Q,”，那么

22

BP=BQ+^QH,所以P点轨迹为线段不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图,

,尸（0,0,〃），那么4尸=

4P•BP=4（4—1）=0,所以〃=0或〃=1.故”，。均满足，故C错误;

对于D,当//=；时，=,取84，CG中点为M,N.BP=BM+2MN，

、■（Ji

所以P点轨迹为线段MN.设P0,,因为A。,0，所以AP=--—,y0,—,

27\'）

J\B=--一1，所以］+gx）一；=0=*X）=一；，此时P与N重合，故D正确.

应选：BD.

【小结】

此题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

2.A

【分析】

由正方体间的垂直、平行关系，可证平面AB。，即可得出结论.

【解析】

连,在正方体ABC。—4与0〃中，

M是4。的中点，所以M为AA中点，

又N是的中点，所以MN//AB,

M/V«平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

因为AB不垂直3。，所以MN不垂直BD

那么MN不垂直平面8DR5,所以选项B,D不正确；

在正方体ABC。—A4G，中，AD.1HQ,

45，平面然。〃，所以A8_LA。，

AD}r>AB=A,所以4。，平面AB，，

平面A8R,所以4。，£）建，

且直线4。,是异面直线，

所以选项B错误，选项A正确.

应选：A.

【小结】

关键点小结：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同

一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

3.A

【分析】

根据三视图可得如下图的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.

【解析】

几何体为如下图的四棱柱ABCD-AfCQi，其高为1，底面为等腰梯形ABCD,

该等腰梯形的上底为加，下底为2夜，腰长为1，故梯形的高为/]=#，

故匕sc。ABco=-x(V2+2^)x—xl=-,

AoCZJ—/ljO|C|ZJ|2、22

应选：A.

4.A

【分析】

由题可得A6c为等腰直角三角形，得出，ABC外接圆的半径，那么可求得。到平面

ABC的距离，进而求得体积.

【解析】

AC，BC,AC=BC=1,*43。为等腰直角三角形，.•.48=0，

那么ABC外接圆的半径为也，又球的半径为1,

2

设0到平面48c的距离为。,

Gf-|U_1cJ_11,.V2_五

所以%-ABC=§S=—~-

应选：A.

【小结】

关键小结：此题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到

截面距离的勾股关系求解.

5.D

【分析】

根据题意及题目所给的正视图复原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

【解析】

由题意及正视图可得几何体的直观图，如下图，

所以其侧视图为

应选：D

6.D

【分析】

平移直线至BQ,将直线尸3与AA所成的角转化为m与BG所成的角，解三角形即

可.

【解析】

如图，连接因为

所以NPBG或其补角为直线PB与AD,所成的角,

因为6片_L平面所以又P£_LA2，BBcBR=B],

所以PG，平面PBB」所以PG，P8,

设正方体棱长为2,那么BC]=2V2,Pg=gR4=应，

sinZFBC,--S'-T,所以NPBG=1.

oC,26

应选：D

7.B

【分析】

设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为所求.

【解析】

设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，那么兀1=2兀乂叵,解得

1=2五.

应选：B.

8.C

【分析】

求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的外表积公式，即可得解.

【解析】

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

所以，这个球的外表积为S=4万夫2=4万x3?=36万.

应选：C.

【小结】

此题考查正方体的外接球的外表积的求法，求出外接球的半径是此题的解题关键，属于根底

题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：［1)三条棱两两互相垂直时，可恢

复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；(2)直棱柱的外接球

可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，

再根据勾股定理求球的半径；(3)如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作

两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.

9.D

【分析】

首先确定几何体的结构特征，然后求解其外表积即可.

【解析】

由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形,

那么其夕卜表积为：S=3x(2x2)+2x(；x2x2xsin60°)=12+2G.

应选：D.

【小结】

(1)以三视图为载体考查几何体的外表积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从

三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.

(2)多面体的外表积是各个面的面积之和：组合体的外表积应注意重合局部的处理.

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而

外表积是侧面积与底面圆的面积之和.

10.A

【分析】

根据三视图复原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.

【解析】

由三视图可知，该几何体是上半局部是三棱锥，下半局部是三棱柱，

且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1,

棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2,

所以几何体的体积为：

3（2）U）33

应选：A

【小结】

本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于根底题.

11.B

【分析】

画出过球心和唇针所确定的平面截地球和唇面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂

直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出辱针与点A处的水平面所成角.

【解析】

画出截面图如以下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；/是点A处的水平面的截线,

依题意可知。4JJ；AB是凸针所在直线.加是唇面的截线，依题意依题意，唇面和赤道平

面平行，辱针与辱面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得ABVm..

由于ZAOC=40°,mllCD,所以ZOAG=ZAOC=40°,

由于NQ4G+NG4E=44E+NG4E=90°,

所以NBAE=ZOAG=40°,也即唇针与点A处的水平面所成角为ZBAE=40°.

应选：B

【小结】

本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，

属于中档题.

12.C

【分析】

根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其

外表积.

【解析】

根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

根据立体图形可得：S&ABC=S^ADC=S&CDB=；x2x2=2

根据勾股定理可得：AB=AD=DB=2V2

是边长为2a的等边三角形

根据三角形面积公式可得：

...该几何体的外表积是:3x2+20=6+2月.

应选：C.

【小结】

此题主要考查了根据三视图求立体图形的外表积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体

图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于根底题.

13.A

【分析】

由可得等边..A5C的外接圆半径，进而求出其边长，得出。Q的值，根据球的截面性质，

求出球的半径，即可得出结论.

【解析】

设圆01半径为r,球的半径为R,依题意，

得万产=4肛...r=2,..A3C为等边三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=2G，

:.OOt=AB=2j3,根据球的截面性质00、1平面ABC,

2

OOt±O,A,R=OA=y/oO^+O.A=Joo；+户=4,

•0•球0的外表积S=4万及2—64%.

应选：A

【小结】

此题考查球的外表积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于根底题.

14.C

【分析】

设CD=a,PE=b,利用PO2=-CDPE得到关于a,h的方程，解方程即可得到答案.

2

【解析】

如图，设CD=