第5章-地基沉降

第五章地基沉降在外荷载的作用下，地基土体将发生压缩变形，从而会引起基础的沉降量。基础的沉降量是指地基土体压缩变形达到固结稳定时的最大沉降量或称最终沉降量。一般认为，最终沉降量由瞬时沉降、固结沉降和次固结沉降三部分组成，见图3－2示。瞬时沉降是指外荷载施加后立即发生的沉降；固结沉降是指土体中超孔隙水压力逐渐消散，孔隙水逐渐排出，土体积逐渐压缩而引起的沉降；次固结沉降是指由于土体的蠕变而引起的沉降。实际上，在基础的沉降过程中，瞬时沉降、固结沉降和次固结沉降并不是截然分开的，在时间上也很难将它们独立分开。对无粘性土，固结沉降速度很快，其沉降主要表现为瞬时沉降；而对饱和粘性土，固结速度很慢，有的需要几年、甚至几十年才能固结完成，其沉降主要表现为固结沉降，瞬时沉降和次固结沉降仅占一小部分。本章主要介绍地基最终沉降量的各种计算方法、应力历史对地基沉降的影响、以及地基沉降与时间的关系。地基（基础）最终沉降量是指地基在建筑物荷载作用下，地基表面的最终稳定沉降量。计算地基最终沉降量的目的，在于确定建筑物的最大沉降量、沉降差或倾斜等，并控制在允许范围以内，以保证建筑物的安全和正常使用。常用的计算地基最终沉降量的方法有：分层总和法、《建筑地基基础设计规范》推荐方法和弹性力学公式。第一节地基的最终沉降量计算采用分层总和法计细地基最终沉降量时，通常假定地基土压缩时不发生侧向变形，即采用侧限条件下的压缩性指标。为了弥补这样计算得到的沉降量偏小的缺点，通常取基底中心点下的附加应力σZ进行计算。将地基沉降计算深度Zn范围的土划分为若干个分层（图2－28），按侧限条件分别计算各分层的压缩量，其总和即为地基最终沉降量。具体的计算步骤如下：一．分层总和法（1）按分层厚度hi

＜0．4b（b为基础宽度）或1～2m将基础下土层分成若干薄层，成层土的层面和地下水面是当然的分层面。（2）计算基底中心点下各分层界面处的自重应力σc和附加应力σz

。当有相邻荷载影响时，σz应包含此影响。

(3)确定地基沉降计算深度Zn:地基沉降计算深度是指基底以下需要计算压缩变形的土层总厚度，亦称为地基压缩层深度。在该深度以下的土层变形较小，可略去不计。确定Zn的方法是：该深度处应符合σz＜0.2σc的要求；若其下方还存在高压缩性土，则要求σz≤0.1σc(4)计算各分层的自重应力平均值p1i=(σci-1+σci)/2和附加应力平均值Δpi=(σzi-1+σzi)/2，且取p2i=p1i+Δpi。（5）从e-p曲线上查得与p1i、p2i相对应的孔隙比e1i、e2i。（6）计算各分层土在侧限条件下的压缩量。计算公式为：式中Δsi——第i分层土的压缩量，mm:

εi——第i分层土的平均竖向应变；

hi——第i分层土的厚度，mm。又因为所以又有式中ai和Esi分别为第I层土的压缩系数和压缩模量。（7）计算地基的最终沉降量：式中n为地基沉降计算深度范围内所划分的土层数。规范GB50007推荐的计算地基最终沉降量的方法，就是在分层总和法的基础上，采用平均附加应力面积的概念，按天然土层界面分层（以简化由于过多分层所引起的繁琐计算），并结合大量工程沉降观测值的统计分析，以沉降计算经验系数ψs对地基最终沉降量计件值加以修正。1．采用平均附加应力系数计算沉降量的基本公式按式（2－58），图2－29中第i分层土的压缩量可按下式计算：二．规范修正方法式中ΔAi=Δpihi为第i分层附加应力图形面积（图中面积5643），故规范方法亦称为应力面积法；Ai和Ai-1分别为从基底起至Zi和Zi-1深度处的附加应力图形面积（图中面积1243和1265）。将应力面积Ai和Ai-1分别等代成高度仍为Zi、Zi-1的矩形，该等代矩形的宽度可用αip0和αi-1p0（即平均附加应力，见图2－29）表示，则Ai=αip0zi，Ai-1=αi-1p0zi-1将此二式代入上式，得：

