函数与导数小题01（浙江省2021届高考模拟试题汇编（三模））（解析）

(浙江省2021届高考模拟试题汇编(三模))

函数与导数小题01

一、单选题

1.(浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟试题)f(x)=x2+bx+c,若

方程/(6=%无实根，贝！I方程/(/(x))=x

A.有四个相异实根B.有两个相异实根

C.有一个实根D.无实数根

【答案】D

【详解】

分析：将函数/(x)=f+6x+c看成抛物线的方程，由于抛物线/(x)=V+灰+c的开口

向上，由方程f(x)=x无实数根可知，对任意的xeR,/(x)>x=>/(/(x))>/(x)>x,

从而得出"(/(x))=x没有实根.

详解：因为抛物线/(x)=x2+bx+c开口向上，

2

由方程f(x)=%无实数根可知，抛物线f(X)=x+bx+c必在直线y=x上方，

即对任意的xeR,/(%)>x=>/(/(%))>/(%)>X,

所以方程/(/(幻)=%没有实根，故选D.

点睛：该题考查的是有关方程根的个数问题，在解题的过程中，需要根据题意，利用二

次函数的有关性质，以及所给的不等式，可以断定函数图像之间的关系，从而得到对应

的结果，从而得到选项.

2.(浙江省金华市东阳市2021届高三下学期5月模拟考试数学试题)已知不等式

b—4

ex-4x+2>ax+b(a,方£R,〃w-4)对任意实数不恒成立，则--的最大值为

〃+4

A.—出2B.—1-/z?2C.—2/鹿2D.2—2加2

【答案】A

【分析】

2A-4

先转化为(〃+4)x+2-b20,再转化为1-ln(a+4)-―一之幺三，再求g(x)的最大

值得解.

【详解】

原不等式可以化为e'-(a+4)x+2-820,

设f(x)=e*-(a+4)x+2-/?(xe/?),

所以/(》)=0*-(。+4),

所以只有a+4>0,才能有e'-m+4)x+2-b20恒成立.

此时/(x)min=/(ln(a+4))=a+4-(a+4)加(a+4)+2-b20.

..2Z?—4

o1—ln(a+4)----->----,

a+4a+4

22-x

设g(x)=l-lnx一一(x>0),/.g(x)=——,

XX

所以g(x)3=8出=/2.

所以"V-ln2.

故选A

点睛：(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数解答恒成立问

题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，

其一是原不等式可以化为e”-5+4)%+220,求/(工焉=+4))20,其二是设

2

g(x)=1-lnx——(x>。),求g(x)的最大值.

x

3.(浙江省温州市普通高中2021届高三下学期5月高考适应性测试数学试题)已知函

数f(x)=lnx,g(x)=x,则当历>冗2>0时()

A.|/(菁)一ga)k"(%2)-g(X2)llB."(X1)-g(X|)|>|/(X2)-g(%2)l

C.l/(xl)-g(x2)|<|/(x2)-g(x1)|D.l/(X1)-g(X2)l>"(X2)-g(X|)|

【答案】c

【分析】

令Mx)=lnx-x,利用导数求出单调性，得出〃(x)<o,可得单调性，即可判断

AB；根据m工2</<不，得”毛)一8(不)<0，讨论大小去

W=tfU,)-g(X2)ITf(X2)-ga)l绝对值可比较.

【详解】

11_V-

令人(%)=lnx-x,则//(x)=——1=------,

当xe(O,l)时，/Z(x)>0,〃(x)单调递增，当xw(l,*o)时，〃'(%)<0,力(无)单调递减，

则〃(同叫1)=-1<0,

则I〃(x)|在(0,1)单调递减，在(1，+8)单调递增，

|〃(西)|和(占)1的大小不确定，故AB错误；

由力可知<x,,即/(伸)一

(x)<0Inx?<x2g(x)vO,

令卬=ifa)-g(z)।-"(々)-g6)।,

则w="(X|)-g(%)।+/(々)-g(X|)，

当时，W=f(X2)一

2g(x?))-g02)+g(X|)=a)-g(X])]+[/U2)-g(x2)]<0；

当4(5)<g(芍)，w=g(w)-/a)+f(^2)一ga)=)+g(w)]-[/a)+go])],

・••y=f(x)+g(x)=lnx+x单调递增，.-.W<o,

综上，"(X1)-g(X2)l<l/(X2)-g(X|)l，故c正确，D错误.

