期中仿真模拟卷（解析版）-【尖子生题典】2021-2022学年八年级下册数学训练（北师大版）

期中仿真模拟卷(解析版)

一、单选题

1.如图，等边△ABC中，为BC边上的高，点M、N分别在A。、4c上，且A;W=CN,连BM、BN,

当BM+BN最小时，NMBN的度数为()

A.15°B.22.5°C.30°D.47.5°

【答案】C

【分析】

如图1中，作C/7LBC,使得C4=BC,连接MY,BH.证明△A8M/△CMV(SAS),推出8M=”N,

由BN+H也BH,可知8,N,H共线时，8M+BN=N〃+8N的值最小，求出此时即可解决问题.

【详解】

解：如图1中，作C，_LBC,使得C”=8C,连接N”，BH.

•..△ABC是等边三角形，AD1BC,CHLBC,

：.ADAC=ZDAB=3O°,AD//CH,

：.ZHCN=ZCAD=ZBAM=30°,

,:AM=CN,AB=BC=CH,

:AABM^ACHN(SAS),

；.BM=HN,

"：BN+HN>BH,

：.B,N,“共线时，BM+8N=N”+8N的值最小,

如图2中，当B,N,H共线时,

■:4ABM迫XCHN,

：.NABM=NCHB=NCBH=45°,

\"ZABD=60°,

：.ZDBM=}5°,

ZMBN=45°-I5°=3O°,

当BM+BN的值最小时，NM8N=30。，

故选：C.

【点睛】

本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决

问题.

2.如图，P是NAO8平分线上一点，。尸=10,ZAOfi=120°,在绕点P旋转的过程中始终保持

NMPN=60。不变，其两边和OA,OB分别相交于M,N,下列结论：①APMV是等边三角形；②MN的

值不变；③。M+ON=10；④四边形PMON面积不变.其中正确结论的个数为（）

【答案】B

【分析】

如图作PE_LOA于E,PFLOB于F.只要证明RdPOE四对△尸。尺△PEM^^PFN,即可——判断.

【详解】

如图作P凡LOA于E,PEL08于F.

■:NPEO=NP"O=90。，

：.ZEPF+ZAOB=\SO°f

9

：ZMPN+ZAOB=\SO°t

A/EPF:NMPN,

：./EPM=/FPN,

VOP^ZAOB,PELOA于E,PFJ_O3于尸，

:.PE=PF,

在和心△尸。尸中，

[OP=OP

[PE=PF9

:・RM0EtRMOF(HL),

:.OE=OF,

在ZiPEM和△PFN中，

NMPE=/NPF

<PE=PF,

NPEM=/PFN

：./\PEM^/\PFN(ASA),

:・EM;NF,PM=PN,S/EM二SAPNF,

■:ZMPN=60°

••.△PMN是等边三角形，故①正确；

•:SAPEM=SAPNF,

:・SP典形PMON=S四边形PEOF二定位,故④正确；

,/OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=10,故③正确；

VA7,N的位置变化,

...MN的长度是变化的，故②错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.

3.已知AABC的三个内角分别为NA、SB、ZC,三边分别为°,b,c,下列条件不能判定AABC是直角

三角形的是()

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.ZA=ZB+ZC

C.b2=(a+c)(a-c)D.a:Z?:c=5:12:13

【答案】A

【分析】

根据直角三角形的定义，三角形内角和定理，只要证明有一个角等于90。即可得该三角形是直角三角形；

三边满足勾股定理的逆定理的三角形是直角三角形.

【详解】

解：A.ZA:ZB:ZC=3:4:5,假设ZA=3a,则ZA+N3+NC=3a+4c+5a=180。，解得：a=15°,

即：NA=45。，ZB=60°,ZC=75°,不能判定AABC是直角三角形，符合题意；

B.ZA=ZB+ZC,VZA+ZB+ZC=2ZA=180°,/.ZA=90°,能判定AABC是直角三角形，不符合题

意；

C./=(q+c)(a-c),化简后得：从=/_02,即：h2+c2=a2,可以判定AABC是直角三角形，不符合

题意；

D.a:b:c=5:U:l3,'：/+6=25+144=169=。\•••可以判断A4?C是直角三角形，不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查直角三角形的判定，可以利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理；关

键是证明三角形中有一个角等于90。，即可判定为直角三角形.