上式为规范方法计算第i分层压缩量的基本公式，式中αi和αi-1；分别为深度Zi、Zi-1范围内的竖向平均附加应力系数。2．地基沉降计算深度与分层总和法的规定不同，规范方法规定地基沉降计算深度zn应符合下式要求：

式中Δs`i——在计算深度范围内，第i分层土的计算压缩 量，mm；

Δs`n——由计算深度处向上取厚度为Δz（图2－29） 的土层的计算压缩量，mm，Δz按表2－8 确定。按上式确定的沉降计算深度下如有较软土层时，尚应向下继续计算，直至软弱土层中所取规定厚度Δz的计算压缩量满足上式为止。当无相邻荷载影响，基础宽度在1～50m范围内时，规范规定，基础中点的地基沉降计算深度也可按下列简地公式计算：式中b——基础宽度，m,lnb为b的自然对数值。在沉降计算深度范围内存在基岩时，zn可取至基岩表面为上。3．地基最终沉降量规范推荐的地基最终沉降量计算公式如下：

式中s——地基最终沉降量，mn。；

s`——按分层总和法计算出的地基沉降量（包括考虑相邻荷载的影响），mm；ψs——

沉降计算经验系数，根据地区沉降观测资料及经验确定，也可采用表2－9数值；

n——地基沉降计算深度范围内所划分的土层数，一般可按天然土层划分；

p0——对应于荷载标准值时的基底附加压力，kPa；

Esi——基础底面下第i层土的压缩模量，按实际应力范围取值，MPa；Zi、Zi-1——基础底面至第i层土、第i一1层土底面的距离，m；αi、αi-1——基础底面计算点至第i层土、第i—1层土底面范围内平均附加应力系数，可按表2－10或表2－11查取。表2－10和表2－11分别为均布的矩形荷载用点下（b为荷载面宽度）和三角形分布的矩形荷载角点下（b为三角形分布方向荷载面的边长）的地基平均附加应力系数，借助于该两表可以运用角点法求算基底附加压力为均布、三角形分布或梯形分布时地基中任意点的平均附加应力系数z值。至于均布的圆形荷载中点下和三角形分布的圆形荷载边点下地基平均附加应力系数表，可见规范GBJ7－89附录十。弹性力学公式是计算地基沉降的另一种方法。这一方法的公式简单，运算简便，在有关沉降问题的定性分析中，也常采用。当弹性半空间表面作用着一个竖向集中力时，在半空间内任意点M（x,y,z）处产生的竖向位移w（x，y，z）的解答已给出。如取M点坐标z=0，则所得的半空间表面任意点的竖向位移w（x,y,0）就是地基表面的沉降s：三．计算地基沉降的弹性力学公式

式中s——竖向集中力P作用下地基表面任意点的沉降；

r——地基表面任意点到竖向集中力作用点的距离，

E。——地基变形模量（或地基弹性模量E）；

μ——地基泊松比（参见表2－6）。对于矩形或圆形荷载作用下的地基沉降，可利用上式通过积分和角点法求得。地基沉降的弹性力学公式的一般形式为

式中p0——柔性基础的基底均布附加压力或刚性基础的基底平均附加压力，b——矩形基础的宽度或圆形基础的直径；w——沉降影响系数，按表2－6a查取。表中wc

、w0和wm；分别为柔性基础（均布荷载）角点、中心点和平均沉降影响系数，wr为刚性基础沉降影响系数。

显然，用上式来估算矩形或圆形基础的最终沉降量是很简便的，但由于该公式是按均质的线性变形半空间的假设得到的，而实际上地基常常是非均质的成层土，即使是均质的土层，其变形模量E。一般随深度而增大（在砂土中尤其显著），因此，弹性力学公式只能是估算基础的最终沉降量，且计算结果往往偏大。