故选：c.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是构造函数〃（x）=lnx-x,利用导数判断出单调性且得出

〃（x）<0.

4.（浙江省Z20联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知关于A的不等式

（f+or+冲JnxNO在（0,+8）上恒成立（其中.、bwR）,则（）

A.当。=-2时，存在〃满足题意B.当。=0时，不存在人满足题意

C.当6=1时，存在。满足题意D.当6=2时，不存在。满足题意

【答案】D

【分析】

本题首先可根据题意得出函数丫=/+01+6满足有一零点为尤=1、当0<x<l时）,40、

当X>1时然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.

【详解】

因为关于X的不等式任+以+冲/nxNO在（0,+8）上恒成立，

X>10<x<l

所以必需要满足

x2+ax+b>0x2+ax+b<0

即对于函数丫=/+水+6,必有一零点为x=l且零点左右函数值符号不同,

即当0<大<1时，”0；当x>l时，y20,

A项：a=-2,y=x2-2x+b,令x=l,0=l2-2+b.b=l,

此时y=f-2x+l,不满足零点左右函数值符号不同，A错误：

B项：a=0,y=x2+b,令x=l,0=12+Z>-b——\,

此时y=x2-i,存在b满足题意，B错误;

C项：b=\,y=x2+ax+\,令x=l,O=F+a+l，a=-2,

此时y=9-2x+l,不满足零点左右函数值符号不同，C错误；

D项：b=2,y=jr+ax+2,令x=l,0=12+（a+2-a=-3,

此时y=*2-3x+2,不满足当0<尤<1时y«0且当x>l时，yNO,

即不存在。满足题意，D正确，

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查不等式恒成立的相关问题的求法，主要考查二次函数性质以及对

数函数性质，能否根据题意将不等式转化为函数丫=/+水+人满足有一零点为x=l、

当O<X<1时y«0、当X>1时y>o是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是

难题.

5.（浙江省台州市临海市、绍兴市新昌县高三下学期5月模拟考试数学试题）已知等差

数列｛a,,｝满足a„>0,q=1,公差为d,数列也｝满足b„=片2+«2口，若对任意的〃eN,

都有勿>b5,则公差d的取值范围是（）

【答案】B

【分析】

根据题意构造函数f（x）=e'+er,解不等式可得到函数的单调性，进而得到当距离2

最近时，么取得最小值，根据％为最小值可得的距离2最近，建立绝对值不等式求解即

可.

【详解】

令aa-2=x,构造函数f(x)=e*+e.

八加―宁，

.•.当x>0时,f\x)>0,〃x)单调递增，

当x<0时，户")<0,〃x)单调递减；

则对于2=*-2+e2f,当4-2>。，即%>2时，"单调递增,

当4-2<0,即为<2时，么单调递减,

所以当。“距离2最近时，々取得最小值，

根据题意知，么为最小值，所以应距离2最近,

而等差数列｛4｝满足4,>0,4=1,所以">0,所以｛%｝是递增数列,

|^5-2|<|«4-2|+4J-2|<1^+3J-2|7

解得

\a-2|<|a-2|何+4d-2归|a+5d-2|

56(d>-

9

故选：B.

【点睛】

本题的核心是利用函数导数思维根据b„的衣达式求出当a„距离2最近时，bn取得最小值,

根据题意可得的距离2最近，再根据已知可得｛q｝是递增数列，且两个数值之间的距离

问题可以使用绝对值思维，所以可得不等式组，解不等式组即可.

6.(浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5月高考及选考科目适应性考试数学试题)已知二

2

次函数.f(x)=ax+bx(\b\<2|a|),定义ft(x)=max|/(r)|-l<r<x<l|,

/；(x)=min|/(r)|-l<z<x<l|,其中max｛。力｝表示a,匕中的较大者，01皿｛4,可表示”,/?

中的较小者，下列命题正确的是

A.若工(一1)=/⑴，贝!|/(一1)>/(1)B.若力(一1)=人⑴，贝！1/(一1)>/(1)

C.若左。)=工(一1),则/(一1)</(1)D.若人(1)=工(-1),则人(一1)>人⑴

【答案】c

【分析】

由新定义可知fl(-1)=f2(-1)=f(-1),f(X)在［-1,1］上的最大值为fl(1),

最小值为f2(I),即可判断A,B,D错误，C正确.

【详解】

由于网42时，故二次函数的对称轴x=-Se［-l，l］./(T)=max{/(f)|f=-l}=〃-l).

