平面向量知识点

必修四平面向量

一、向量的相关概念：

1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

注意：1。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母之、1等表示；③用有向

线段的起点与终点字母：AB；坐标表示法：a=xi+yj=（x,y）.

3、向量的模：向量而的大小一一长度称为向量的模，记作ABI.

4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作。.6的方向是任意的.②长度为1个单位

长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

5、相反向量：与°长度相同、方向相反的向量.记作-a

6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量1与6相等，记作：=力；

7、平行:向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作力〃.平行向量也称

为共线向量.规定零向量与任意向量平行。

8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量）与就作方=1，OB=b,则

NAOB=。（0V。叫之与1的夹角.

_>_>->77_>

说明：（1）当。=0时，a与人同向；（2）当6=4时，a与人反向；（3）当6=—时，a

2

T—>T

与b垂直，记规定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在两向量的夹角定义，两向

量必须是同起点的•范围0°^0^180°

9、实数与向量的积：实数人与向量1的积是一个向量，记作/lW,它的长度与方向规定如

下:

（I）Aa=|/||a|：（H）当之>0时，2I的方向与1的方向相同；当几<0时，的

方向与"的方向相反；当2=0时，Aa=0,方向是任意的

10、两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为6,贝Ija/=|a||匕|cos6

叫做之与了的数量积（或内积）规定，W=0

11、向量的投影：定义：lOcos。叫做向量W在1方向上的投影，投影也是一个数量，不是

向量；当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当。为直角时投影为0；当。=0。

->T

时投影为IbI;当。=180。时投影为-\b.

->->

羡osO="eR，称为向量办在1方向上的投影投影的绝对值称为射影

1。1

二、重要定理、公式：

1、平面向量基本定理：£,e；是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内

—►—>—>

任一向量，有且仅有一对实数4,4,使a=4q+&/

（1）.平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量；、7作为基

底.任作一个向量之，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得

->—>—>

a=xi+yj.......（D

—>

我们把（x,y）叫做向量。的（直角）坐标，记作

—>

a=（x,y）.......②

->

其中x叫做。在x轴上的坐标，y叫做。在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.

—>

与。相等的向量的坐标也为（X,y）.

—>—>

特别地,i=（1,0）,j=（0,1）,0=（0,0）.

（2）若A（X|,y）,B（x2,y2）,则A3=—f，必一必）

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

2、两个向量平行的充要条件

向量共线定理：向量］与非零向量之共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使力=21

->—->Tf->

设4=（%，必），b=（x2,y2）,则a〃匕Oa=丸00一马必=0

3、两个向量垂直的充要条件

->->->fff

设4=（占,必），b=（x2,y2）,则a_L〃=。8=0O药々+,必=。

4、平面内两点间的距离公式

（1）设1=（x,y）,则|a|2=/+y2或

—>

（2）如果表示向量。的有向线段的起点和终点的坐标分别为A（$，M）、8（々,乃），那么

IAB|=JN-J+G-7］（平面内两点间的距离公式）

5、两向量夹角的余弦（0W6W万）Z-标_「X也+y%

f->I22I22

\a\-\b\++%

三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算

的坐标表示和性质

a=(X],yJ,石=(%,必)

运算

几何方法坐标方法运算性质

类型

向

量

1.平行四边形法则a+b=b+a

的—>T

2.三角形法则（首尾相接，首尾连）a+Z?=(x+x,y+y)—>->—>—>—>->

加12l2(4+8)+C=Q+(/?+C)

法

AB+BC=AC

向->—>—>—>

〃

量a-b=+(-/?)

三角形法则（首首相接，尾尾相连，

的—>—>

指向被减）Q=_丽

减a-b=(xl-y2)

法

OB-OA=AB

实数人与向量力的积是一个向量，

记作：

Za4Qza)=\A./S)a

向

（1）Aa=\^\a-

量(2+a=4。+//。

心)

的=(Zr

（2）九>0时，与1同向；-->->

乘X(a+b)=4a+X>

法T->

当/1<0时，与a异向；

a//boa=Ab

当2=0时，4a=0。任意方向,

ffTT

a-b=b-a

—>—>—>—>

a-b=|Q|・|〃|COS6,—>一(4〃)•8=〃•(2b)=b)

ab=xtx2+M%

—>—>—>—>—>—>—>

(0<6><^-).向量的数量积的几何意

向(«+/?)•c=a-c+/?-c

义：

量

1工=0或7=0时，|a『=a或latjf+y?

的数量积1。等于］的

数f->