在实际工程中，常常会遇到薄压缩层地基、大范围地下水位下降或地面大面积堆载（如填土）引起的沉降计算问题。在这三种情况中，地基附加应力σz随深度呈线性分布，土层压缩时只出现很少的侧向变形，因而它们与压缩仪中土样的受力和变形条件很接近，故地基最终沉降量的计算可直接利用侧限条件下的计算公式。同时，地基的分层可按天然土层划分。四．三种特殊情况下的地基沉降计算1．薄压缩层地基当基础底面以下可压缩土层的厚度h小于或等于基底宽度b的1／2时（图2－32），由于基底摩阻力和岩层层面摩阻力对可压缩土层的约束作用，基底中心点下的附加应力几乎不扩散，即σz≈p0，土层压缩时只有竖向变形而侧向变形很小，故根据侧限压缩条件，地基的最终沉降量为：

式中h——薄压缩层的厚度；

σz——附加应力平均值，近似等于基底附加压力p0；

e1、e2——分别为根据薄压缩层的自重应力平均值σc（即p1）、σc与σz之和（即p2

），从土的压缩曲线上得到的相应的孔隙比；

a、Es——分别为薄压缩层的压缩系数和压缩模量。

2．地下水位下降前面已讨论过，地下水位长时间下降会导致土的自重应力增大。新增加的这部分自重应力可视为附加应力σz，在原水位与新水位之间，σz呈三角形分布，在新水位以下σz为一常量。在σz的作用之下，地基将产生新的压缩变形。可用上式计算原地下水位下某一土层的压缩量，或在各土层的压缩量求出后，求其总和即为地面的下沉量。3．大面积地面堆载最常见的地面堆载形式是大面积地面填土。设填土厚度为h，重度为γ，则作用于天然地面上的堆土荷载为p0=γh。在天然地面以下，堆土荷载产生附加应力σz=p0，在填土层本身σz呈三角形分布。由σz所产生的地基沉降可按上式计算，但须注意,计算自重应力时应从天然地面起算。此外，由于填土的厚度和范围往往很大，沉降计算深度很深，故地面的下沉量可能是很可观的。1．地基最终沉降量计算方法的评价计算最终沉降量的分层总和法和规范方法，均假设地基土在侧向是不能变形的，实际上只有在前述三种特殊情况下，才比较接近于此侧限条件，否则将得出偏小的沉降值。所以，为了弥补不考虑侧向变形而引起计算结果偏小的缺点，一般取基底中心点下的地基附加应力来计算基础的平均沉降量。按规范方法计算出的地基沉降值，还应乘上一个沉降计算经验系数，以便与实际沉降值更为接近。采用弹性力学公式计算地基表面沉降时，计算结果往往偏大，只有在荷载及底面积均较小的情况下，且无相邻荷载影响时，其计算结果才较接近于实际。五．关于基础沉降计算的讨论2．粘性土地基的变形特征在荷载作用下，透水性大的无粘性土（通常指砂土和碎石土），其压缩过程在很短时间内就可完成，而透水性小的粘性土，其压缩过程需要很长时间才能完成。一般认为，由建筑物静载引起的地基沉降量，对无粘性土可认为在施工期间已全部完成；对低压缩性粘性土，在施工期间只完成最后沉降量的50％～80％；中等压缩性粘性土为20％～40％；而高压缩性粘性土仅为5％～20％。根据粘性土地基在荷载作用下的变形特征，可将地基最终沉降量分成三部分（图2－33）：(1)瞬时沉降Sd

瞬时沉降（亦称初始沉降）是指加荷后地基瞬时发生的沉降，如加荷速率很快的建筑物荷载作用下的地基初始沉降或风力等其他短暂荷载作用下地基的瞬时变形等。由于基础底面尺寸有限，地基中会发生剪应变，特别是靠近基础边缘的应力集中部位。对于饱和或接近饱和的粘性土，加荷后土中水还来不及排出，土的体积还来不及发生变比。因此，土体的变形特征是，由于剪应变所引起的侧向变形造成了地基的沉降。瞬时沉降Sd；一般采用弹性力学公式（式（2－66）计算．即：

