江苏省盐城市滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校2022-2023学年高二年级上册期中考试数学考试数学试题

江苏省盐城市滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校

2022-2023学年高二上学期期中数学考试试题

时间：150分钟分值：150分

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡

上.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.

1.经过点P（1,-2）,倾斜角为45°的直线方程为（）

Ax+y+l=0Bx+y-l=0

Qx__y+3—0口x—y—3—0

_Tt

2.直线瓜+〃少+2=0的倾斜角为H，则〃?=（）

A.1B.-1C.2D.-2

71

3.直线/绕它与X轴的交点逆时针旋转Z,得至I」直线=则直线/的方程是（）

Ax-石》一6=0By/3x-y-3=0

C-V+y/3y-5/3=0口>J3x-y-1=0

4,圆/+丫2=1和/+）'2-8工+6"9=0的位置关系是（）

A.外离B.相交C.内切D.外切

5.设点'（-2,-2）,直线/过点P。/）且与线段A3相交，则/的斜率左的取值范围

是（）

A.或左K-4B.&7或左<一2

C.-4<A:<1D♦

6.与圆/+9=1及圆*+'-8x+12=0都外切的圆的圆心在（）

A.一个椭圆上B.双曲线的一支上

C.一条直线上D.一个圆上

9922

7.已知耳，工为椭圆G：，+5=l（4>4>0）与双曲线G：三-斗=1（4>0也>0）的

a[b]b>

■7T

公共焦点，点〃是它们的一个公共点，且NF\MF?=ge^e2分别为C,,C2的离心

率，则ete2的最小值为（）

A.-B.y/3C.2D.3

2

8.平面直角坐标系xOy中，已知点P（2,4）,圆O：+丁=4，则下列结论正确的是（）

A.过点P与圆。相切的直线方程为3x—4y+10=°

B.过点尸的直线与圆0相切于M,N,则直线MN的方程为％+2^-4=°

C.过点P的直线与圆0相切于M,N,则|PM=3

D.过点P的直线机与圆O相交于A,B两点，若N4OB=90。,则直线机的方程为x-y+2=°

或7x—y—10=0

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共计20分.在每小题所给的A.8.C.D四个选项

中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设直线4：y=&x-i,其中实数勺，包满足桃2+1=。，则（）

A.4与4平行B.4与4相交

c.4与"的交点在圆1+）'2=1上D.乙与4的交点在圆f+y-i外

10.圆a：/+y2-2x=0和圆。2”2+/+4》-6>>=0的交点为A,B,则（）

A.公共弦AB所在直线的方程为x-V=°

B.线段AB中垂线的方程为x+y-l=°

历

C.公共弦AB的长为2

D,两圆圆心距i°a=3近

II.若圆+/•>（））上恰有相异两点到直线x-y-4=°的距离等于近，则r的取

值可以是（）

A.叵B.2C.2夜D.3出

12.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，

某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场

地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为I的圆，圆心到伞柄底端的距离为1,阳光照射

油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为

60）,若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（）

■-1

A.该椭圆的离心率为2B.该椭圆的离心率为2-6

3拒_6

C.该椭圆的焦距为26-1D.该椭圆的焦距为一—

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分.

13.写出一个截距相等且不过第三象限的直线方程.

14.大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆

心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要

早100年.已知°是坐标原点，=若一5'彳），则线段/W长的最大值是.

22.

C:鼻+方=l（a>8>°）FFF

15.已知椭圆ab的左、右焦点分别为和，斗,过点和且斜率为7

的直线/与C在*轴上方的交点为A,若14凰=恒6I,则C的离心率是.

4-¥=1（4>0力>0）FF—

16.已知双曲线。b2'的左、右焦点分别为《，尸2,离心率为3，点

A（3冏是双曲线上一点连接我，过点K作明/泊8交双曲线于点5,且怛用＜|阻，则

忸用,

四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.（本题满分10分）已知直线仁办+2丫+6=0和直线，2：x+y-l=0

（1）若时,求a的值;

⑵当4〃4平行，求两直线4,4的距离.

18.（本题满分12分）已知圆E经过点A（a°）,B（2,2）,且_________.从下列3个条件

中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.

①在过直线x+"-4=0与直线x-2y-4=0的交点C；②圆E恒被直线以_y_2,〃=0mwR）

平分；③与y轴相切.

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

（1）求圆E的方程；

（2）求过点尸（43）的圆E的切线方程.

19.（本题满分12分）经过双曲线3的左焦点与作斜率为2的弦AB,求:

（1）线段AB的长；

（2）设点工为右焦点，求△6AB的周长.

20.（本题满分12分）己知直线/：（%+2）x+（l-2心+6加-3=0与圆。：人+'2-4%=0

（1）求证：直线/过定点，并求出此定点坐标；

（2）设。为坐标原点，若直线/与圆C交于M,N两点，且直线OM,ON的斜率分别为占，

心，则K+e是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.

-＞-）

三上=1

21.（本题满分12分）已知双曲线42

（1）过点“（"）的直线交双曲线于A8两点，若〃为弦A8的中点，求直线A8的方程;

（2）是否存在直线/,使得为/被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线/的方程,

若不存在，请说明理由.

J_兰+片

22.（本题满分12分）已知离心率为2的椭圆C:"2=1（"＞比＞0）与直线x+2y-4=0有且

只有一个公共点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过点尸（0,-2）的动直线I与椭圆C相交于A,B两点，当坐标原点。位于以AB为直径的

圆外时，求直线/斜率的取值范围.