4.如图，在AABC中，AB=AC,边AC的垂直平分线MN分别交A8,AC于点M,N,点。是边BC

的中点，点尸是上任意一点，连接PO,PC,若NA=a,ZCPD=/3,APCD周长最小时，a,p

之间的关系是()

|>

——L—

A.a>J3B.a<pC.a=0D.a=90°-f3

【答案】C

【分析】

连接AP,根据线段垂直垂宜平分线的性质可知必=PC,ZPAC=ZPCA.由4PS=DP+PC+C。，即得

出4.e=OP+PA+CD,由此可知当A、尸、。在同一直线上时，4，心最小.再根据等腰三角形“三线合

一'’的性质可知为NB4C的平分线，即NPAC=《NA=!a.最后根据三角形外角性质即得出

22

J3=ZPAC+ZPCA,由此即可判断a=#.

【详解】

如图，连接AP,

•.•直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，

APA=PC,ZPAC=ZPCA.

•：L^PCD=DP+PC+CD,

：.L^PCD=DP+PA+CD.

由图可知CO为定值，当A、P、。在同一直线上时，DP+E4最小，即为AD的长，

,此时孙co最小.

•。是边8c的中点，AB=AC,

为N84C的平分线，

ZPAC=-ZA=-a.

22

,:ZCPD=ZPAC+ZPCA,即夕=NPAC+ZPC4,

:・a=p.

A

故选c.

【点睛】

本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质.根据

题意理解当A、P、。在同一直线上时最小是解题关键.

5.如图，已知在AABC中，NABC=90。，点。，E分别在边BC,AB上，CD=DE,ZDEB=NC,若

NBA。=20。，则NC的度数为()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】

过点。作ACT点F.由题意易证且OFC(AAS),即得出说明AD为NBAC的角

平分线，即可求出㈤C的大小，从而可求出NC的大小.

【详解】

如图，过点。作DFLAC于点F.

'NDFC=NDBE=90。

：.在QBE和/XDFC中■NC=NDEB,

CD=DE

；.^DBE^DFC(AAS),

/.DF=BD,

.♦.AD为NBAC的角平分线,

:.ABAC=2NBAD=40°,

Z.ZC=90°-ABAC=50°.

故选C.

【点睛】

本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理.作出常用的辅助线是解题关键.

6.甲在集市上先买了3只羊，平均每只。元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只号元

的价格把羊全卖给了乙，结果甲发现赚了钱，赚钱的原因是（）

A.a=bB.a>b

C.a<bD.与a、b大小无关

【答案】C

【分析】

分别求出买5只羊的总费用和卖掉5只羊的总收入，再利用不等式的性质比较大小即可

【详解】

解：由题意，甲买羊共付出（3a+%）元，卖羊的共收入也箸元，

•••甲赚了钱，

解得：a<b,

故选：C.

【点睛】

本题考查列代数式、不等式的基本性质，理解题意，正确列出代数式和不等式是解答的关键.

7.下列说法不正确的是（）

A.由a>b,得b<aB.由得x>-2y

C.不等式xW9的解一定是不等式x<10的解D.若a>b,则砒工〉机（c为有理数）

【答案】D

【分析】

根据不等式的性质、不等式的解集逐一进行分析判断即可得.

【详解】

A.由。>b,得正确，不符合题意；

B.由得x>-2y,正确，不符合题意；

C.不等式X49的解一定是不等式x<10的解，正确，不符合题意；

D.若a>b,当c=0时，"2=乩2"为有理数），故D选项错误，符合题意，

故选D.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，不等式的解集，熟练掌握不等式的性质和正确理解不等式的解集的概念是解

题的关键.