/(l)=max{/(r)|-l<Z<l}，若此时对称轴为x=0.

则有1(1)=*1),即〃-1)=/⑴，所以A选项不正确，

/j(-l)=min{/(f)|Z=-l)=/(-1),^(l)=min{/(r)|-l<r<l},

在对称轴的位置取得最小值，

即对称轴为x=-l,所以/(-1)</(1),故8选项不正确，

(1)=min{.7'(r)|-1<r<l),.^(-l)=max{/(r)|r=-l}=/(-1),

也即是函数在区间卜1,1］上的最小值，故工⑴，

所以选C.

【点睛】

本题考查了对于新定义的理解和二次函数的图象与性质，考查推理能力，属于中档题.二

次函数的最值和函数的对称轴有关系，在小区间上的最值问题，应该讨论轴和区间的关

系.

7.(浙江省绍兴市诸暨市2021届高三下学期5月适应性考试数学试题)对于函数

/(x)=-g(x)="l4.£?+x_4,若存在实数“，使得/(a)=0,g(a+sin£)=O,

2°+2

则实数k的取值范围为()

【答案】A

【分析】

求出g(x)的零点，根据sin夕的范围得出a的范围，从而得出&关于a的函数，根据函

数单调性求出最值即可得H\k的范围.

【详解】

7V4-7

解：令g(x)=F—+x-4=0可得2*=-3x+10,

根据函数图象可知方程2'=-3x+10只有1解，即g(x)=O只有1解,

又g(2)=0,a+sin/?=2,

又-14sin〃41,故而

由/(a)=0可得Z=3

a

令〃9)=酗(14a43),则"(。)=匕华，

aa~

.•.当ae［l,e)时，h\a)>0,当aw(e,3］时，/?'(«)<0,

二岫)在［l,e)上单调递增，在(e,3］上单调递减，

/.〃(a)的最大值为/?(£,)=-,

e

又〃(1)=0,力(3)=号>0,

••/(a)的值域为0,-,即k的范围是0,-.

_e］Le_

故选:A.

【点睛】

本题考查了函数单调性的判断与函数最值的计算，建立h关于a的函数是解题的关键,

属于中档题..

8.（浙江省舟山市定海区2021届高三下学期5月适应性考试数学试题）已知函数

=弧三、A+,，设方程/（x）=f（"）的四个不等实根从小到大依次为

/（20-x）,10<x<20

再，£,当，5,则下列判断中错误的是（）

A.西+》2+匕+xa=40B.Xtx2=1

C.x3x4=361D.xix4-20（^+x4）+399=0

【答案】C

【分析】

由题意知函数f（x）的图象关于直线x=10对称，故A正确；由lnx|=-lnx2，故5正确;

又电=20-々，、4=20-%，可验证。正确，即得答案.

【详解】

由题意知函数的图象关于直线x=10对称，故%+匕=9+三=20,

故A正确；

.•.X1+X,+X3+X4=40,

又lnX1=一m々,为尤2=1，故B正确；

XXXXXXXX

X34-20（,+4）+399=（20-2）（20-I）-20[40-（I+2）]+399

=400-20（%,+^）+^-800+20（^+^,）+399=0,故。正确；

故选：C.

【点睛】

本题考查函数与方程，考查对数函数及其性质，属于中档题.

9.（浙江省金华一中2021届高三下学期5月高考模拟考试数学试题）已知x,yeR,则

（x+yf+的最小值为（

【答案】c

【分析】

2

将所求代数式转化为直线y=x和曲线y=-K上的点的距离的平方.，利用导数几何意义

和点到直线距离公式即可求得结果.

【详解】

（犬+4+口-「可以看作直线尸X和曲线尸-：上的点的距离的平方，

由y=W得：y'=^,令y=g=i得：x=士五，则点（&，-闾和点卜3,⑹到直

线y=x的距离的平方即为所求的最小值，

即（x+y）~+x---的最小值为

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式的最值的求解问题，解题关键是将代数式的最小值问题转化为两曲线上

的点的距离的最小值问题，体现了转化与化归的数学思想.