式中E和μ分别为土的弹性模量和泊松比，其他符号意义同上。在加荷瞬间，孔隙水未排出，土的体积没有变化，故泊松比μ=0．5。弹性模量E一般为通过室内三轴不排水试验或无侧限压缩试验得到的应力--应变曲线的初始切线模量或相当于现场荷载条件下的再加荷切线模量。（2）固结沉降Sc

固结沉降（亦称主固结沉降）是指饱和或接近饱和的粘性土在基础荷载作用下，随着孔隙水的逐渐挤出，孔隙体积相应减少吐骨架产生变形）所造成的沉降（固结压密过程）。固结沉降速率取决于孔隙水的排出速率。地基固结沉降计算通常采用分层总和法，但土的压缩性指标从原始压缩曲线中确定，从而考虑了应力历史时地基沉降的影响。

（3）次固结沉降Ss

次固结沉降（亦称次压缩沉降）是指主固结过程结束后，在孔隙水压力已经消散、有效应力不变的情况下，土的骨架仍随时间继续发生的变形。这种变形的速率已与孔隙水排出的速率无关。而主要取决于土骨架本身的蠕变性质。

*次固结沉降计算：许多室内试验和现场量测的结果都表明，一定荷载作用下的土，在主固结完成之后发生的次固结过程中，其孔隙比与时间的关系在半对数图上接近于一条直线，如图2-60所示。因而次固结引起的孔隙比变化可近似地表示为：Ca——半对数图上直线的斜率，称为次固结系数t——所求次固结沉降的时间，由施荷瞬间算起，t＞t1；t1——相当于主固结度为100％的时间，根据e－logt曲线主固结段和次固结段切线外推而得（见图2－60）。地基次固结沉降计算的分层总和法公式如下：

根据许多室内和现场试验结果，Ca值主要取决于土的天然含水量w，近似计算时取Ca=0.018w。上述三部分沉降实际上并非在不同时间截然分开发生的，如次固结沉降在固结过程一开始就产生了，只不过其数量所占的比例很小而已。但当孔隙水压力消散得差不多时，主固结沉降很小了，而次固结沉降则可能愈来愈显著，并逐渐上升成为主要的沉降。

土层的应力历史是指土层从形成至今所受应力的变化情况。应力历史对土体的强度和压缩性的影响非常大，地基处理中的堆载预压法也是基于这一概念而来的，所以实际工程中进行稳定性验算和变形计算时一定要充分考虑应力历史的影响。第二节土的应力历史对地基沉降的影响

土的初始应力状态是指在没有造建筑物以前，地表以下土层中各点的应力条件，如图3-11所示。地表下H深处某点A，竖直方向作用着σ1=γ`H，水平方向的应力为σ3。因为地表是水平无限的，所以它们都是主应力。水平方向的主应力与竖向主应力之比称为静止侧压力系数K0，A点的应力条件见图3-11b中的摩尔圆，称为K0圆。

如果将K0圆的顶点连接起来，这条应力路径就称为K0线。它的坡度tgα=(1-K0)/(1+K0)。一．土的初始应力状态

(a)A点的应力(b)A点的应力条件

K0线具有以下三方面含义：（1）

如果应力变化条件是沿着K0线走，标志土样的变形只有单向压缩而无侧向变形；（2）

如果应力变化是沿着K0线发展，标志土样不会发生强度破坏；（3）

K0线上各点都是K0圆的顶点，所以K0线代表静止土压力状态，也就是土的自重应力状态。因此K0线也就是土层的天然应力条件。该公式没有考虑应力历史的影响，只能作为参考。表2-7给出了K0与土的泊松比μ的理论换算关系。

K0作为土的一个力学性质指标表示天然沉积土层的侧压力系数，它不仅与土的性质有关，还跟土的应力历史有很大的关系。K0的数值可通过室内、现场试验测定，但要准确的测定都比较麻烦。为满足工程上的需要，建立了很多经验或半经验的公式，最简单的是Jaky(1944)的公式：

天然土层在历史上所经受过的最大固结压力（指土体在固结过程中所受的最大有效压力），称为前（先）期固结压力pc。前期固结压力pc与现有自重应力p1的比值（pc／p1）称为超固结比OCR。根据超固结比，可将沉积土层分为正常固结土、超固结土和欠固结土三类。二．沉积土层的应力历史（1）正常固结土（OCR=1）

