九年级数学下册《二次函数》单元测试卷（附答案解析）

九年级数学下册《二次函数》单元测试卷(附答案解析)

一、单选题

1.下列函数中，属于二次函数的是()

A.y=V%2+xB.y=(x-I)2—x2

C.y=5%2D.y=^

2.抛物线y=-2(%+3)2-4的顶点坐标是()

A.(-4,3)B.(-4,-3)C.(3,-4)D.(-3,-4)

3.将抛物线y=5(x-1尸+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线

的解析式为()

A.y=5(%-iy+1B.y=5(%-4产+3

C.y=5(%—4)2—1D.y=5(%—3)2+4

4.二次函数y=ax?+bx+c(a、b、c为常数且aWO)中的x与y的部分对应值如下表，该抛物

线的对称轴是直线()

X-1013

y-1353

A.x=OB.x=lC.x=l.5D.x=2

5.下列选项中，能描述函数y=a%2与图象y==ax+b(^ab<0)的是()

「也一B

c71VD

6.若抛物线y=—/—6%+TH与x轴没有交点，J则m的取值范围是()

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A.m>9B.m<9C.m>—9D.m<-9

7.如图，抛物线y=的对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-*+加x-,=0

（1为实数）在1WXW3的范围内有解，则2的取值错误的是（）

A.t=2.5B.1=3C.1=3.5D.1=4

8.已知一元二次方程2x，bx-1=0的一个根是1,若二次函数y=2x?+bx-1的图象上有

三个点（0,y,）,（-1,丫2）、（y3）,则以，丫2,丫3的大小关系为（）

A.yi<y2<y3B.y2<y1<y3C.yi<y3<y2D.y3<yi<y2

9.已知二次函数y=aX2+版+c（a00）其中a,b,c满足a+b+c=0,4a—2b+c=0,

则二次函数图象的对称轴是（）

11

・・x=-

A%=1B%=-1C.2D.%=—2

10.已知二次函数y=ax?+bx+4的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③b?-

二、填空题

11.抛物线y=3%2一6的顶点坐标为.

12.将抛物线y=x,-2x+3向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物

线的解析式为_____________________________

13.二次函数y=/+%+i与y轴交点的坐标为o

14.若点P（m,n）在抛物线y=x2+x—2021上，贝!]m2+m—n的值为.

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15.已知抛物线y=/-%一3经过点/（2,yD、5（3,y2），则与丫2的大小关系是.

16.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1,0）,B（3,0）两点，与y轴

交于点C（0,3）,则二次函数的图象的顶点坐标是.

17.如图，已知二次函数y=ax，bx+c（aWO）的图象与x轴交于点A（-1,0）,与y轴的交

点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=l.下列结论：①abc

>0；②4a+2b+c>0；③4ac-b?>8a；④|<a<|.其中正确的选项是.（填序号）

三、解答题

18.已知抛物线的顶点坐标是（1,-3）,与y轴的交点是（0,-2）,求这个二次函数的解析

式.

19.已知二次函数的图象与x轴交于点（一1,0）和（3,0）,并且与y轴交于点（0,3）.求这

个二次函数表达式.

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20.要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的

抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1加处达到最高，高度为3加，水柱落地处离池中心3勿,

水管应多长？

21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售

价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)。设每件商品的售价上涨x元

(x为正整数)，每个月的销售利润为W元.求每件商品的售价定为多少22.如图，二次函数

y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,顶点为D,求△BCO的

23.如图，已知二次函数y=ax?+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,

0)。点P是直线BC上方的抛物线上一动点

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y

(1)求二次函数y=ax?+2x+c的表达式；

(2)连接PO,PC,并把APOC沿y轴翻折，得到四边形POPC.若四边形POP'C为菱形，请

求出此时点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形

ACPB的最大面积.

元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

参考答案与解析

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、是二次根式的的形式，不是二次函数，故本选项不符合题意；

B、y=(%—I)2—%2=x2—2%+1—%2=—2x+1,不是二次函数，故本选项不符合题意;

C、是二次函数，故本选项符合题意；

D、丫=卷=2%-2,不是二次函数，故本选项不符合题意；

故答案为：C

【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：因为y=-2(x+3)2-4是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为(-3,—4).

故答案为：D.

【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标.

3.【答案】B

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【解析】【解答】解：将抛物线y=5(x-l)向上平移2个单位长度，得到平移后解析式

为：y=5(x-1)2+1+2,即y=5(x-1)2+3,

二再向右平移3个单位长度所得的抛物线解析式为：y=5(x-1-3)?+3,

即y=5(x-4)"+3.

故答案为：B.