A.x<-2B.x>~2C.x<0D.x>0

【答案】B

【分析】

根据已知条件和一次函数的图象得出答案即可.

【详解】

解：由图象可得：当x>-2时，2x+8>4,

所以不等式2x+8>4的解集为x>-2,

故选：B.

【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=or+b的值大

于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=h+b在x轴上（或下）

方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

9.平面直角坐标系xOy中，点尸的坐标为(3机-4m+4),一次函数y=gx+12的图像与x轴、y轴分别

相交于点A、B,若点P在AAO8的内部，则用的取值范围为()

A.m>一1或相<0B.-3</??<1C.-1</?2<0D.-1<7H<1

【答案】C

【分析】

44

由y=§x+12求出A,3的坐标，根据点尸的坐标得到点尸在直线y=-]X+4上，求出直线与y轴交点C

的坐标，解方程组求出交点E的坐标，即可得到关于m的不等式组，解之求出答案.

【详解】

4

解：当y=§x+12中y=0时，得x=-9；尸0时，得尸12,

・・・A(-9,0),B(0,12),

点P的坐标为(3孙-4m+4),

当，”=1时，P(3,0)；当”?=2时，P(6,-4),

设点P所在的直线解析式为)，="+6,将(3,0),(6,-4)代入,

k=--,b=4,

3

4

.•.点P在直线>=丁+4上,

当x=0时，y=4,AC(0,4),

y=3+12

,解得x=-3

34：.E(-3,8),

y=8

y=——x+4

*3

二点尸在△AO8的内部,

J-3<3m<0

14<-4/n+4<8

1</;7<0,

故选：c.

【点睛】

此题考查了一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数图象的交点，解一元一次不等式组，确定点P在直

4

线丫=-；工+4上是解题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，点A,C,E的坐标分别为(0,4),(8,0),(8,2),点

P,Q是OC边上的两个动点，且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为()

A.(2,0)B.(3,0)C.(4,0)D.(5,0)

【答案】C

【分析】

先分析四边形APQE的周长最小，则AP+EQ最小，如图，把的沿x轴正方向平移2个单位长度得A依,

作E关于x轴的对称点“，则H(8,-2),连接AH交x轴于&则Ajt+EK=AH,所以当0,K重合时，

A跄+QE最小，即AP+QE最小，再利用一次函数的性质求解一次函数与x轴的交点K的坐标即可得到

答案.

【详解】

解：•••四边形4PQE的周长=AP+PQ+E0+AE,

•••PQ=2,A(0,4),£(8,2),

\AE+PQ是定值，

所以四边形APQE的周长最小，则AP+EQ最小，

如图，把心沿x轴正方向平移2个单位长度得A啦，则A《2,4),

则朋2=AP,

作E关于X轴的对称点,则”(8,-2),

连接A77交x轴于K,则A灭+EK=AH,

所以当0，K重合时，力幻+QE最小，即AP+QE最小,

设A77的解析式为：y=kx+h,

\2k+b=^lk=-1

解得:

\^>k+b=-2\b=6

所以A，H的解析式为：y=-x+6,

令y=0,则x=6,则K(6,0),B|J2(6,0),

P(4,0).

故选C

【点睛】

本题考查的是利用轴对称的性质求解四边形的周长的最小值时点的坐标，平移的性质，利用待定系数法

求解•次函数的解析式，掌握。的位置使周长最小是解本题的关键.

二、填空题

11.如图，在等边AABC中，AB=10,BD=4,3E=2,点尸从点E出发沿E4方向运动，连接尸£>,以

PD为边,在尸拉的右侧按如图所示的方式作等边皿不，当点P从点E运动到点A时■，点尸运动的路径

长是一

【答案】8

【分析】

连接OE,作于如图，根据等边三角形的性质得NB=60°,过。点作DELAB,则

BE'=-BD=2,则点？与点E重合，所以/皮）E=30。，DE=y/^BE=2^,接着证明ADPE三AFDH得

到用=DE=2后，于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2百，当点尸在E点

时，作等边三角形则。耳，BC,当点P在A点时，作等边三角形。4鸟，作鸟Q^BC于。，则△

DF2Q^^ADE,所以OQ=AE=8,所以K鸟=。。=8,于是得到当点尸从点E运动到点A时，点F运

动的路径长为8.