一■■■■参*考*答*案■■,■一

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.

1.D；2.B；3.A；4.D；5.B；6.B：7.A；8.D

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共计20分.

9.BC；10.ABD；11.BC；12.BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分.

2

13.此题K答案》不唯一：如x+W=°；14.5；15.3；16.5

四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.（本题满分10分）

解.Q）・・/］：ax+2y+6=0/2:x+y-1=0±/2

61x1+2x1=0,

解得“=-2.........................................................4分

（2）・・4:or+2y+6=0/2:x+y-l=0qIJU2

.•.axl=2xl且一。工2,解得。=2,......................................................6分

/1:2x+2y+6=0,/2=0:x+y+3=0,/2.^+y-l=0

..d=^==2^

...直线/32间的距离为V12+12.........................................................10分

18.（本题满分12分）

jx+4y-4=0Jx=4

⑴选①，由L-2y-4=0可得jy=0,所以C（4,0）,

设圆的方程为Y+丁+5+8'+尸=°（02+E?-4F>0）,

尸=0|£)=-4

-8+2D+2E+F=0年=0

由题意可得16+4。+尸=0,解得,

则圆E的方程为V+9_以=0,即-2>+/=4;

选②，直线皿_丫_2%=0恒过(2.0),

而圆E恒被直线'加_y_2%=°（%eR）平分,

所以网_y_2机=0恒过圆心，因为直线，我_丫_2%=0过定点（2,0）,

所以圆心为（2，°）,可设圆的标准方程为（彳一2）2+V=/，

由圆E经过点40，。），得产=4,

则圆E的方程为（X—2）2+9=4;

选③，设圆E的方程为。-。）2+（＞一加2=/，

M|=rfa=2

cr+b2=rJ/?=o

由题意可得加4+0-4=,，解得［r=2,

则圆E的方程为0-2）2+丁=4;............................6分

（2）因为（4-2）?+32=13＞4,所以点p在圆E外，

若直线斜率存在，设切线的斜率为火，

贝IJ切线方程为＞一3=女（》一4）,即丘_y_4A+3=0,

由圆E的方程为0-2）2+丁=4可得圆心“（2,0）,半径为21

,_|2^-4^+3||-2&+3|,5

所以圆心到切线的距离〃2+1，解得-12,

所以切线方程为5x-12y+16=0；............................10分

若直线斜率不存在，直线方程为x=4,圆心仪2，°）到直线x=4的距离为2,

满足题意;

综上所述，过点尸43）的圆E的切线方程为1=4或5x-12y+16=0

............................12分

19.（本题满分12分）

解：（1）由题意得直线AB的方程为V=2（x+2）,

尤2_f=l

代入双曲线方程3可得/+16%+19=0,

设A（%，X）则%+%=-16,X|X2=19,

即AB的长为逝.J'"1."?)？—14%%=30.........................

⑵由双曲线的定义得席H*=MTM=2«=2

即△鸟口的周长为

\AF2\+\BF2\+\AFt\+\BFl\^4a+2(\AFi\+\BFi\)^4a+2\AB\

=4+2x30=64]2分

20.(本题满分12分)

(1)证明：由直线/：(加+2)x+(l-2〃z)y+6加-3=0

得m(x-2y+6)+(2x+y-3)=0

x-2y+6=0x=0

<

联立〔2x+y—3=0,解得〔尸3

二直线/恒过定点（°，3）........................4分

（2）解：圆C"2+，—4x=°的圆心为（2,0）,半径为2,直线/过点（°，3）,

直线/与圆C交于M,N两点，则直线/的斜率存在，设直线/方程为y="+3

y=阮+3

联立x+y?—4元=0得（1+&~）无2+（6Z—4）x+9=0

6k-49

设M(x，x),阳孙月),则-\+k2,-1+k2,

匕+&=%+&=殳9+铝土3=2上+也土肛=2左+生丝)=3

X|x2x}x2x}x293

4

二4+〃2是定值，定值为了..........................12分

21.（本题满分12分）

卜2-24=4

解：（1）设,贝|j[x；-2y：=4,

两式相减得（4+々）（%一巧）-2（乂+%）（X-％）=0,

y,-y2x,+x2

所以2（%+%），

--为二1

又因为何为弦A8的中点，故为+々=2乂+丫2=2,所以2,

所以直线A8的方程为''-1=2"-",即x-2y+l=°.............................

3分

x-2y+l=0

«,>2

S_2L=i

由方程组I42得/_2》-9=0,其A=40>0,

说明所求直线存在，

故直线AB的方程为*-2>+1=°......................................................4分

fill

（2）假设存在直线/,使得I2）为/被该双曲线所截弦的中点，

设该直线与双曲线交于C,。两点,

22

W2%-4

2224

设。（七,%），。（N%）,则%%=

两式相减得（％+七）（七一七）-2（%+%）（%-%）=0,

乃-"再+七

所以鼻-匕2（%+”），

1,1—1

又因为I2J为弦CD的中点，故$+匕=2,为+必=1,所以三一匕

1,

V-X—1

所以直线C。的方程为2,即2x-2y_I=°,...........................9分

2x-2y-l=0

<r22

------=I,

由方程组I42，得2W—4X+9=。,

根据△'=-56<0,说明所求直线不存在，

故假设不成立，即不存在直线/,

使得C）为/被该双曲线所截弦的中点

12分

22.（本题满分12分）

丫2v21A

C