第六章 线性时不变动态电路的正弦稳态分析终稿

第6章线性时不变动态电路的正弦稳态分析6.1正弦稳态响应的基本概念6.2正弦稳态分析的意义6.4正弦量的相量表示6.3正弦量的时域分析6.5VCR、KCL、KVL的相量形式6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法6.8最大功率传输定理6.7正弦稳态电路的功率6.9功率因数的提高电路的工作状态稳态（响应≈稳态分量）暂态(响应＝暂态分量＋稳态分量）

从本章（第6章）开始一直至第9章，将分析研究线性电路在正弦激励（激励是电压源的大小或电流源的大小）下的稳态响应问题，即正弦稳态分析问题。电路的分析稳态分析（求响应的特解）暂态分析(第5章)（求响应的全解）正弦稳态分析（第6～9章）直流稳态分析（第1～4章）（直流激励）（正弦激励）6.1线性时不变动态电路正弦稳态响应的基本概念从前面三大基本定律知道，任何一个线性时不变动态电路在t=0时刻接通正弦输入(激励)

x(t),则该电路的任何一个输出（响应）y(t)和x(t)的关系，可以用n阶常系数微分方程描述，即:如果激励x(t)为：则响应y(t)为：特征根特征方程其中6.1线性时不变动态电路正弦稳态响应的基本概念若6.1线性时不变动态电路正弦稳态响应的基本概念暂态响应稳态响应任一响应所以，最终观察到的则往往是稳态分量。理论上，当t=∞后，有，此时称电路达到稳态。而工程上，当t=(4~5)τmax=(4~5)(1/pmin)后，就有通常pn为负值，故根据上式、叠加定理、同频率三角函数之和仍为三角函数，可以证明，在线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦函数，则电路中的全部稳态响应（电压或电流）也将是同一频率的正弦函数。这类电路称为正弦电流电路。可见，电路达到稳态时的任一响应为6.1线性时不变动态电路正弦稳态响应的基本概念6.2线性时不变动态电路正弦稳态分析的意义

1.在工程实际和科学研究中，正弦函数广泛被使用。例如：很多仪器设备的输入和输出也是正弦函数；目前世界上电力工程中所用的电压、电流，几乎全部采用正弦函数的形式。其中，大多数问题，都可以按正弦电流电路的问题来加以分析处理。

2.正弦函数是周期函数的一个重要特例。电工技术中的非正弦的周期函数，都可以分解为一个频率成整倍数的正弦函数的无穷级数。这类问题也可以按正弦电流电路的方式来分析处理。6.3正弦量的时域分析随时间按正弦规律做周期变化的量。

正弦量：Ru+_

_正半周1Ω

_负半周Ru+_1Ωu+_iωt由实际情况上升到理论分析得出：电压电流参考方向不变，实际方向改变。实际方向由参考方向和参考方向下计算值的正或负这两者共同确定。正弦量及其三要素6.3.1正弦量的三要素：正弦量（正弦函数）角频率初相位振幅6.3正弦量的时域分析振幅一、正弦量变化过程中所能达到的最大值。角频率二、6.3正弦量的时域分析

ωt+ψi称相角或相位。

,故ω是相角随时间变化的速度，是反映正弦量变化快慢的要素。ω称角频率。单位：rad/s（弧度／秒）。

频率与周期的含义：6.3正弦量的时域分析i(t)Imωtπ2π

3π

4π-Im0i(t)ImT/2T

3T/2

2T

-Im0t周期T：变化一周所需的时间，单位：s（秒）频率f：单位：Hz（赫兹）频率表示波形在1秒内周期的个数例如：50Hz表示1秒内有50个周波*

无线通信频率：

30kHz~30GMHz*电网频率：我国

50Hz

，美国

、日本

60Hz*高频炉频率：200~300kHz*中频炉频率：500~8000Hz6.3正弦量的时域分析对比上两图的横轴可见：周期Ｔ、频率f、角频率ω期的关系：所以6.3正弦量的时域分析初相位三、初相位ψi

：

表示正弦量在t=0时的相角。单位：o（度）或rad（弧度）。通常在主值范围内取值。故Ψi的大小与计时起点的选择有关。即Ψi给出了观察正弦波的起点或参考点6.3正弦量的时域分析iImωtπ2π

3π

4π-Im0

i=０i０T

t2

i

i>０Imi０T

t2

i

i<０Im

两同频率的正弦量之间的初相位之差。同频率正弦量之间的相位差6.3.2相位差

：如：若电压超前电流

角度uiui

ωtO6.3正弦量的时域分析电压与电流同相ωtuiO

电压与电流反相ωtuiO

电流超前电压

ωtui

O电流超前电压ωtui90°O6.3正弦量的时域分析正弦量的有效值和平均值6.3.3RiRI有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。交流热量直流热量则有有效值必须大写

6.3正弦量的时域分析当周期电流为正弦量时，将正弦电流代入上式,得：同理：6.3正弦量的时域分析

一般谈到正弦电压、电流的数值时若无特殊声明，都是指有效值，如电气设备铭牌上的额定值。交流测量仪表上指示的电压、电流也都是有效值。但在某些情况下，必须使用最大值，例如在考虑各种设备和器件的绝缘水平——耐压值时，必须用最大值来考虑。居民生活用电电压的有效值U＝220V，则其最大值

6.3正弦量的时域分析平均值：6.3正弦量的时域分析同理：瞬时值表达式前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图正弦量的表示方法重点必须小写相量uO6.4正弦量的相量表示复数及其运算6.4.1一、复数的四种形式复数z的模(正值)

复数z的辐角指数式极坐标式三角式代数式O+1+jxryz6.4正弦量的相量表示二、用算式进行的复数运算（1）加减法（2）乘法（3）除法

乘法和除法一般都用极坐标形式最为方便6.4正弦量的相量表示复数相加和相减用作图法进行的复数运算三、

把复数Ａ１逆时针旋转一个角度θ２6.4正弦量的相量表示复数相乘和相除

把复数Ａ１顺时针旋转一个角度θ２6.4正弦量的相量表示任意复数乘以等于把复数Ａ逆时针旋转一个角度φ，而Ａ的模值不变，所以称旋转因子。j、-j、-1都称为旋转因子复数的旋转：6.4正弦量的相量表示正弦量相量变换6.4.2如果全部激励都是同一频率的正弦函数，则电路中的全部稳态响应（电压或电流）也将是同一频率的正弦函数。这类电路称为正弦稳态电路，又称为正弦电流电路。

通过数学的方法，把一人实数范围的正弦时间函数与一个复数范围的复指数函数一一对应起来。复常数部分称为正弦量的相量令小圆点是用来与普通复数相区别的记号。这种命名和记法的目的是强调它与正弦量的联系，但在运算过程中与一般复数并无区别。

相量和复数一样，可以在复平面上用向量来表示，这种表示相量的图称相量图。O+1+jＩ6.4正弦量的相量表示旋转相量旋转相量的复振幅“相量”不同于“向量”这实际上是一种变换思想，由时域量变换到相量正弦量与相量关系的几何意义：ωu0xyOO一个正弦量在任何时刻的瞬时值，等于对应的旋转相量同一时刻在虚轴上的投影。6.4正弦量的相量表示正弦量相量相量是复数，与t无关。正弦量是t的函数6.4正弦量的相量表示正误判断：？错，掉了点。（１）（２）=错，正弦量i与相量，一一对应，但不等。（3）只有正弦量才能用相量。对。6.4正弦量的相量表示例:写出正弦量u的相量。解:正弦量的相量正弦量例:写出正弦量i的相量。解:正弦量的相量正弦量6.4正弦量的相量表示正弦量用相量表示后,数学运算上具有的性质：正弦量相量变换的基本性质6.4.3（正弦量的下列运算可用对应的相量来进行：）一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数性质1：若

则

令证明：所以6.4正弦量的相量表示性质2：若

则

同频率正弦量的和差运算就变成了对应相量的和差运算设其中证明：令所以6.4正弦量的相量表示性质3：若

则

设证明：一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以的运算正弦量的微分正弦量的积分6.4正弦量的相量表示性质4：若

则

设证明：一个正弦量对时间积分的运算就变成了对应相量乘以的运算故复杂的正弦量运算可化为简单的相量运算。例:

已知有效值I=16.8A求：6.4正弦量的相量表示6.4正弦量的相量表示例:用相量法求特解。微分方程代数方程这里，特解是从时域方程开始求的。我们希望直接从时域电路开始来求特解。6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式如果全部激励都是同频的正弦函数，则电路中所有的稳态响应（特解）将是同频的正弦函数。这类电路称为正弦电流稳态电路。

正弦电流稳态电路中的电压、电流全部是同频率的正弦量，因此，描述电路性状的微积分方程的特解可以用相量法转换为代数方程来求解。本节将给出三大基本定律的相量形式，这样，就可以直接从时域电路开始来求特解。电路基本元件的相量域模型6.5.16.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式一、电阻元件的相量域模型时域形式相量形式Riu+–电阻的时域电路电阻的相量域模型R+–6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式iωtuO电阻的电压和电流同相(在的参考方向关联时，否则)

反相相量图二、电感元件的相量域模型6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式iu+–Ｌ时域形式电感的时域电路相量形式+–jωL电感的相量域模型6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式相量图(在的参考方向关联时，否则)

电感的电压超前电流90

uωtiO6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式三、电容元件的相量域模型+Ｃiu–时域形式电容的时域电路相量形式电容的相量域模型+–6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式(在的参考方向关联时，否则)

iu相量图电容的电流超前电压90

四、正弦独立电源的相量域模型6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式+_+_6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式五、受控源的相量域模型+–u1(t)+–μu1(t)+–+–六、运算放大器的相量域模型6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式虚断路:虚短路:++∞–

++∞i+u––

i–u+6.5电路元件的相量域模型和基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式6.5.2时域形式相量形式时域形式相量形式由正弦量相量变换的基本性质得：6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法正弦稳态无源电路的等效变换6.6.1一、阻抗和导纳电阻电感电容统一表示Ｚ称元件的阻抗Ｙ称元件的导纳6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法以上对元件上电流、电压的相量关系的讨论可以推广到由这些元件构成的不含独立源的一端口。正弦电流源作用下：+–uiiSZ:（复数）阻抗|Z|:阻抗的模φZ:阻抗角+–Z阻抗的图形:6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法如果一端口的阻抗已知，则端口电压可按下式计算Ｘ：电抗Ｒ：电阻电阻的阻抗电感的阻抗电容的阻抗6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法：电阻的阻抗：电感的阻抗：电容的阻抗XＬ:电感的电抗，简称感抗。单位：ΩXＣ:电容的电抗，简称容抗。单位：Ω+–ui+–uS+–+–Y6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法若一端口输入正弦电压源Ｙ:（复数）导纳|Ｙ|:导纳的模φＹ:导纳角导纳的图形:6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法如果一端口的导纳已知，则端口电流可按下式计算Ｂ：电纳Ｇ：电导电阻的导纳电感的导纳电容的导纳6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法ＢＬ:电感的电纳，简称感纳。单位：ＳＢＣ:电容的电纳，简称容纳。单位：Ｓ引入阻抗和导纳的概念后，阻抗（导纳）的串联和并联电路的计算，形式上完全与电阻电路一样，并可以用一个等效的阻抗（导纳）来替代。在这种情况下，阻抗与电阻对应，导纳与电导对应。6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法RLC+–ui时域电路RjωL+–相量域模型（1）Ｚ的实部是电阻，它的虚部是电抗；复阻抗的特点：（2）电抗是ω（正弦激励的角频率）的函数；6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法（3）当Ｘ>０（即ωL>1/

ωC）时，称Z呈感性当Ｘ<０（即ωL<1/

ωC）时，称Z呈容性。（Ｘ>

０或

Z>0

或Ｚ的u

超前i

角

Z

）阻抗三角形（Ｘ<

０或

Z

<0

或Ｚ的u

滞后i

角

Z

）当Ｘ=０（即ωL=1/

ωC）时，称Z呈阻性。（Ｘ＝

０或

Z

＝0

或Ｚ的u

、i同相角

）6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法+–ui时域电路相量域模型jωL+–（2）电纳Ｂ是ω的函数；（1）Ｙ的实部是电导，它的虚部是电纳；6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法（3）当Ｂ>０（即ωC>1/

ωL）时，称Y呈容性,当Ｂ<０（即ωC<1/

ωL）时，称Y呈感性。6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法一般情况下，对于一个由电阻、电感、电容构成的一端口，它的阻抗将是外施正弦激励的角频率ω的函数。即一端口导纳：一端口阻抗：R(ω)jX(ω)Ｇ(ω)jB

(ω)6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法同一个一端口阻抗Z和导纳Y互为倒量，即有：例如：ＲＬ电路的阻抗和导纳表示。BeqGeqYRＸZ注意：例1：已知:求:(1)电流的有效值I与瞬时值i;(2)各部分电压的有效值与瞬时值。在RLC串联交流电路中，6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法RjXL-jXC+_+_+_+_解：相量模型RLC+–ui时域电路6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法（１）（２）6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法通过计算可看出：而是二、阻抗（导纳）的串联和并联、相量图6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法Z1Z2Zn…+–Z+对于阻抗模一般注意：串联+–Y2YnY1Y+6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法对于导纳模一般注意：并联6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法两阻抗并联时：+–Z２Z1等效阻抗：分流公式：6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法相量图在正弦稳态电路分析中，往往需要作一种能反映KCL、KVL和电压、电流关系的相量，这种图称为电路的相量图。它用几何图形来表示各相量的关系，并可以辅助电路的分析计算。图中除了按比例画出各相量的模外，最重要的是确定各相量的相位关系。它们是根据元件（或支路）的阻抗（导纳）角的特性来相对确定的。在作相量图时，可以选择某一相量作为参考相量，而其它有关相量就根据它来加以确定。参考相量的初相可取为零，也可取其他值，视不同情况而定。6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法在作串联电路的相量图时，一般取电流为参考相量，从而确定各元件的电压相量。表达KVL的各电压相量可按向量求和的方法作出。在作并联电路的相量图时，一般取电压为参考相量，从而确定各元件的电流相量。表达KCL的各电流相量可按向量求和的方法作出。

6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法例：画相量图RjXL-jXC+_+_+_+_解：同理：++--+-有两个阻抗它们串联接在的电源;求:和并作相量图。例:6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法或利用分压公式：注意：相量图++--+-6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法正弦稳态电路的方程法分析6.6.2

根据相量法的特点，可见电路基本定律的相量形式，在形式上与线性电阻电路相同。对于电阻电路，有对于正弦稳态电路，有所以分析计算线性电阻电路的各种方法和电路定理，用相量法就可以推广于正弦稳态电路，其差别仅在于所得到的电路方程为相量形式的代数方程（复数方程）以及用相量描述的定理，而计算为复数运算。6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法下面通过一些实例来加以说明。6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法例6-8:+–4Ω2Ω12jΩ-j2Ω解：节点1节点2补充方程解出：应用电路基本定理分析正弦稳态电路6.6.36.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法例6-11：解：分解电路。取内电路，求开路电压：+–+–+–4Ω2H1/2F–++–+–2Ω+–+–4Ω2H1/2F–+6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法求戴维南等效阻抗：+–+–4Ω2H1/2F–++–所以例1

求图(a)的戴维南和诺顿等效电路。解：开路电压:将电流源置零，加流求压法求输出阻抗短路电流：戴维南和诺顿等效电路如图(b)和(c)。解：利用迭加定理、线性、互易定理例2

已知图(a)中，

求图(b)中时，无源22‘1‘1+-+-(a)无源22‘1‘1+-+-(b)由互易形式二，得：无源22‘1‘1+-+-(c)由线性，得图(b)中

单独作用时

：由叠加得图(b)中和共同作用时

：例3

用网孔法、节点法和戴维南定理求i2(t)。已知：解：相量模型如图(b)所示，+uS-i3i1i2+-3i33H0.5F2

1

3

设网孔电流如右图，直接列出网孔方程代入得方程解得1、网孔分析列出节点电压方程代入解得2、节点分析(1)由图(c)电路求端口的开路电压。列回路方程：解得3戴维南定理求(2)加流求压法，求图(d)输出阻抗Zo。由(1)、(2)得代入式(3)得由图(e)得

例4

试求电流i1(t)。已知：解：相量模型如图(b)所示，其中列图(b)相量模型的KCL和KVL方程解得：时间表达式法1：支路分析设网孔电流如图(b)所示列出网孔电流方程解得法2：网孔分析时间表达式用导纳参数的相量模型如图所示，其中参考节点如图，直接列出节点电压方程解得法3：节点分析两个独立电源单独作用的电路如下图分别求电流相量，然后相加得电流相量法4：叠加定理先求连接电感的网络的戴维南等效电路(1)断开电感支路得图(a)电路，求端口开路电压