【详解】

解：连接DE,作于"，如图所示：

.­.ZB=60°,

过。点作Z)£_L/W，则8E'=g8£>=2,

，点E'与点E重合，

.-.ZBDE=30°,DE=6BE=26,

•••皿町为等边三角形，

/.ZPDF=60°,DP=DF,

:.ZEDP+NHDF=90。,

;NHDF+NDFH=90。,

:.ZEDP=ZDFH,

在ADPE和好£)〃中，

ZPED=ZDHF

<NEDP=ZDFH,

DP=FD

:.ADPE三:AFDH,

A

..•点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2百，

当点尸在E点时，作等边三角形。叫，/6£)Fl=30°+60°=90°,则什，8C,

当点尸在A点时，作等边三角形作GQLBC于。，则^。心QWA4OE,

DQ=4E=10-2=8,

:.FiF2=DQ=S,

■­•当点尸从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8.

故答案是：8.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，也考查了等边三角形的性质.在解决问题时，关键要掌握点运动

的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律.

12.如图，在AABC中，AB^AC,BC=6,△ABC的面积为30,AC的垂直平分线EF分别交AB,AC于

点E,F.若。为8c的中点，尸为线段EF上一动点，则△「(?£＞周长的最小为.

【答案】13

【分析】

如图所示，连接AP,根据线段垂直平分线的定义得到AP=CP,则△尸C。的周长

=PC+PD+CD^PA+PD+CD,从而可以推出当A、P、。三点共线时，必+P0的值最小，即为A£),再根据

三线合一定理得到AD_LBC,BD=CD=3,再根据三角形面积求出AO的长即可得到答案.

【详解】

解：如图所示，连接AP,

是线段AC的垂直平分线，

：.AP=CP,

：.IXPCD的周长=PC+尸力+CO=/?4+PO+C。，

要使△PC。的周长最小，即P£>+PC的值最小，即AP+P。的值最小,

...当A、尸、。三点共线时，出+尸。的值最小，即为AQ,

•：AB=AC,。为8c的中点，BC=6,

：.AD±BC,BD=CD=3,

♦；△ABC的面积为30,

：.-BCAD^30,

2

：.AD=10,

...△PCD的周长的最小值=4。+。=13,

故答案为：13.

【点睛】

本题主要考查了垂直平分线的性质，三线合一定理，熟知垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关

键.

13.如图，AABC的内角NA8C的平分线8P与外角NAC。的平分线CP交于点P,连接AP,若

ZBPC=46°,则NC4P=.

【答案】44。##44度

【分析】

过点P作PFLA8于F,PM_LAC于M,PN1CD于N,根据三角形的外角性质和内角和定理，得到

NBAC度如再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出NR4P=NC4P,即可得到答案.

【详解】

如图，过点P作尸于F,PM_LAC于M,PN^LCD于N,

设NPCD=x,

・・・。尸平分/4CO,

:.ZACP=/PCD=x,PM=PN,

：.ZACD=2x,

,.・3P平分NA3C,

:,ZABP=NPBC,PF=PM=PN,

,:"PC=46。,

:.ZABP=Z.PBC=NPCD—/BPC=x-46°,

.・.ZABC=2(x-46°),

・・・ABAC=ZACD-ZABC=2x-2(x-46°)=92°,

・♦・ZFAC=180°-92°=88°,

在Rt^APF和RsAPM中，

JAP=AP

、PF=PM'

・・.RsAPF二RSAPM(HL),

：.ZFAP=ZCAP,

：.ZCAP=-NE4c=L88。=44。.

22

故答案为：44°.