【分析】利用二次函数图象的平移规律，"左加右减，上加下减，直接得出答案.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：由表知当x=0和x=3时，y=3,

.•.该抛物线的对称轴是直线*=等，即x=L5,

故答案为：C.

【分析】由表可知当x=0和x=3时，y=3,根据抛物线的对称轴的计算公式可得该抛物线的

对称轴是直线x=等，即x=L5.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：■bVO,

当a>0时，b<0,抛物线yuax?开口向上，直线y=ax+b经过一、三、四象限，故A不符合题

意，D符合题意；

当aVO时，b>0,抛物线y=ax?开口向下，直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B、C不符

合题意；

即D符合题意.

故答案为:D.

【分析】当a>0时，由抛物线丫=2/开口方向及直线丫=2乂+12经过的象限可排除A、C选项；

当aVO时，由抛物线丫=2(开口方向及直线y=ax+b经过的象限可排除B选项.此题得解.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：根据题意得令y=O,

/.—x2—6x+m=Q,

a=—1,b=—6,c=m,

.,.4=b2—4ac=(-6)2+4m<0,

解得zn<-9.

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故答案为：D.

【分析】根据二次函数图像与坐标轴的交点问题即可得出m的取值范围。

7.【答案】A

【解析】【解答】解：•••一=*2,

2a2

/.m=4,

/.y=-x2+4x=-(x-2)2+4,

...顶点坐标为(2,4),

当x=l时，y=3,当x=3时，y=3,

-x2+mx-t=-x2+4x-t=0,

-x2+4x=t,

如图，当y=t,在直线y=3和y=4之间时有解，

，3WtW4,

【分析】根据抛物线的对称轴求出m的值，则知抛物线的解析式，然后求出顶点坐标，把关于

x的一元二次方程在的范围内有解的问题转化为抛物线y=-x2+4x与直线y=t的交

点问题，求出t的取值范围，即可解答.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：一元二次方程2x2+bx-l=0的一个根是1,

?.2+b-1=0,

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...二次函数的解析式为y=2x2-x-l,

.,.当x=0时，y）=-l,

当x=-l时，y2=2,

当x=|时，y3=-^,

•'•yi<y3<y2.

故答案为：C.

【分析】把x=l代入方程得出b=T,从而得出二次函数的解析式为y=2x2-x-l,分别求出y„

%,%的值，再进行比较，即可得出答案.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：二次函数、=s"+b%+c（a。0）中，

•••当％=1时，y=a+b+c=0,当％=—2时，y=4a-2b+c=0

二二次函数图象的对称轴为％=瞪=一：

故答案为：D.

【分析】根据已知可得当x=l时，x=2时，y值相等为0,从而得出点（1,0）、（-2,0）关于对

称轴对称，据此求解即可.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c（a7^0）的图象开口向上可得a>0,交y轴于负半轴

可得c<0,

由-=〈0,可得b>0,.•.abc<0，故①错误；..•当x=l时，y=2,，a+b+c=2,故②正确；

2a

.抛物线与x轴有两个交点，b2-4ac>0,故③正确；由图可知，当X=-1时，对应的点在第三

象限，

将x=-l代入y=ax2+bx+c,得a-b+c<0,将a-b+c<0与a+b+c=2相减，得-2b<-2,即b>l,故

⑤正确；\.对称轴x=-2〉T,，a>；,故④错误.

2a2

综上，正确的是②③⑤，

故答案为：B.

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，

然后根据对称轴及抛物线上过点（1,2）,进而对所得结论进行判断.

11.【答案】（0,-6）

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【解析】【解答】抛物线y=3/一6的顶点坐标为(0,-6),

故答案为：(0,-6).

【分析】根据二次函数y=a/+k的性质解答.

12.【答案】y=(%-4)2+3或y=x2+8x+19

【解析】【解答】解：将y=x?-2x+3化为顶点式，得：y=(x-1)2+2.

将抛物线y=x,-2x+3向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解

析式为：y=(x-1-3)2+2+1；

即y=(x-4)2+3或y=x2+8x+19.

故答案为：y=(%—4)2+3或y=x2+8x+19.

【分析】将原抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即

可得出平移后新抛物线的解析式.

13.【答案】(0,1)

【解析】【解答】解：设x=0,

则y=l,

二与y轴交点的坐标为(0,1)；

故答案为：(0,1).

【分析】函数与y轴交点的坐标即当x=0时求y值，即可得出结果.

14.【答案】2021

【解析】【解答】解：将点(m,n)代入y=/+x—2021得：m2+m—2021=n,

则m2+m—n=2021,

故答案为：2021.

【分析】由题意把点P的坐标代入解析式整理即可求解.

15.【答案】y

【解析】【解答】解：•••点A(2,y)点B(3,y2)经过抛物线y=x2-x-3,

=-__=

/.y1223l,y2=32-3-3=3,

故答案为：y,<y2.