法5：戴维南定理得图(c)电路，求电流(2)将图(a)电路中独立电源置零，得图(b)电路，求单口网络的输出阻抗例5

试求图(a)所示单口网络在

=1rad/s和

=2rad/s时的等效导纳。解：由图(b)和(d)相量模型可得等效导纳应用相量图分析正弦稳态电路6.6.46.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法+a–XCXLRb解：例6-14：

已知IC=IR=10A，Ｕ

=100V，端口的电压电流

同相，求Ｉ、Ｒ、XC、XL。6.6正弦稳态电路的相量域模型分析方法解：+a–XCXLRb+–因此可得：6.7正弦稳态电路的功率瞬时功率6.7.1

图示的正弦稳态一端口电路，设其电压和电流分别为：+–u(t)i(t)一般正弦稳态电路设，一端口电压、电流的相位差

u(t)和u(t)的参考方向关联时，则一端口电路吸收的瞬时功率为：设：6.7正弦稳态电路的功率恒定分量正弦分量p

t

u0iUIcos

瞬时功率的特点：（1）瞬时功率的频率是电压或电流频率的两倍

（2）在u和i为零的瞬间，p＝06.7正弦稳态电路的功率（3）在标定的电压和电流的参考方向下，当同时满足u＞0

和i＞0的时间段或u＜0和i＜0的时间段内，瞬时功率为正值p＞0，电路从外部吸收能量；其余时间段内，瞬时功率为负值（p＜0），电路向外部释放能量

即：每一个周期内有两段时间u与i的方向相反。这时输入的功率p<0,表示该一端口把能量输出（见图中涂黑部分）。6.7正弦稳态电路的功率

在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。耗能元件上的瞬时功率(总为正值)储能元件上的瞬时功率(正负等值变化)

t0UIcos

(1-cos2t)UIsin

sin2t6.7正弦稳态电路的功率若一端口分别为R、L、C单个元件：电阻Ｒ，φ＝０，电感L，φ＝π/2，电容Ｃ，φ＝－π/2，pＲ表明电阻的耗能特性pＬ和pＣ分别表明电感和电容的储能特性瞬时功率的实用意义不大，为了充公反映正弦稳态电路能量交换的情况，定义如下3种功率：6.7正弦稳态电路的功率平均功率和无功功率6.7.2若一端口不含独立源时，λ称为一端口的功率因数。λ>0表明该网络吸收有功功率；λ<0表明该网络发出有功功率；一、有功功率或平均功率Ｉcosφ、

Ucosφ分别称为电流、电压的有功分量6.7正弦稳态电路的功率有功功率Ｐ的单位：Ｗ（瓦）可以证明：即无源一端口有功功率等于各电阻消耗的平均功率的和二、无功功率反映一端口与外部往返交换能量的幅值。6.7正弦稳态电路的功率无功功率Ｑ的单位：Var（乏）Ｉcosφ、

Ucosφ分别称为电流、电压的有功分量sinφ>0,认为一端口“吸收”无功功率；sinφ<0,认为一端口“发出”无功功率；对一端口：对单一元件：吸收，发出。6.7正弦稳态电路的功率视在功率Ｓ6.7.3即端口电压、电流有效值的乘积，单位：ＶＡ。用电设备（如电机、变压器）的容量用视在功率表示。以上三种功率都从不同的角度说明正弦稳态电路的功率。它们满足下列关系：即有功率三角形6.7正弦稳态电路的功率因为复功率S6.7.4所以LoadZ6.7正弦稳态电路的功率R、Ｌ、Ｃ的复功率分别为：引入复功率的目的：能够直接应用相量法计算出来的电压相量和电流相量，使上述三个功率的计算和表述简化。但应注意，复功率不代表正弦量，也不直接反映时域范围的能量关系。有功无功对于正弦稳态电路，可以证明电路中的复功率守恒，有，6.7正弦稳态电路的功率同时有电路总的有功功率是电路各部分有功功率之和。总的无功功率是电路各部分无功功率之和。总的视在功率并不是各部分视在功率之和。或但是6.8最大功率传输定理(b)负载ZL吸收的有功功率负载ZL的电流Linearcircuit(a)ZL6.8最大功率传输定理所以即当,负载ZL吸收的有功功率为最大值：最大功率传输定理当则注意：共轭匹配时能量的传输效率6.9功率因数的提高一、功率因数

ZLoad：负载的功率因数：负载的电压与电流的相位差、