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性

质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出44C=88。是关键.

14.小明在解一个一元一次不等式时，发现不等式的右边“■”处被墨迹污染看不清，所看到的不等式是：

l-3x<■，他查看练习本后的答案才知道这个不等式的解集是x>5,那么被污染的数是.

【答案】-14

【详解】

分析：设被污染的数为表示出不等式的解集，根据已知解集确定出。的值即可.

详解：设被污染的数为“，不等式为1-3x<”.

解得：x>?，由己知解集为x>5,得到：9=5,解得：a=-14.

故答案为-14.

点睛：本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集的求法是解答本题的关键.

15.一次函数（A是常数，且原0）和”=x+l图像的交点始终在第三象限，则出的取值范围是

【答案】一1<%<1且

【分析】

联立方程组求出交点坐标，由于交点在第三象限，即可得横纵坐标都为负数，解不等式即可.

【详解】

y=kx-\

y=x+\

解得:

k+1

y=-——

.k-\

...交点坐标为（三7,L汨+i）,

k-\k-1

,交点在第三象限,

**------<0,即k—\<0,

k-\

解得：k<1,

——<0,即2+1>0,

k-l

解得：Z>—1,

・・・一1<女<1且丘0.

故答案为：一1（女<1且ZwO.

【点睛】

本题考查一次函数交点问题以及解不等式，掌握分数小于0,则分子分母异号是解题的关键.

2x2-1

16.不等式组-3二92。的所有整数解的和是

【答案】6

【分析】

先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，然后从解集中找出所有的整

数相加即可.

【详解】

J2"①

"|-3^+9>0@，

解①得：x>,

解②得：比3,

•••不等式组的解集是：一

...其中的整数有：0,123,

二0+1+2+3=6.

故答案为6.

【点睛】

本题主要考查了解不等式组，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大

大小小无解.

17.如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一

个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有种不同的涂法.

【答案】3

【分析】

直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案.

【详解】

如图所示：当将1,2,3涂成黑色可以构成一个轴对称图形,

3

故有种不同3的涂法.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键.

18.如图，。是正方形ABCO的中心，M是ABC。内一点，ZDMC=90°,将AQMC绕。点旋转180。后

得到若MD=3,CM=4,则MN的长为,

【答案】y/2

【分析】

延长BN交CM与E,判定ANME为等腰直角三角形，求出NE的长，再据勾股定理可计算得MN的

长.

【详解】

解：如下图

在正方形ABCD中

延长BN交CM于E,

由题意据中心对称的性质，得NABE=/CDM,NMDC与/MCD互余，NABE与NEBC互余

，NEBC=/DCM；

同理可得NMCB=NABN

又NABN=/CDM

AZMCB=ZMDC

又BC=CD

AABEC^ACMD

，NBEC=NCMD=90。BE=CM=4CE=DM=3

二ME=CM-CE=1,NE=BE-BN=1

所以^MNE为等腰直角三角形，且/NEM是直角，ME=NE=1,由勾股定理得M^NErME1=0

故答案为：0.

【点睛】

此题考查综合运用中心对称的性质解决问题.其关键是要运用中心对称的性质找全等条件，证明

△BEC^ACMD.

三、解答题

19.(1)解不等式：号-空>1

5x+2y=1

(2)解方程组：,y-\

x-----=2

3

【答案】⑴x<-l

【分析】

(1)根据解一元一次不等式的步躲求解即可;

(2)利用加减消元法求解即可.

(1)

2x-l5x+l,

解：------—>1

32

去分母得：2(2x-l)-3(5x+l)>6,

去括号得：4x-2-15x-3>6,

移项得：4x-15x>6+2+3,

合并得：

系数化为I得：x<-l：

⑵

5x+2y=1

5x+2y=l①

整理得:

3x-y=5②

用①+②x2得：1lx=11,解得x=1,

把x=l代入到①得：5+2y=l,解得y=-2,

fx=l

方程组的解为｛c

[V=-2

【点睛】

本题主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，熟知相关解题步骤是解题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，aABC的三个顶点坐标分别为4(I,I),8(3,4),C(4,2).