若天然土层在逐渐沉积到现在地面后，经历了漫长的地质年代，在土的自重作用下已经达到固结稳定状态，则其前期固结压力pc等于现有的土自重应力p1=

h（

为土的重度，h为现在地面下的计算点深度），这类土称为正常固结土（图3-12a）。（2）超固结土（OCR>l）若正常固结土受流水、冰川或人为开挖等的剥蚀作用而形成现在的地面，则前期固结压力pc=

hc（hc为剥蚀前地面下的计算点深度）就超过了现有的土自重应力p1（图3-12b）。这类历史上曾经受过大于现有土自重应力的前期固结压力的土称为超固结土。与正常固结土相比，超固结土的强度较高、压缩性较低，静止侧压力系数K0较大（可大于l）。软弱地基处理方法之一的堆载预压法就是通过堆载预压使软弱土成为超固结土，从而提高其强度、降低其压缩性。（3）欠固结土(OCR<1)

欠固结土主要有新近沉积粘性土、人工填土及地下水位下降后原水位以下的粘性土。这类土在自重作用下还没有完全固结（图3-12c中虚线表示将来固结完毕后的地面），土中孔隙水压力仍在继续消散，因此，土的固结压力pc必然小于现有土的自重应力p1（这里p1指的是土层固结完毕后的自重应力）。由于欠固结土层的沉降还未稳定，因此当地基主要受力层范围内有欠固结土层时，必须慎重处理。（a）正常固结土（b）超固结土（c）欠固结土图3-12沉积土层按前期固结压力pc分类前（先）期固结压力pc————天然土层在历史上所经受过的最大固结压力（指土体在固结过程中所受的最大有效压力）。

确定前期固结压力pc最常用的方法是卡萨格兰德（A.Cassagrande，1936）建议的经验作图法，作图步骤如下（图3-13）：（1）从e－lgp曲线上找出曲率半径最小的一点A，

过A点作水平线A1和切线A2；（2）作

1A2的平分线A3，与e－lgp曲线中直线段的延长线相交于B点；（3）B点所对应的有效应力就是前期固结压力pc。

三．前期固结压力采用这种简易的经验作图法，对取土质量要求较高，绘制e－lgp曲线时要选用适当的比例尺等，否则，有时很难找到一个突变的A点，因此，不一定都能得出可靠的结果。确定前期固结压力，还应结合场地地形、地貌等形成历史的调查资料加以判断，例如历史上由于自然力（流水、冰川等地质作用的剥蚀）和人工开挖等剥去原始地表土层，或在现场堆载预压作用等，都可能使土层成为超固结土；而新近沉积的粘性土和粉土、海滨淤泥以及年代不久的人工填土等则属于欠固结土。四．由原始压缩曲线确定土的压缩性指标原始压缩曲线————指室内压缩试验e－lgp曲线经修正后得出的符合现场原始土体孔隙比与有效应力的关系曲线。上面得到的e－lgp曲线是由室内侧限压缩试验得到的，但由于钻探采样技术条件的限制，土样取出地面后应力的释放、室内试验时切土等人工扰动等因素的影响，室内的压缩曲线已经不能代表地基土中原始土层承受建筑物荷载后的e－p关系。因此必须对室内侧限压缩试验得到的曲线进行修正，以得到符合现场土实际压缩性的原始压缩曲线，才能更好地用于地基沉降的计算。（1）对于正常固结土，假定土样取出后体积保持不变，则实验室测定的初始孔隙比e0就代表取土处土的天然孔隙比，由于是正常固结土，所以前期固结压力pC就等于取土深度处土的自重应力p0，所以图3-14a中E（e0，p0）点反映了原始土的一个应力-孔隙比状态；此外根据许多室内压缩试验，即使土样经过不同程度的扰动，所得出的不同的室内压缩e－lgp曲线的直线段，都大致交于e=0.42e0点。这说明对经受过很高压力，压密程度已经很高的土样，此时起始的各种不同程度的扰动对土的压缩性已没什么区别了。由此可推想原始压缩曲线也大致交于此点。因此室内压缩曲线上的D点，也表示原始土的一个应力-孔隙比状态。连接E、D点的直线就是原始压缩曲线，其斜率Ccf（区别于室内压缩试验得到的Cc）就是原始土的压缩指数。（a）正常固结土（b）超固结土图3-14原始压缩曲线及原始再压缩曲线（2）对于超固结土，要得到原始压缩曲线，需在进行室内压缩试验时，当压力进入到e－lgp曲线的直线段时，进行卸载回弹和再压缩循环试验，滞回圈的平均斜率为再压缩指数Ce。同样，室内测定的初始孔隙比e0假定为自重应力作用下的孔隙比，因此F（e0，p0）点就代表取土深度处的应力-孔隙比状态，由于超固结土的前期固结压力pC大于当前取土点的土自重应力p0，当压力从p0到pc过程中，原始土的变形特性必然具有再压缩的特性。因此过F点作一斜率为室内回弹再压缩曲线的平均斜率的直线，交前期固结压力的作用线于E点，当应力增加到前期固结压力以后，土样才进入正常固结状态，这样在室内压缩曲线上取孔隙比等于0.42e0，即点D。FE为原始再压缩曲线，ED为原始压缩曲线，相应地FE直线段的斜率Ce为原始回弹指数，ED直线段的斜率Ccf为原始压缩指数。