10.（浙江省金丽衡十二校2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知函数

/（力J：：）：：，；：，则方程/（〃力）-2〃x）+:=0的实根个数为

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【详解】

令t=f(x),则方程〃〃力)-2/(%)+-=0等价于/(r)-2r-1=o,在同一平面直角坐标

系中作出f(x)与直线y=2x+1•的图象，由图象可得有两个交点，且〃f)-2f-]=0的两根

分别为6=。和1<与<2,当％=〃力=0时，解得x=2,当芍=/(力«1,2)时,f(x)有3个不等

实根，综上所述，方程/(〃力)-2/(x)+1=0的实根个数为4,故选C.

点睛:本题考查函数与方程思想和数形结合思想的应用，考查换元法的应用技巧,属于中

档题.对于函数y=/(x)，我们把使/(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数

的零点就是指使函数值为零的自变量的值.通过化筒也经常将函数的零点问题转化为两

个函数图象的交点问题.

11.(浙江省宁波市“十校”2021届高三下学期5月高考适应性测试数学试题)当0<%<1

时，〃x)=3,则下列大小关系正确的是()

A./2(x)</(x2)</(x)B./(x2)</2(x)</(x)

C./(x)</(x2)</2(x)D./(x2)</(x)</2(x)

【答案】D

【分析】

由0<X<l得到要比较/(力与/(d)的大小，即要判断函数是增函数还是减函

数，可求出尸(X)利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出，")与/卜2)的大

小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到/(X)与/7可的大

小，从而求得最后的结果.

【详解】

根据0<x<l得至而1(x)=l^,

所以根据对数函数的单调性可知0<x<l时，1-hu>0,

从而可得/(力>0，函数〃x)单调递增，所以『任)<〃》)<〃1)=0,

而广⑺=(党>0.所以有/(x2)</(x)<f2(x).

故选D.

【点睛】

本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的

单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.

12.(浙江省名校新高考研究联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题)已知点尸

在曲线v=W叵上，。为曲线在点尸处的切线的倾斜角，则。的取值范围是()

e+1

，八z1「z兀[(n2乃]「2不)

A.0,—B.—C.D.~^~、几

I3」[32)[23JL3)

【答案】D

【分析】

首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求

得倾斜角的取值范围.

【详解】

,-4辰-4百

因为“西厂不？

由于e*+C+2“，

e

所以yw[-6,0),

根据导数的几何意义可知：tan0€[-73.0),

所以。e［方-,万），

故选：D.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识

点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与

解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，

求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合

思想的应用.

13.（浙江省绍兴一中2021届高三下学期第三次联考数学试题）已知奇函数y=/（x）对

任意的xwR都满足“x）+/（x+/）=0,且在上单调递增，若

a=sin（-3）-/（-3）,占叩加与小力,c=sin（206）./（206）,则下列结论正确的

是（）

A.a>c>bB.c>b>a

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

【分析】

令6（x）=sinx-/（x）,易得尸（x）是偶函数，再由力=0得到尸（力的周期

为“，然后由〃力。=加》都在0,y上单调递增，得到尸（X）在0,y上单调递增求

解.

【详解】

令尸（x）=sinx-f（x）,则口二外之励二川血^4二尸3'6）,

因为〃x）,sinx都是奇函数，

所以尸（x）是偶函数,

因为/(x)+/(x+万)=0,

所以F(x)-F(x+^)=/(x)-sinx—/(x+^)-sin(x+^),

=sinx[.f(x)+/(x+万)]=0,

即尸(x)=F(x+i),所以产(x)的周期为万,

因为/(x),y=sinx都在［o,］上单调递增，/(x)20,sinxN。

所以_f(x)20,(sinx)'±0且它们不恒为零，

则尸'(x)=cosx-/(x)+sinx-7'(x)20在0,y上成立(不恒为零)，

所以尸(x)=sinx"(x)在0,|上单调递增，且/(x)±0,

又a=F(—3)=尸(3)=尸(万一3),FLO<^-3<O.I5<^=2°J<20-6<p

F(206)>尸(应)>小方—3)所以c>6>a,

故选：B

【点睛】

关键点点睛：本题关键是构造函数尸(x)=sinx-7(x),再由函数的奇偶性和单调性而得

解.

14.(浙江省宁波市正海中学2021届高三下学期5月模拟考试数学试题)已知函数

/(》)=以3+^2+廿+"(0<“</?)没有极值点，则——的最大值为()

a+h+c

29

A.-B.26-3C.-D.2a-5

【答案】D

【分析】

根据题意，可知函数/(幻=江+加+5+以0<。<6)在R上单调递增，即尸(力20在R

上恒成立，得到不等式组，利用条件，对所求式子进行放缩，以f=2为变量建立函数

a

关系式，利用构造函数和基本不等式求出其最小值.