⑴在图中画出“BC关于x轴对称的“向。；

(2)通过平移，使。移动到原点。的位置，画出平移后的282c2.

(3)在AABC中有一点尸(相，〃)，则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶(，"-4,-〃+2)

【分析】

(1)依据轴对称的性质，即可得到△A8C关于x轴对称的△A/8/Q；

(2)依据。移动到原点。的位置，即可得到平移的方向和距离，进而得到平移后的△AzB2c2.

(3)依据轴对称的性质以及平移的性质，即可得到两次变换后点尸的对应点P2的坐标.

(1)

如图所示,△A/8/O即为所求:

(2)

如图所示，△A282c2即为所求；

(3)

点、P(W,〃)经过第一次变换后的点B的坐标为(，〃，-〃)，经过第二次变换后的对应点P2的坐标为(〃?-

4,-n+2).

故答案为:(叱4,-n+2).

【点睛】

本题考查了利用平移变换和轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后

顺次连接.

21.如图1,在平面直角坐标系X。)，中，直线BCL4C,NABC=30。，点C(l,26),

(1)请直接写出点8的坐标；点4的坐标：；

(2)点尸为直线BC上位于第一象限内一点，且△布C的面积为16G，求点尸的坐标；

(3)如图2,将AACB绕点B顺时针方向旋转60。，得到ABGH,使点A与点”重合，点C与点G重合，

将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△夕G7T,在平移过程中，设直线夕厅与x轴交于点”,

是否存在这样的点M,使得△夕MG，为等腰三角形?若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理

由.

【答案】(1)(-5,0),(3,0)

(2)P(13,6石)

(3)存在，M(-873-5,0)

【分析】

(1)作解直角三角形BC”和ACH,进而求得结果；

(2)求出3c的函数关系式，设出点尸的坐标，根据面积列出方程求得结果;

(3)判断出夕进而解直角三角形进一步求得结果.

(1)

解：(1)如图1,过点C作CHLAB于点儿

•.•点C(l,26),

：.OH=\,C”=2G，

VZABC=30°,ZACB=90°,

:.BC=2CH=46,BH=y/3CH=6,NBCH=60。,

：.BO=5,

二点8坐标为(-5,0),

,:N4C”=90°-60°=30。，

：.AC=2AH,CHfAH,

：.AH=2,AC=4,

：.AO=3,

二点A坐标为(3,0),

故答案为：(-5,0),(3,0)；

⑵

设直线8C解析式为：y=kx+b,

■:点B(-5,0),点C(l,26),

0=-5*+/?

由题意可得：°U,

[2v3=k+b

k=——

解得：3

,5G

b=-----

3

・•・设直线8c解析式为：y=2x+空,

'33

设点P(a,当。+竽)

SA%C=-^x8xa+2>/3=16>/3

47=13,

・♦・点。(13,6拘

(3)

如图2,

VZABC=30°fZABH=60°,

・・・ZCBH=90°f

:・BH工BC,

：.BHLBC,

：.NM8'8=90。，

；・MB，=GB=BC=46

■:NM8B'=NA8C=30。，

・・・BM=2MB'=86,

；.0M=BM+0B=86+5,

：.M(-873-5,0).

【点睛】

本题考查了一次函数与几何的综合与运用，涉及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转和平移变

换等知识，解决问题的关键判断等腰三角形的底和腰及画出图形.

22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数〉=入+%的图象经过点A(-2,6),且与x轴相交于点8,

与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为I.

(2)请直接写出不等式kx+b-3x>0的解集；

⑶若点。在y=3x上，且满足SABCC=2Szk8OC,求点。的坐标.