一维固结是指饱和土层在渗透固结过程中孔隙水只沿一个方向渗流，同时土颗粒也只朝一个方向位移。例如当荷载面积远大于压缩土层的厚度时，地基中的孔隙水主要沿竖向渗流，此即为一维固结问题。下面介绍由太沙基（K.Terzaghi）提出的一维固结理论。第三节地基沉降与时间的关系一．基本假设

一维固结理论的基本假设如下：（1）土是均质、各向同性和完全饱和的；（2）土粒和孔隙水都是不可压缩的；（3）土中附加应力沿水平面是无限均匀分布的，因此土层的压缩和土中水的渗流都是一维的；（4）土中水的渗流服从于达西定律；（5）在渗透固结中，土的渗透系数k和压缩系数a都是不变的常数；（6）外荷载是一次在瞬间施加的。加载期间，饱和土层还来不及变形；而在加载以后，附加应力σZ沿深度始终均匀分布。二．一维固结微分方程及其解答在如图(3-18)所示的厚度为H的饱和土层上施加无限宽广的均布荷载p，土中附加应力沿深度均匀分布（即面积abcd），土层上面为排水边界，有关条件符合基本假定，在土层顶面以下z深度处的微元体dxdydz在dt时间内水量Q的变化为：式中：q——单位时间内流过单位水平横截面积的水量。dt时间内微元体内孔隙体积Vv的变化为：式中：Vs=1/(1+e0)dxdydz为固体体积，不随时间而变；e0——渗流固结前初始孔隙比。(a)一微渗流固结土层(b)微元体图3-18可压缩土层中孔隙水压力（或有效应力）随时间而变化的分布图由dQ=dVv，得根据达西定律：

式中：i——水头梯度；h——z深度处的超静水头；u——超孔隙水压力根据土的应力——应变关系，有：或式中：a——土的压缩系数，kpa-1；dσ’——有效应力增量。根据有效应力原理，式（3-42）变为上式在推导中利用了在一微固结过程中任一点竖向总应力不随时间而变的条件。整理上面几个式子，可得到令则得到饱和土的一维固结微分方程为：

式中CV——土的竖向固结系数，cm2／年。

u——经过时间t时深度z处的孔隙水压力值（图3-18），kpa；

k——土的渗透系数，cm／s或cm／年；

γW——水的重度，kN／m3；

根据图3-18所示的初始条件（开始固结时的附加应力分布情况）和边界条件（可压缩土层顶底面的排水条件），可求得固结微分方程的特解。这些条件为：当t=0和0≤z≤h时，u=σZ；