【详解】

/(x)=axy+bx2+ex+d(0<4<〃)，

f\x)=3ax2+2bx+c(0<a<b),

因为函数/(x)=双3+b/+B+d(0<〃<A)没有极值点,

所以函数/*)在R上单调递增，

所以广(%)之。在R上恒成立，

[0<a<b[0<a<b

则'[A=4/-12ac40'S'P[b2<3ac'

-———I

b-a_a(b-a)<a

a+h+ca2-\-ab-\-ac]+&+工(2)2

a3a

令2=一，因为Ovav。，所以，>1,

a

b-at-\-t-\-1

----------K-------------=3,--------------------------3---------------------

"""+b+cl+l+_/('1)+5(’D+7(—)+2+5

3t-\

]丝心=2夕一5

<3-

2币+5

当且仅当f=l+"时取等号,

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：该题考查的是有关利用导数研窕三次函数的问题，正确解题的关键对函数

无极值点这个条件的正确转化，以及会利用基本不等式求最值.

15.(浙江省台州中学2()学届高三模拟考试数学试题)函数

f(x)=asinox+bcos69x(a,则f(x)

A.是非奇非偶函数B.奇偶性与。力有关

C.奇偶性与。有关D.以上均不对

【答案】A

【详解】

分析：直接利用函数奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性.

详解：由题得函数的定义域为R.

f(-x)=asin(-wx)+6cos(-wx)=-asinwx+bcoswx

因为a#0,6H0,/力0,y,-asinwx+bcoswx*asinvux+/JCOSWX

所以f(~x)丰f(x),f(-x)#-f(x).

所以函数f(x)是非奇非偶函数.故答案为A

点睛：(1)本题主要考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对该基础知识的掌握能

力.(2)判断函数的奇偶性常用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域

不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继

续求/(-幻；最后比较。(一6和比x)的关系,如果有f(-x)"(x),则函数是偶函数,如

果有/(-x)=-/(x),则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.

二、填空题

16.(浙江省杭州市学军中学2021届5月高三模拟考试数学试题)函数

f(x)=x3-3x2+3tx-3t+3,re(O,l),记(刈在xe[0,2]上的最大值为M”)，则

M⑺41+4的解集是

▼12&

【答案】->T+—

23O

【分析】

通过换元，/(x)=g(⑼=/+(3/-3)m+1,用导数探究得M(t)=max{g(-7T7),|g⑴|卜

进而可得不等式的解集.

【详解】

因为y(x)=d-3炉+3戊-3/+3=(X-1)3+(3r-3)(尤-1)+1,

令，〃=X-1£[―1,1],则/(X)=g("2)=加3+(3/—3)/22+1,

g'。")=3裙+(3，-3)=3(疗+1_[),

因为fw(O,l),令g'(M=0得上=一J1一/,或"I=J1一",

列表

m-1(-1,-J1T)(-J1T,J1T)(g,D1

g'("?)+—4-

g。九)3-3r/极大值极小值/3t-i

因为函数g(M的图象关于点(0,1)对称，且g(-l)=3-3f>0,所以g(_Jj=7)>o,结合

表格和简图可知，M(r)=max{^(-VT7),|^(1)||,所以

0<r<l0<r<l

M(/)<l+^y<=><介7^7卜1+孝02(1-fp+l4l+*+Y|+*,

|g⑴归1+亭|3—|41+日

故M(f)41+也的解集是:，■!+坐

2236

1272

故答案为:一，—।----

236

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是：用导数探究得M«)=maxk(-gj,|g6|}.

17.(浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟试题)已知函数

/(x)=x2-2mx+m+2,g(x)=mx-m,若存在实数使得/(x。)<0且g(x())<0同

时成立，则实数，”的取值范围是

【答案】(3,”).

【分析】

由于g(l)=0,所以分别根据当机>0,x<l时，g(x)<()与当初<0,x>l,g(x)<0,两种

情况，对/。)<0分别讨论，从而求出m的取值范围

【详解】

当M?>O,X<1时，g(X)<0,所以，(X)<0在(7,1)有解,

m>0

A>0

则或

/(D>0,

tn<1

m>0

m2一加一2〉0

也即是m>3或，(无解)，故相>3).

3->0

m<1

当/n<O,x>l,g(x)<0,所以f(x)<0在(l,+oo)有解,

所以c，此不等式组无解.