【答案】(1)&=-1,b=4

(2)不等式kx+h-3x>0的解集为xv1

(3)点。的坐标为：(7-3)或(3,9)

【分析】

(1)先确定C点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到女、人的值;

(2)结合函数图象，写出直线丫=h+〃在直线y=3x匕方所对应的x的范围即可；

(3)先确定8点坐标，设点。(，加3团)，则E(m,T"+4),DE=|4-4m|=8,然后求出机即可得到。点坐

标.

(1)

解：当x=l时，y=3x=3,

.•.C点坐标为(L3).

•.•直线y=b+/>经过(-2,6)和(1,3),

j6=-2&+bZ=-l

(3=&+b解得:

b=4

・・.一次函数的解析式为y=r+4,

(2)

解：根据函数图象可知，不等式去+力＞3x的解集是xvl；

(3)

解：如图，在直线y=3x上任取点Q,过点。作。《〃丁轴交直线A8于点E

当y=0时，即0=_%+4,解得x=4,

.・.8(4,0)

*#•^Aflco=QX4X3=6

■:SABCD=2SABOC

S"CD=12

i3

=—X=

•^ABCDS2X8OE-=—»DE«（XBc）2DE

3

：.-DE=\2

2

：.DE=8

设点。W,3/M）,则E（m-m+4）

:.DE=|-m+4-3/n|=|4-4/n|

/.|4-4/n|=8,解得〃2=—1或6=3

・・・点。的坐标为：（-1，-3）或（3,9）

【点睛】

本题考查了待定系数法求•次函数解析式、一次函数与•元一次不等式以及一次函数面积问题，解题关

键是利用铅锤法表示三角形面积，注意分类讨论.

23.为了更好地治理水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、2两种设备，

A、8的单价分别为。万元/台和〃万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台4

型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元.

⑴求“、b的值;

(2)经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省

钱的方案.

【答案】(1)。=12,反10

(2)三种方案，见解析

(3)见解析

【分析】

(1)将等量关系A单件-8单价=2,2台A设备费用=3台8设备费用-6,转化成等式，构造方程组求解.

(2)设购x台A设备，则购置(10-x)台B设备,根据费用构造不等式求解.

(3)设购x台A设备，则购置(10-x)台8设备，根据污水处理能力构造不等式求解.

(I)

根据题意，得

[a-b-2

\3b-2a=6'

故A、B的单价分别为12万元/台和10万元/台.

(2)

设购x台A设备，则购置(10-x)台8设备，根据题意，得

12x+10(10-.r)<105,

解得烂2.5,

0<x<2.5,

是整数，

.,.x=0,1.2,

...公司有3种购买方案，具体如下：

第一种方案：产0,10-410即全部购买8种设备；第二种方案：尸1,10-户9即购买1台4设备，9台8

种设备；第三种方案：入=2,10-尸8即购买2台A设备，8台8种设备.

(3)

设购x台A设备，则购置(10-x)台8设备，根据题意，得

121+10(!0-x)>2040,

解得x>l,

/.l<x<2.5,

是整数，

.*.x=l,2,

公司有2种购买方案，具体如下：

第一种方案:户1,10*9即购买1台A设备,9台B种设备，总费用为lx即+9x10=102(万元);

第二种方案：x=2,10-48即购买2台4设备，8台8种设备，总费用为2x12+8x10=104(万元)，

故按照第一种方案购买最省钱.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练列出方程组合不等式是解题的关键.

24.如图所示，直线AB交无轴于点ACa,0),交y轴于点8(0,b),且a、满足港+b+(a-4)2=0,C

的坐标为(-1,0),且于点H,AH交OB于点P.

(1)如图1,写出。、6的值，证明△AOPg/XBOC；

(2)如图2,连接。求证：ZOHP=45°；

(3)如图3,若点。为的中点，点〃为y轴正半轴上一动点，连接过。作£>"，。〃交》轴于

N点,当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求证：SABDM-S温DN=4.