0＜t＜∞和z=0时，u＝0；

0＜t＜∞和z=H时，（隔水层处没有渗流产生）

；t=∞和0≦z≦h时，u=0。根据以上这些条件，采用分离变量法解得固结微分方程的特解为：

式中m——正奇整数（1,3,5，…）；

e——自然对数的底；

Tv——时间因数，Tv=Cvt/h2，其中Cv为竖向固结系数；t为时间，年；h为压缩土层最远的排水距离，当土层为单面（上面或下面）排水时，h取土层厚度；双面排水时，水由土层中心分别向上下两方向排出，此时h应取土层厚度之半。三.固结度计算

有了孔隙水压力u随时间t和深度z变化的函数解，即可求得地基在任一时间的固结沉降。此时，通常需要用到固结度U这个指标，其定义为：

U=St/S

式中St——地基在某一时刻t的沉降量；

S——地基的最终沉降量。

地基中不同点的固结度是不相同的。对于单向固结情况，由于土层的固结沉降与该层的有效应力图面积成正比，所以将某一时刻的有效应力图面积和最终有效应力图面积之比，称为土层单向固结的平均固结度U：式中uz,t——深度z处某一时刻t的孔隙水压力；

σz——深度z处的竖向附加应力（即t=0时该深度处的起始孔隙水压力），在连续均布荷载p0作用下，上式中括号内的级数收敛很快，当Uz＞3O％时可近似地取其中第一项如下：式中符号意义同特解。将固结微分方程的特解代入上式得：

为了便于应用，将式绘制成如图3-19所示的UZ-TV关系曲线（α=1）该曲线适用于附加应力上下均匀分布的情况，也适用于双面排水情况。对于地基为单面排水且上下面附加应又不相等的情况（如σZ为梯形分布或三角形分布等），可由

查图中相应的曲线。根据UZ-TV关系曲线，可以求出某一时间t所对应的固结度，从而计算相应的沉降St；也可以按照某一固结度（相应的沉降为St），推算出所需的时间t。第四节利用沉降观测资料推算后期沉降对于大多数工程问题，次固结沉降与固结沉降相比是不重要的。因此，地基的最终沉降量通常仅取瞬时沉降量与固结沉降量之和，即S=Sd＋Sc，相应地，施工期T以后（t＞T）的沉降量为：

或上式中的沉降量如按一维固结理论计算，其结果往往与实测成果不相符合，因为地基沉降多属三维课题而实际情况又很复杂，因此，利用沉降观测资料推算后期沉降量（包括最终沉降量），有其重要的现实意义。常用的经验方法有双曲线法等。下面介绍的一种经验方法——对数曲线法（亦称三点法），具有从总沉降量St中把瞬时沉降量Sd分离出来的功能。

不同条件的固结度Uz

的计算公式，可用一个普遍表达式来概括：

式中A和B是两个参数，如将上式与一维固结理论的公式比较可见在理论上参数A是个常数值8／π2，B则与时间因数Tv中的固结系数、排水距离有关。如果A和B作为实测的沉降与时间关系曲线中的参数，则其值是待定的。

将上式代入前式，得：

再将S=Sd＋Sc代入上式，并以推算的最终沉降量S∞代替S，则得：

如果S∞和Sd也是未知数，加上A和B，则上式包含有四个未知数。从实测的早期S－t曲线上（图2－61）选择荷载停止施加以后的三个时间t1、t2和t3，其中t3应尽可能与曲线末端对应，时间差（t2-t1）和（t3-t2）必须相等且尽量大些。将所选时间分别代入上式，得：附加条件

联解以上两式可得：和A一般采用一维固结理论近似值8/π2，将其和按St1、St2、St3实测值算得的B和S∞一起代入式（2－128），即可求得Sd

值如下；

然后可按式（2－127）推算任一时刻的后期沉降量St

。

以上各式中的时间t均应由修正后零点0`算起，如施工期荷载等速增长，则0`点在加荷期的中点（见图2－61）。第五节建筑物沉降观测建筑物的沉降观测能反映地基的实际变形以及变形对建筑物的影响程度，是分析地基事故及判别施工质量的重要依据，也是验证地基基础设计是否正确的重要资料。规范GB50007要求对一级建筑物应在施工期间及使用期间进行沉降观测。沉降观测的内容主要有以下几点：（1）水准基点的设置基点设置以保证其稳定可靠为原则