[m<0

综上，〃?的取值范围为(3,+8)..

【点睛】

本题针对一次函数和二次函数中含参数，根据x存在性，探讨函数值取正值或负值时,

参数的取值范围，一般，先讨论一个函数中参数的范围，然后在相应的分析另一个函数

中参数的取值范围，这样比较容易解决问题

18.(浙江省金华市东阳市2021届高三下学期5月模拟考试数学试题)已知函数/(x),

2x-1(尤4-2)

g(x),/7(x)均为一次函数，若实数X满足|/(x)|-|g(x)|+〃(x)=4X+3(-2<X<0),则

3(x20)

砌二-----------

【答案】2

【分析】

首先根据一次式的绝对值的特点，以及分段函数解析式中对应的分界点，可以确定

〃x),g(x)的零点分别是-2,0,结合一次函数解析式的特征，先设出三个函数解析式中

的一次项系数，结合特征，得到对应的等量关系式，最后求得函数解析式，进一步求得

函数值.

【详解】

详解：设三个函数的一次项系数1&2,⑥都是大于零的，结合题中所给的函数解析式,

并且/(x),g(x)的零力分别是-2,0,再进一步分析,

-人+&+攵3=2&]=1

可知•占+女2+占=4,解得<攵2=2,

占一22+右=0、匕=1

结合零点以及题中所给的函数解析式,

可求得f(x)=x+2,g(x)=2x,〃(x)=x+l,

所以可以求得硝)=1+1=2,故答案是2.

【点睛】

该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有一次函数解

析式的求解方法，利用分段函数解析式中的分界点得到其为函数的零点，从而求得其对

应的等量关系式，最终求得函数的解析式，代入自变量求得函数值.

19.(浙江省温州市普通高中2021届高三下学期5月高考适应性测试数学试题)已知函

数/(%)=2/-V(卜-4+k-加+x仅＞4)有且只有一个零点，则2a+b的取值范围是

【答案】(-3,6)

【分析】

由题意，函数1个零点转化为2x+4=|x-a|+|x-6|S＞a)无根，利用函数

X

/?(x)=|x-a|+|x-勿3＞幻与g(x)=2x+，的图象，数形结合即可求解.

X

【详解】

显然/(0)=0,即XH0时f(x)=0,等价转化为方程2》+4=|》-4|+|》—切(。＞4)无实

X

根，即/i(x)=|x-a|+|x—勿S＞a)与g(x)=2x+，(图象在一、三象限)无交点，

X

故只需考虑在第一象限无交点，

因为g(x)=2x+222在(x>0),当且仅当了=走时取等号，

X2

2x-a-b,x>b

hM=\x-a\+\x-b\=<b-a,a<x<b,故需同时满足如下三个条件；

-2x+a+b,x<a

①2x+—>2x-a-b(x>0)=>->-«-/?,Bptz+Z;>0；

xx

②/z(x)=|冗一a|+|x-勿之力一a,即020;

(3)—2x+a+Z?v2xH—a+bv4x+—,艮Pa+Z?<4；

XX

0<b-a<2y12

{0<a+b<4

3

m=—

2

令2a+/?=m(a+/?)+n(b-〃)=><=><

[〃?+〃=1

O1

所以2a+b=—(a+。)——(/?-a)e(->/2,6).

22

故答案为：(-挺,6)

【点睛】

关键点点睛：原函数的零点个数可转化为方程2x+L=|x-4|+|x-Wg>a)根的个数，

X

可继续转化为万。)=|x-a|+|x-b|S>a)与g(x)=2x+-(图象在一、三象限)无交点,

X

作函数图象，利用数形结合求解，属于难题.

20.(浙江省Z20联盟2021届高三下学期第三次联考数学试题)已知平面向量6,5,彳满

足:|aHc|=l,db=O,a-c=\h\,则(3+5)1的最大值是.

【答案】更

4

【分析】

建立平面直角坐标系，(M+5)1=cos，+lsin，,利用导函数求最值即可.

【详解】

把平面向量M石忑请进平面直角坐标系,

设1=(1,0),c=(cos0,sin0),

又少石=0,可设加=(0"),

\9a-c=cos6=[51=\t\,/.\t\=cos0,

(5+5)•乙=cose+lsin。，

要使的最大，可令0e(0,5，f>0,

(a+b)c=cos0-^-ts\n0=cos04-cos0si