【答案】(I)a=4,b=-4,见解析；(2)见解析：(3)见解析

【分析】

(1)先依据非负数的性质求得。、6的值从而可得到。4=OB,然后再NCOB=NPQ4=90。，

NOAP=NOBC,最后，依据ASA可证明△QgAQBC；

(2)要证NO〃P=45。，只需证明〃。平分过。分别作OMJ_C8于例点，作ON_LH4于N

点，只需证到OM=ON,只需证明ACOM9相ONHP可；

(3)连接O0,易证△ODM也AAZW,从而有SA。.SMDN，由此可得

SgDM~SM刈=S^DM~SAODM=M3OD~•

【详解】

(1)解：,**\]a+b+(a—4)2=0,

,\a+b=O,。-4二0,

/.a=4,b=-4t

则3=03=4.

・・・A//_L3c即ZA//C=90。，ZC6)B=90°,

/.ZHAC+ZACH=NOBC+Z.OCB=90°,

/.ZHAC=NOBC.

在与AQBC中，

ZCOB=ZPOA=90°

<0A=OB,

40AP=NOBC

:.\OAP^\OBC(ASA)；

(2)证明：过。分别作OM_LC3于/点，作OVJ_H4于N点.

在四边形O""N中，/MON=360。—3X90。=90。,

.・.NCOM=4PON=90°-ZMOP.

•/AOAP^AOBC,

:.OC=OP,

在ACO用与"ON中，

/COM=ZPON

<ZOMC=40NP=90。，

OC=OP

:.\COM^^PON(AAS),

：.OM=ON.

•・・OM工CB,ON1HA,

・・.H0平分NCHA,

ZOHP=-ZCHA=45°；

2

(3)证明：如图：连接OO.

QZAOB=90°,OA=OB,。为A5的中点，

,\OD±ABfZBOD=ZAOD=45°fOD=DA=BD,

ZOAD=45°,ZMOD=900+45°=135°,

^DAN=135°=ZMOD.

•・•MD_LM）即4MDN=90°,

：.ZMDO=ZNDA=900-ZMDA.

在AODM与MOV中，

ZMDO=/NDA

•/DOM=/DAN,

OD=AD

/^ODM^MDN（ASA）,

…S&ODM=^AADN•

:•S^DM-SMON=5AWW-SAODM=SABO"=3S1VIO0=3xAO.8O=gx3x4x4=4.

【点睛】

本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定、

二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三

角形的性质则是解决本题的关键.

25.如图，在直角坐标系中，一次函数y=x+2的图象与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C的坐标为

（2,0）,连接BC.

(1)判断A45C是不是等腰直角三角形，并说明理由；

(2)若点P在线段BC的延长线上运动(P不与点C重合)，连接"，作”的垂直平分线交y轴于点E,

垂足为。，分别连接E4,EP；

①当点尸在运动时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出/4£2的度数；

②若点P从点C出发，运动速度为每秒1个单位长度，设AMOE的面积为S,点尸的运动时间为r秒，

求S关于，的函数关系式.

【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析；

(2)①ZAEP的度数不变，为90。；②5=2+叵.

2

【分析】

(1)由题意易求出O4=0B=OC=2,即得出AQAB和AOCB都为等腰直角三角形，从而得出

NOAB=NOCB=NOBA=NOBC=45。,即可得出反nBC,ZABC=90°,从而即得出AABC为等腰直

角三角形；

(2)①连接CE,由题意可知点E在线段4c的垂直平分线上，即得出AE=CE,从而得出

NE4C=NEC4.又由E点在AP的垂直平分线上，即可证明CE=PE,即得出NEC?=NEPC.由三角

形外角性质即可求出NEC4+NECP=135。，从而可求出NE4C+N£PC=135。.最后在四边形AEPC中,

利用四边形内角和为360。，即可求出ZAEP的大小.

②取CP中点R连接EF,由等腰三角形“三线合一”可得出EF_L3P.根据(1)可求出

BC=0OC=2近，根据题意可知CP=f.即得出8尸=2夜+：.又易证ABEF为等腰直角三角形，即

得出8E=&BF，从而可用f表示出求OE的长，最后根据三角形面积公式求解即可.

(1)