【分析】根据抛物线的解析式求出yi与的值，再求解即可。

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16.【答案】(2,-1)

【解析】【解答】解：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两

点，可设解析式为：y=a(x-Xi)(x-x2)(a^O),即y=a(x-l)(x-3),把点C(0,3),代入

得a=l.则y=(x-l)(x-3)=x2-4x+3=(x-2)2-l.

所以图象的顶点坐标是(2,-1).

【分析】利用待定系数法求函数解析式，再求顶点坐标即可。

17.【答案】①③④

【解析】【解答】解：•.•抛物线开口向上，

.,.a>0,

...对称轴为x=l>0,a、b异号，

?.b<0,

..,与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间，

-2<c<-1<0,

/.abc>0,

故①正确；

•抛物线x轴交于点A(-1,0),对称轴为x=l,

二与x轴的另一个交点为(3,0),

当x=2时，y=4a+2b+c<0,

故②不正确；

.抛物线与x轴有两个不同交点，

/.b~-4ac>0,即4ac-b2V0,

V8a>0,

4ac-b2V8a,

故③是正确的；

由题意可得，方程ax，bx+c=O的两个根为由=-1,X2=3,

X'."x!*x2=：,即c=-3a,

:-2<cV-1,

/.-2V-3aV-1,

因此I<a<|，

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故④正确，

综上所述，正确的结论有三个：①③④，

故答案为：①③④.

【分析】由抛物线开口向上，可得a>0,由对称轴为x=l>0可得b<0,由抛物线与y轴的

交点B在(0,-2)和(0,-1)之间，可得-2VCV-1V0,据此判断①正确；根据抛物线

的对称性可得

与x轴的另一个交点为(3,0),由图象知当x=2时，y=4a+2b+c<0,据此判断②；由抛物

线与x轴有两个不同交点，可得b2-4ac>0,即4ac-b2<0,而8a>0,据此判断③；有抛物

线与x轴的交点坐标，可得方程ax2+bx+c=0的两个根为七=-1,X2=3,由于XJX2=

可得c=-3a,根据-2<cV-l即可判断④.

18.【答案】解：由抛物线顶点坐标为(1,-3)可设其解析式为y=a(x-1)2-3,

将(0,-2)代入，得：a-3=-2,

解得：a=l,

则抛物线解析式为y=(x-1)2-3.

【解析】【分析】根据题意可设二次函数的解析式为y=a(xT)?-3,然后将点(0,-2)代入求

出a的值，据此可得二次函数的解析式.

19.【答案】解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,

把点(一1,0),(3,0)和(0,3)代入，则

ct—b+c=0

9a+3b+c=0,

c=3

r«=-1

解得：b=2,

.c=3

.,.二次函数的表达式为：y=-X2+2%+3.

【解析】【分析】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,把点(一1,0),(3,0)和(0,

3)代入，即可求出表达式.

20.【答案】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐

标系.由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m,则设抛物线的解析式为：

y=a(x-1),+3(0WxW3),代入(3,0)求得：a=—三.将a值代入得到抛物线的解析

4

式为：y=--(x-1)?+3(0WxW3),令x=0,则y=2=2.25.故水管长为2.25m.

44

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【解析】【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐

标系，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3(0WxW3),将(3,0)代入求得a值，则x=0

时得的y值即为水管的长.

21.【答案】解：由题意得：

W=(210-10x)(50+%-40)

=-10%2+110%+2100

=-10(%-5.5)2+2402.5,%<15且%为整数)，

va=-10<0,

当％=5.5时，y有最大值2402.5,

v0<%<65-50,且X为整数，

当％=5时，50+%=55,y=2400,

当％=6时，50+%=56,y=2400,

当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元.

【解析】【分析】先根据题意写出函数解析式，再根据函数的性质以及自变量的取值范围，确

定函数的值即可

22.【答案】解：延长DC交x轴于E,

依题意，可得y=—x?+2x+3=-(x-1)，+4,

二顶点D(1,4),

令y=0,可得x=3或x=-l,

AB(3,0),

令x=0,可得y=3,

：.C(0,3),

，0C=3,

二直线DC的解析式为y=x+3,

令y=0,可得x=-3,

/.E(-3,0),

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BE=6,

11

••\△BCDUS^BED-SABCE--X6X4--X6X3=12-9=3.

「•△BCD的面积为3.

【解析】【分析】延长DC交x轴于E,根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再利用割补法

SABCD=SABED-SABCE求解即可O

3

23.【答案】⑴解：将点B和点C的坐标代入y=a?+2x+c,得［Q/=n

19a+6+c=0

解得［。=3

(a=-1

.•.该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3

(2)解: