132奇偶性第二课时

1.3.2奇偶性第2课时函数奇偶性的应用复习回顾1.观察下列函数图象，判断其奇偶性.偶函数：①函数图象关于y轴对称；②定义域关于原点对称；③满足f(-x)=f(x)奇函数：①函数图象关于原点对称；②定义域关于原点对称；③满足f(-x)=-f(x)复习回顾2.判断下列函数的奇偶性.新课讲解思考：1新课讲解巩固练习新课讲解巩固练习作业类型二奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理)

角度1比较大小问题

【典例】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则f(-2)，f(π)，f(-3)的大小关系是 (

)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)【思路导引】根据偶函数的性质，把f(-2)，f(π)，f(-3)转化到同一个单调区间[0，+∞)上，再根据函数的单调性比较大小.【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2).又当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(-3)>f(-2).【变式探究】将典例改为：函数y=f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是 (

)【解析】选B.因为函数f(x+2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，所以又f(x)在[0，2]上单调递增，所以角度2解不等式问题

【典例】已知定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围.【思路导引】根据函数的单调性，判断1-m与m的大小关系，注意函数的定义域，保证1-m与m都在定义域内.【解析】因为f(x)在区间[-2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f(x)在[-2，2]上单调递减.又f(1-m)<f(m)，所以即解得-1≤m<.故实数m的取值范围是-1≤m<.【解题策略】比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.【拓展延伸】利用函数的奇偶性比较大小时，根据奇偶性的对称性质，常需要比较自变量的绝对值的大小，即自变量距离原点的距离.【拓展训练】定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，若f(a)<f(b)，则一定可得 (

)A.a<b B.a>bC.|a|<|b| D.0≤a<b或a>b≥0【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，所以由f(a)<f(b)可得|a|<|b|.【题组训练】1.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有

<0，则 (

)A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)【解析】选A.根据题意，函数f(x)为偶函数，则f(-2)=f(2)，函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有

<0，则函数f(x)在[0，+∞)上是单调递减的，则f(3)<f(2)<f(1)，又由f(-2)=f(2)，则f(3)<f(-2)<f(1).2.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足条件f(2x+1)<f(5)的x的取值范围是 (

)A.(-3，2)

B.(-2，3)C.(-2，2)

D.[-3，2]【解析】选A.因为函数f(x)为偶函数且在区间[0，+∞)上单调递增，则在(-∞，0)上是单调递减的，f(2x+1)<f(5)⇒|2x+1|<5，即-5<2x+1<5，解得：-3<x<2，即x的取值范围为(-3，2).类型三奇偶性、单调性的综合应用(逻辑推理)【典例】已知函数f(x)=是定义在(-1，1)上的奇函数，且(1)确定函数f(x)的解析式.(2)用定义证明f(x)在(-1，1)上是增函数.(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0.【思路导引】(1)利用函数奇偶性的性质和求出函数解析式.(2)利用函数单调性的定义证明.(3)利用奇偶性转化不等式，再利用单调性证明不等式，证明时注意函数的定义域.【解析】(1)由题意得所以故f(x)=(2)任取-1<x1<x2<1，则f(x1)-f(x2)=因为-1<x1<x2<1，所以x1-x2<0，1+>0，1+>0.又-1<x1x2<1，所以1-x1x2>0.所以f(x1)-f(x2)<0，所以f(x)在(-1，1)上是增函数.(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).因为f(x)在(-1，1)上是增函数，所以-1<t-1<-t<1，解得0<t<.所以不等式的解集为【解题策略】奇偶性、单调性的综合应用利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值.解题时，一定要特别注意函数的定义域.【跟踪训练】已知函数f(x)=x2+2ax-1.(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值.(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值.(3)若f(x)在(-∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意可知，f(1)=1+2a-1=2，即a=1，此时函数f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2≥-2，故当x=-1时，f(x)min=-2.(2)若f(x)为偶函数，则对任意x∈R，f(-x)=(-x)2+2a(-x)-1=f(x)=x2+2ax-1，即4ax=0，故a=0.(3)因为函数f(x)=x2+2ax-1的单调递减区间是(-∞，-a]，而f(x)在(-∞，4]上单调递减，所以4≤-a，即a≤-4，故实数a的取值范围为(-∞，-4].课堂检测·素养达标1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx是 (

)A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.因为f(x)=ax2+bx+c是偶函数，所以由f(-x)=f(x)，得b=0.所以g(x)=ax3+cx.所以g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x)，所以g(x)为奇函数.2.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的函数是 (

)A.y=x3 B.y=|x|+1C.y=-x2+1 D.y=

【解析】选B.对于函数y=|x|+1，f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x)，所以y=|x|+1是偶函数，当x>0时，y=x+1，所以在(0，+∞)上单调递增；另外函数y=x3不是偶函数；y=-x2+1在(0，+∞)上单调递减；y=不是偶函数.3.(教材二次开发：练习改编)一个偶函数定义在区间[-7，7]上，它在[0，7]上的图象如图，下列说法正确的是 (

)A.这个函数仅有一个单调增区间B.这个函数有两个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值是7D.这个函数在其定义域内有最小值是-7【解析】选C.根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出函数在[-7，7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是-7.4.如果奇函数f(x)在区间[1，5]上单调递减，且最小值为3，那么f(x)在区间[-5，-1]上 (

)A.单调递增且最小值为3 B.单调递增且最大值为3C.单调递减且最小值为-3 D.单调递减且最大值为-3【解析】选D.当-5≤x≤-1时，1≤-x≤5，所以f(-x)≥3，即-f(x)≥3.从而f(x)≤-3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故